李悅 袁智強

摘要：《一元線性回歸模型》一課，借鑒美國統(tǒng)計學(xué)會提出的“提出問題—收集數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—解釋結(jié)果”四環(huán)節(jié)教學(xué)模式，嘗試運用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra，幫助學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析過程。具體地，創(chuàng)設(shè)兒子身高和父親身高相關(guān)關(guān)系的問題情境，收集學(xué)生及其父親身高的真實數(shù)據(jù)，運用GeoGebra軟件的動態(tài)作圖和較大規(guī)模計算功能，讓學(xué)生能夠直觀、便捷地探索如何尋找最佳擬合直線;引導(dǎo)學(xué)生解釋實驗發(fā)現(xiàn)的最佳擬合直線背后的數(shù)學(xué)思考過程，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)分析;GeoGebra軟件;《一元線性回歸模型》

本文系教育部人文社會科學(xué)研究青年基金項目“創(chuàng)新型STEM教師培養(yǎng)的探索性研究”（批準(zhǔn)號：18YJC880115）的階段性研究成果。“統(tǒng)計的研究對象是數(shù)據(jù)，核心是數(shù)據(jù)分析?！雹壑腥A人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：31，7。“數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng)。”③對于人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第8章第2節(jié)《一元線性回歸模型》一課，我們基于美國統(tǒng)計學(xué)會為中小學(xué)以及幼兒園制訂的《統(tǒng)計教育評價與教學(xué)指導(dǎo)綱要》中提出的“提出問題—收集數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—解釋結(jié)果”四環(huán)節(jié)教學(xué)模式，嘗試運用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra，幫助學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析過程，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

一、教學(xué)過程

（一）提出問題，引發(fā)思考

教師帶領(lǐng)學(xué)生回憶之前學(xué)過的“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性”，然后觀看“姚明家族身高”短視頻新聞，引出問題：兒子身高與父親身高這兩個變量究竟有什么關(guān)系？通過這一與現(xiàn)實生活密切相關(guān)的問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。

（二）收集數(shù)據(jù)，觀察探索

在課前布置作業(yè)，請所有男生回家了解自己父親身高的基礎(chǔ)上，教師采取現(xiàn)場收集數(shù)據(jù)的方式，隨機抽取14位男生將父親的身高與自己的身高通過平板電腦填入教師下發(fā)的在線文檔中。由此，讓學(xué)生直接產(chǎn)生數(shù)據(jù)，接觸數(shù)據(jù)，提高對生活中常見數(shù)據(jù)的敏感度，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識。

（三）分析數(shù)據(jù)，技術(shù)整合

這一環(huán)節(jié)是本課教學(xué)的重點之一，教師運用GeoGebra軟件展示數(shù)據(jù)的散點圖，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)據(jù)，嘗試?yán)煤瘮?shù)模型近似描述數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系，并且通過軟件作圖與計算，充分探討如何尋找最佳擬合直線（一次函數(shù)模型）。具體教學(xué)過程如下：

師（將通過在線文檔收集到的數(shù)據(jù)粘貼到GeoGebra的表格區(qū)，并選中表格區(qū)的“父親身高”與“兒子身高”，點擊右鍵 ，選擇“創(chuàng)建—點列”，畫出散點圖）觀察散點圖，看看點的分布有何特點，從而探討兒子身高和父親身高有何關(guān)系。

生直觀上可發(fā)現(xiàn)，散點大致分布在一條從左下角至右上角的直線附近，這表明兒子身高和父親身高呈線性關(guān)系。

（教師出示問題1：兒子身高和父親身高這兩個變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？）

生從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線附近，可以用一次函數(shù)模型來刻畫兩者之間的關(guān)系。

師非常好！我們可以看到，散點分布在一條直線附近，但不在同一條直線上。例如，兩個父親身高均為172 cm，但是他們兒子的身高不同，一個是166 cm，另一個是170 cm?？梢园l(fā)現(xiàn)，兩者之間的關(guān)系不是簡單的函數(shù)關(guān)系，因此不能用函數(shù)模型來刻畫，但是可以用一次函數(shù)來刻畫父親身高對兒子身高的影響。

