陸新穎

摘要：數(shù)學(xué)思維，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)能力提高的保障。充分利用教材中的典型習(xí)題，可以滲透對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。文章首先闡述了小學(xué)數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的教學(xué)要求，然后以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)為例，分別從典型習(xí)題對(duì)數(shù)學(xué)數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)、數(shù)學(xué)推理等幾個(gè)方面探索了重視典型習(xí)題研究、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的具體辦法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;典型習(xí)題;蘇教版;教學(xué)策略

思維培養(yǎng)是小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程的重要任務(wù)，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成。習(xí)題練習(xí)是小學(xué)階段數(shù)學(xué)實(shí)踐的重要方式。依托數(shù)學(xué)教材，在實(shí)踐中加強(qiáng)對(duì)典型數(shù)學(xué)習(xí)題的研究，以促使學(xué)生在習(xí)題練習(xí)中積極參與，全面發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)綜合能力，對(duì)小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)而言，顯得迫切而重要。下面以蘇教版教材為例，結(jié)合實(shí)踐，就如何依托小學(xué)數(shù)學(xué)典型習(xí)題發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，談如下一些個(gè)人觀(guān)點(diǎn)與思考：

1? ?小學(xué)數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的教學(xué)要求

在新課標(biāo)中明確指出，教師在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)、數(shù)據(jù)分析觀(guān)念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想等思維能力，尤其要重視對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)的教學(xué)培養(yǎng)。這些數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，既是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫(xiě)指南，也應(yīng)成為我們教學(xué)過(guò)程中的重要參照，由此構(gòu)成了小學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的核心內(nèi)容。

2? ?重視典型習(xí)題研究，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)課程強(qiáng)調(diào)邏輯推理，重視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)知識(shí)多以間接經(jīng)驗(yàn)為主，而獲取其中相關(guān)知識(shí)、探尋其中蘊(yùn)藏規(guī)律最有效的手段就是實(shí)踐，習(xí)題練習(xí)是最為重要且最為核心的學(xué)習(xí)手段。典型數(shù)學(xué)習(xí)題在問(wèn)題解決過(guò)程中，體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，值得廣大教育工作者在教學(xué)實(shí)踐中去認(rèn)真總結(jié)、系統(tǒng)梳理。

2.1典型習(xí)題對(duì)數(shù)學(xué)“數(shù)感”的教學(xué)啟發(fā)

顧名思義，數(shù)學(xué)“數(shù)感”可理解為對(duì)數(shù)學(xué)及數(shù)字的敏感。數(shù)學(xué)“數(shù)感”直接反映學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、相關(guān)知識(shí)與應(yīng)用實(shí)踐的理解，考查學(xué)生在面對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，其直觀(guān)判斷或策略處理能力。數(shù)學(xué)“數(shù)感”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)思維的重要培養(yǎng)內(nèi)容，典型習(xí)題在一定程度上反映出對(duì)這種教學(xué)設(shè)計(jì)的契合。

以蘇教版三年級(jí)上冊(cè)第一單元“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”課后習(xí)題為例。題目?jī)?nèi)容為：從甲城市去往乙城市，共有3種不同票價(jià)火車(chē)可以搭乘，具體票價(jià)見(jiàn)下表（表1）所示。某人購(gòu)買(mǎi)了3張相同價(jià)格的火車(chē)票，付給售票員共1000元。請(qǐng)選擇他購(gòu)買(mǎi)的是哪一種價(jià)位的火車(chē)票。

本題是一道典型的數(shù)學(xué)“數(shù)感”啟發(fā)習(xí)題。按照正常解題思路，大抵可經(jīng)過(guò)如下求解步驟：第一步，分別計(jì)算出不同票價(jià)火車(chē)的購(gòu)票總花費(fèi)，普通火車(chē)為198×3=594（元），特快列車(chē)為312×3=936（元），動(dòng)車(chē)組列車(chē)為405×3=1215（元）。第二步，將三種購(gòu)票花費(fèi)與實(shí)際的支付錢(qián)數(shù)進(jìn)行比較，以確定本題答案。通過(guò)第一步計(jì)算，可知936元最接近1000元，所以可判定購(gòu)買(mǎi)的是票價(jià)為312元/張的“特快列車(chē)”。但是若借助 “數(shù)學(xué)估算”來(lái)解決本道練習(xí)題，可極大地簡(jiǎn)化題目中煩瑣的計(jì)算過(guò)程，既迅速又不容易出錯(cuò)，體現(xiàn)“數(shù)感”思維對(duì)數(shù)學(xué)解題的運(yùn)用。在實(shí)際教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行估算，快速選出題目答案：（1）198≈200，312≈300，405≈400，（2）200×3=600，300×3=900，400×3=1200，（3）票價(jià)為312元的“特快列車(chē)”最接近1000元，因而其為本題正確答案。

2.2典型習(xí)題對(duì)“符號(hào)意識(shí)”的教學(xué)啟迪

符號(hào)在數(shù)學(xué)課程、數(shù)學(xué)習(xí)題中廣泛分布，常見(jiàn)的諸如數(shù)字、字母、公式等，均是數(shù)學(xué)符號(hào)在不同學(xué)習(xí)情境中的顯現(xiàn)。所謂“符號(hào)意識(shí)”是指能夠理解并運(yùn)用符號(hào)來(lái)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和其中變化規(guī)律，能夠使用符號(hào)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算或推理，得出一般性結(jié)論。小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)要幫助學(xué)生建立“符號(hào)意識(shí)”，引導(dǎo)學(xué)生理解符號(hào)并能通過(guò)符號(hào)的使用來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)與數(shù)學(xué)思考。在實(shí)際教學(xué)中，可通過(guò)典型習(xí)題來(lái)啟發(fā)“符號(hào)意識(shí)”，提升思維能力。

以下題為例：若6*3=9，14#1=13，那么，7*5=？9*11#12=？本題引入了兩個(gè)未知符號(hào)“*”“#”，體現(xiàn)“符號(hào)意識(shí)”在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的運(yùn)用。在實(shí)際教學(xué)中，我們可通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，探尋解題路徑。通過(guò)觀(guān)察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來(lái)題目當(dāng)中的未知符號(hào)“*”“#”，是數(shù)學(xué)計(jì)算中“+”“-”號(hào)的替換。題干中的6*3=9，14#1=13可替換為6+3=9，14-1=13。這樣，符號(hào)一經(jīng)替換，整個(gè)計(jì)算過(guò)程就變得異常簡(jiǎn)單起來(lái)，7*5=7+5=12，9*11#12=9+11-12=8。再以一題為例：已知A、B為下述線(xiàn)段，兩者大小關(guān)系見(jiàn)下圖（圖2）。想一想，比一比。（1）A=（? ?），B=（? ?）（括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)具體數(shù)字）。（2）A與B一共是多少？（3）A比B少多少？

這道題是圖形符號(hào)在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，同樣考查學(xué)生“數(shù)感”思維的敏銳程度。通過(guò)比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：本題中的A占據(jù)2個(gè)單位線(xiàn)段，B則占據(jù)了4個(gè)單位線(xiàn)段。已知，2個(gè)單位線(xiàn)段為6，則A=6，而B(niǎo)為A的2倍，即B=12。那么，A+B=18，B-A=12-6=6。從上述經(jīng)典習(xí)題中，我們不難發(fā)現(xiàn)：“符號(hào)意識(shí)”建立在對(duì)數(shù)字敏感、數(shù)學(xué)規(guī)律熟練的基礎(chǔ)之上，培養(yǎng)“符號(hào)意識(shí)”有助于啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。

2.3典型習(xí)題對(duì)“空間觀(guān)念”的教學(xué)培養(yǎng)

“空間觀(guān)念”是空間感覺(jué)、空間方位及空間想象等在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的綜合體現(xiàn)。新課標(biāo)指出，小學(xué)數(shù)學(xué)“空間觀(guān)念”培養(yǎng)主要包含以下幾方面：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出實(shí)物，想象物體方位與位置關(guān)系，能夠描述圖形運(yùn)動(dòng)與變化，能夠依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形，等等。在教學(xué)過(guò)程中，巧妙借助典型習(xí)題，可提升學(xué)生的“空間觀(guān)念”，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維。