[教師出示問題2：我們選擇直線模型（一次函數(shù)）來刻畫父親身高對兒子身高的影響，那么，如何找到最佳直線，使樣本數(shù)據(jù)的散點在整體上與此直線最接近？ ]

生畫出一條直線，測量出各點到直線的距離，使得距離之和最小。

生畫出一條直線，使得直線兩側(cè)分布的點的個數(shù)相同。

生在散點圖中多取幾對點，確定幾條直線，再分別求出各直線的斜率、縱截距的平均值，即為所求直線的斜率和縱截距。

師同學(xué)們的想法都非常好！我們不妨實踐一下，看這些方法是否真的可行。事實上，利用傳統(tǒng)的工具完成這些任務(wù)是非常麻煩的，并且不一定能達(dá)到我們的目的。我們嘗試使用GeoGebra來操作。（同步在GeoGebra中操作，得到圖1所示的結(jié)果）隨便選兩點O、P確定一條直線l，在指令欄輸入“T_2=序列（線段（元素（T_2，i），交點（垂線（元素（T_1，i），f），f）），i，1，14）”，即將所有的點向直

線l引垂線，并求出每個垂線段長（即點到直線的距離）的序列T2;在指令欄輸入“D1=總和（T_2）”，求出點到直線的距離之和。此時，我們要使得D1的值最小，不妨改變O、P的位置，移動直線。我請一位同學(xué)上來移動兩點的位置，其他同學(xué)觀察能否找到使D1的值最小的直線。

生（同步在GeoGebra中操作）先移動其中一個點，發(fā)現(xiàn)距離和也在發(fā)生變動，使可觀察到的D1的值最小;再移動另一個點，使可觀察到的D1的值最小。但我發(fā)現(xiàn)，這時再進(jìn)行微小的移動，總會發(fā)現(xiàn)D1的值比之前還要小，所以，無法確定所找到的D1的值是不是最小值。這種方法不妥。

師同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，移動直線可以將點到直線的距離之和變小，但是無法確定該值何時最小。接下來，我們探討一下第二種方法，考慮直線兩側(cè)點的分布情況。還是請一位同學(xué)上來移動直線，其他同學(xué)觀察直線兩側(cè)點分布情況的變化。

生（同步在GeoGebra中操作）當(dāng)直線在一定的范圍內(nèi)移動時，均可使直線兩側(cè)分布的點數(shù)相同，都是7。也就是說，使直線兩側(cè)分布點數(shù)相同的直線有無數(shù)條，無法判斷哪條是最佳直線。

師同樣地，考慮第三種方法。（同步在GeoGebra中操作）首先，取不同對的點，可以確定不同的直線，從而得到不同的斜率、縱截距及其平均值。其次，用我們學(xué)過的計數(shù)原理，在14個點構(gòu)成的散點圖中最多可以取14×13÷2=91（對）點，在沒有三點共線的情況下最多可以確定14條直線，但是，其中會有直線沒有斜率與縱截距，這時便無法求出斜率與縱截距的平均值。（稍停）可見，以上方法雖然都有一定的道理，但是都比較難確定哪條直線為最佳擬合直線。請同學(xué)們再思考一下：能否找到其他標(biāo)準(zhǔn)？

（學(xué)生遲疑。）

師在許多實際問題中，x是沒有誤差的固定值，只有y才是有誤差的觀測值，所以只考慮y偏離直線的程度即可。而點到直線的距離同時考慮了x和y偏離直線的程度。

生那就讓樣本數(shù)據(jù)點離直線的豎直距離之和最小。

師非常好！用各點到直線的豎直距離來刻畫各點與該直線的接近程度。也就是說，樣本觀測值與直線的預(yù)測（解釋）值之間的偏差越小，說明直線的擬合效果越佳。但豎直距離是縱坐標(biāo)之差的絕對值，絕對值求和不方便計算，怎么辦？