以下題為例：小明要過(guò)生日了，媽媽送他的生日禮物被彩帶包裝成如下圖所示（圖3-1）樣式。其中的接頭處彩帶長(zhǎng)為15厘米。問(wèn)：要完成這樣的包裝，2米長(zhǎng)的彩帶夠不夠用。

本題是一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)“空間觀(guān)念”思維培養(yǎng)習(xí)題，考查學(xué)生通過(guò)幾何圖形去想象實(shí)際物體，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程。結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，假借“空間觀(guān)念”思維，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：整個(gè)包裝的彩帶總長(zhǎng)度由三部分構(gòu)成：兩個(gè)不同橫截面的周長(zhǎng)，再加上接頭處的15厘米。只要計(jì)算出實(shí)際使用彩帶的總長(zhǎng)度，就可求出2米彩帶到底是否夠用。未知的兩個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)長(zhǎng)度，可利用周長(zhǎng)公式C=2（a+b）算出，分別為2×（40+10）=100（厘米），2×（30+10）=80（厘米），彩帶總長(zhǎng)度為：15+100+80=195（厘米），小于2米，所以，夠用。當(dāng)然，在彩帶計(jì)算過(guò)程中，可以通過(guò)數(shù)學(xué)“空間觀(guān)念”中的“位置移動(dòng)和變化”思維，簡(jiǎn)化求解過(guò)程。我們發(fā)現(xiàn)：彩帶在對(duì)生日禮物禮盒的纏繞過(guò)程中，形成了兩個(gè)封閉的長(zhǎng)方形，借助對(duì)彩帶每個(gè)邊長(zhǎng)的圖形位移，我們發(fā)現(xiàn)：彩帶使用部分的長(zhǎng)度，實(shí)際是對(duì)原立方體的40厘米、30厘米邊長(zhǎng)進(jìn)行2次重復(fù)捆扎、對(duì)10厘米邊長(zhǎng)進(jìn)行4次捆扎的長(zhǎng)度總和（見(jiàn)圖3-2）。那么，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化為：（40+30）×2+10×4=180（厘米），加上打結(jié)處的15厘米，總長(zhǎng)度為：180+15=195（厘米），所以，2米的彩帶夠用。

2.4典型習(xí)題對(duì)“幾何直觀(guān)”的教學(xué)滲透

小學(xué)階段的學(xué)生剛剛接觸數(shù)學(xué)，處于數(shù)學(xué)興趣培養(yǎng)的啟蒙期，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的奠基培育階段。數(shù)學(xué)本身所具有的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)葘W(xué)科特征，容易引起初學(xué)者的恐懼，其教學(xué)中包含的大量概念、公式、定理、推導(dǎo)等相關(guān)內(nèi)容，也會(huì)使學(xué)生在學(xué)習(xí)上產(chǎn)生倦怠，不利于數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)?！皫缀沃庇^(guān)”將直觀(guān)的圖形圖像引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，利用圖形來(lái)描述和分析具體問(wèn)題，將其簡(jiǎn)明化、具體化、形象化，讓學(xué)生能更加直觀(guān)地理解數(shù)學(xué)，從而降低數(shù)學(xué)問(wèn)題難度，提升數(shù)學(xué)問(wèn)題解決效率，有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。在典型數(shù)學(xué)習(xí)題練習(xí)中，我們總能遇到借助“幾何直觀(guān)”思維來(lái)簡(jiǎn)化解題過(guò)程的精彩運(yùn)用。

以下題為例：圖中（見(jiàn)下圖4-1）大圓的周長(zhǎng)為628厘米，大圓內(nèi)部有3個(gè)小圓，它們的圓心都在大圓的直徑上面，并且相切。請(qǐng)問(wèn)：這3個(gè)小圓的周長(zhǎng)之和是多少厘米？