（學(xué)生討論。）

生可以平方后求和。

師很好！那就是用各點到直線豎直距離的平方和，即偏差平方和刻畫“整體接近程度”。（同步在GeoGebra中操作，得到圖2所示的結(jié)果）在指令欄輸入“T_3=序列（多邊形（元素（T_1，i），交點（垂線（元素（T_1，i），x軸），f），4），i，1，14）”，畫出偏差平方和的圖像。同學(xué)們可以看到，要求各點到直線豎直距離的平方和，就是要求以各點到直線的豎直距離為邊長的正方形的面積和。（將課前設(shè)計好

的課件發(fā)給學(xué)生）同學(xué)們可以改變直線的位置，尋找小正方形面積和的最小值。

（學(xué)生自主探索，用時2分鐘。）

師請同學(xué)們分享一下自己找到的最小值。

生139.54。

師還有同學(xué)找到比這個值更小的嗎？

生128.8。

師還有比這個更小的嗎？

生128.78。

師同學(xué)們可以看到，偏差平方和為128.78時，直線的方程為y=0.74x+43.93。接下來，給同學(xué)們2分鐘時間進(jìn)行驗證。

（學(xué)生驗證。）

師同學(xué)們驗證好了嗎？（同步在GeoGebra中操作）在指令欄輸入“線性回歸Y（T_1）”，會得到擬合直線的方程為y=074x+43.93。該直線即為使各散點到直線的偏差平方和最小的直線。

（四）解釋結(jié)果，揭示思想

這一環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生解釋實驗發(fā)現(xiàn)的最佳擬合直線（線性回歸模型）背后的數(shù)學(xué)思考過程，從而經(jīng)歷完整的統(tǒng)計問題解決過程，體會數(shù)學(xué)研究抽象出一般模型、通過推理與計算嚴(yán)格論證的根本追求和總體思路，并且?guī)椭鷮W(xué)生進(jìn)一步理解其中蘊含的數(shù)學(xué)思想。具體教學(xué)過程如下：

師兒子身高和父親身高之間關(guān)系的最佳擬合直線，我們是通過GeoGebra軟件強大的計算功能，快速計算各種情況下的偏差平方和找到的?，F(xiàn)在請同學(xué)們思考一下——

（教師出示問題3：現(xiàn)實生活中，當(dāng)我們拿到樣本數(shù)據(jù)后，該如何計算以找到最佳擬合直線的方程，即擬合函數(shù)呢？學(xué)生思考。）

師前面說了，不能用一次函數(shù)模型來表示兒子身高與父親身高兩個變量之間的關(guān)系，只能用一次函數(shù)模型來刻畫父親身高對兒子身高的影響，而影響兒子身高的其他因素應(yīng)作為隨機誤差。我們用x表示父親的身高，Y表示兒子的身高，e表示隨機誤差。假定隨機誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，可以構(gòu)建Y關(guān)于x的線性回歸模型，即Y=bx+a+e，

E（e）=0，D（e）=σ2。其中，父親身高為xi的所有男生的身高組成一個子總體，該子總體的均值為bxi+a，即該子總體的均值與父親的身高是線性函數(shù)關(guān)系。但當(dāng)一個男生父親的身高為xi時，這個男生的身高yi卻不一定為bxi+a，而是該子總體中的一個觀測值，這個觀測值與均值之間有一個誤差項|ei|=|yi-（bxi+a）|。誤差項越小，表示樣本數(shù)據(jù)點與直線的豎直距離越小。對一組真實的數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），設(shè)最佳擬合直線的方程為y=bx+a，根據(jù)我們前面討論的尋找最佳擬合直線的方法，即使樣本數(shù)據(jù)點與直線豎直距離的平方和最小，就是要確定什么的值，使什么最??？

生確定a、b的值，使∑ni=1（yi-bxi-a）2的值最小。

師你可以通過數(shù)學(xué)上求二次多項式最小值的方法，確定a、b的值嗎？

（學(xué)生遲疑。）

師注意，這里有很多字母，首先要分清哪些是未知數(shù)或變量、哪些是已知數(shù)或常量。

生a、b是變量，xi、yi是常量。

師所以，這個式子本質(zhì)上是一個二元二次多項式。求一元二次多項式，即一元二次函數(shù)的最值，最根本的方法是什么？

生配方法。

師同學(xué)們可以試著求一下a、b分別等于多少時，∑ni=1（yi-bxi-a）2取最小值。實在求不出來，可以看一看教材第109頁的推導(dǎo)過程。

（學(xué)生活動。）

師得到了a、b，也就得到了最佳擬合直線的方程。我們將其稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，將相應(yīng)的擬合直線稱為經(jīng)驗回歸直線，將這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫作最小二乘法。由經(jīng)驗回歸方程可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)驗回歸直線過點（x，y），我們將其稱為樣本中心點。（稍停）再來看前面我們收集的兒子身高與父親身高的14組數(shù)據(jù)，利用推導(dǎo)出來的公式可以計算出其經(jīng)驗回歸方程中的a、b分別為多少？

（學(xué)生用電腦程序計算。）

生b=0.74，a=43.93。

師這和我們剛剛運用GeoGebra軟件所求的經(jīng)驗回歸方程一致。

（教師出示問題4：請同學(xué)們利用剛剛求出的經(jīng)驗回歸方程，求出當(dāng)x=176 時，Y為多少？如果一位父親的身高數(shù)據(jù)是176，那么其兒子的身高數(shù)據(jù)一定為所求的值嗎？）

生Y≈174。兒子的身高不一定為174cm，影響兒子身高的還有諸多其他因素，只是按經(jīng)驗來說一般平均為該值，用回歸方程求出來的值為總體中兒子平均身高的估計值。

師沒錯。而且，經(jīng)驗回歸方程y=0.74x+43.94的斜率可以解釋為父親的身高每增加1 cm，兒子的身高平均增加0.74 cm。通過對該模型的分析，還可以發(fā)現(xiàn)，高個子父親有生高個子兒子的趨勢，但一群高個子父親的平均身高要高于其兒子的平均身高;矮個子父親有生矮個子兒子的趨勢，但一群矮個子父親的平均身高要低于其兒子的平均身高。英國著名統(tǒng)計學(xué)家高爾頓把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”。后來，人們就把用一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱為“回歸分析”。（稍停）用最小二乘法求得的經(jīng)驗回歸模型擬合效果如何？是否還能進(jìn)行優(yōu)化？請同學(xué)們帶著問題回去思考一下。

二、教學(xué)思考

本節(jié)課基于統(tǒng)計教學(xué)的“四環(huán)節(jié)”教學(xué)模式，運用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了統(tǒng)計問題解決的數(shù)據(jù)分析過程。課上，教師創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題，進(jìn)而收集真實數(shù)據(jù)，多元分析數(shù)據(jù)，充分經(jīng)歷“從猜想到證實或證偽、從嘗試到確定或否定”的數(shù)學(xué)探究過程，尋找解決問題的方案。

注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合是高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)理念之一。統(tǒng)計教學(xué)往往需要收集和分析（包括制表、作圖、計算以及隨機模擬等）大量數(shù)據(jù)，因此，信息技術(shù)的運用顯得尤為重要。本節(jié)課最大的亮點是，教師運用GeoGebra軟件的動態(tài)作圖和較大規(guī)模計算功能，讓學(xué)生能夠直觀、便捷地探索“如何找到最佳直線，使樣本數(shù)據(jù)的散點在整體上與此直線最接近”，從而充分經(jīng)歷從實驗發(fā)現(xiàn)到理論推導(dǎo)的數(shù)學(xué)探究過程，對客觀數(shù)據(jù)中蘊含的統(tǒng)計規(guī)律有從感性到理性的認(rèn)識與思考，更深刻地理解數(shù)據(jù)分析的內(nèi)涵。

此外，值得一提的是，單純通過實驗探索得到通過豎直距離（偏差）平方和最小尋找最佳擬合直線的方法，說服力還是有些不足的。所以，教學(xué)中，教師在充分放手的基礎(chǔ)上適時介入，補充了一定的道理，引導(dǎo)學(xué)生得出上述方法。