本題看似是利用圓的周長(zhǎng)公式展開(kāi)相關(guān)運(yùn)算的專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)習(xí)題，實(shí)則是一道典型的“幾何直觀(guān)”思維培養(yǎng)習(xí)題。常規(guī)解法是：（1）分析題意，找出未知條件。根據(jù)圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式C=πR，π是隱性已知條件，發(fā)現(xiàn)：想要計(jì)算3個(gè)小圓周長(zhǎng)，前提是要獲悉它們的直徑數(shù)值，于是，解題的焦點(diǎn)回歸到探尋圖中3個(gè)小圓直徑上來(lái)，這是解決本題的核心關(guān)鍵;（2）探尋解題關(guān)鍵，尋找解決途徑。本題已知條件只有大圓周長(zhǎng)是628厘米，那么借助周長(zhǎng)公式C=πR，我們可計(jì)算出大圓的直徑R=C÷π=628÷3.14=200（厘米），通過(guò)觀(guān)察，我們發(fā)現(xiàn)這3個(gè)小圓的直徑之和等于大圓直徑，可借助C總=C1+C2+C3=πR1+πR2+πR3=π（ R1+R2+R3）的公式變化，將分別尋找三個(gè)小圓直徑的核心關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化為對(duì)三個(gè)小圓直徑之和的探究，直徑之和就是大圓直徑，借助圓周長(zhǎng)計(jì)算公式C=πR，可求出圖中3個(gè)小圓周長(zhǎng)之和。（3）整理并輸出計(jì)算。運(yùn)用上述分析，將思維過(guò)程轉(zhuǎn)化為解題步驟：因?yàn)镃總=C1+C2+C3=πR1+πR2+πR3=π（ R1+R2+R3），π=3.14，R1+R2+R3=200，則C總=3.14×200=628（厘米）。那么，細(xì)心的學(xué)生發(fā)現(xiàn)：3個(gè)小圓的周長(zhǎng)之和與大圓周長(zhǎng)相等。其實(shí)，借用數(shù)學(xué)“幾何直觀(guān)”思維，我們可以通過(guò)“小圓直徑之和與大圓直徑相等”這一隱藏在圖形內(nèi)部的條件，很容易得出本題的計(jì)算結(jié)果。拓展開(kāi)來(lái)，如果在同樣條件下，大圓內(nèi)的小圓變成了10個(gè)、20個(gè)、100個(gè)，那么，它們的周長(zhǎng)之和，結(jié)果是多少？顯而易見(jiàn)，與大圓的周長(zhǎng)相等，同樣是628厘米。在這個(gè)典型習(xí)題的基礎(chǔ)上，還會(huì)進(jìn)行其他延展，體現(xiàn)對(duì)“幾何直觀(guān)”思維的培養(yǎng)。如圖4-2所示，若大圓的周長(zhǎng)為628厘米，那么內(nèi)部6個(gè)小圓的周長(zhǎng)之和為多少呢？在此不做贅述，留作讀者思考。綜合而言，“幾何直觀(guān)”是小學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)思維，借助典型習(xí)題，透過(guò)課堂訓(xùn)練積極引導(dǎo)，可激發(fā)數(shù)學(xué)思考，提升數(shù)學(xué)洞察能力，培養(yǎng)良好的空間思維能力。

2.5典型習(xí)題對(duì)“數(shù)學(xué)推理”的教學(xué)應(yīng)用

推理是數(shù)學(xué)基本思維。利用推理來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，貫穿于全部數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。常見(jiàn)的“數(shù)學(xué)推理”主要包括兩個(gè)方面：其一是合情推理，強(qiáng)調(diào)從事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)與直覺(jué)，利用歸納或類(lèi)比等方法來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)果的推斷。其二是演繹推理，是指依據(jù)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)規(guī)則，按照邏輯推理法則來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算或數(shù)學(xué)證明。在實(shí)際教學(xué)中，多數(shù)數(shù)學(xué)習(xí)題反映了“數(shù)學(xué)推理”思維的過(guò)程，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生“數(shù)學(xué)推理”思維能力的培養(yǎng)。因此，要求我們?cè)趯?shí)踐中要加強(qiáng)對(duì)典型推理數(shù)學(xué)習(xí)題的研究，在數(shù)學(xué)運(yùn)用中去發(fā)展學(xué)生的“數(shù)學(xué)推理”思維能力。

以下題為例：求出分?jǐn)?shù)算式1/2+1/4+1/8+1/16的結(jié)果。本題雖然是一道計(jì)算類(lèi)習(xí)題，但其求解過(guò)程卻充分體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)推理”的靈活運(yùn)用，可謂數(shù)學(xué)習(xí)題中的經(jīng)典題型。本題常規(guī)解題思路是先對(duì)其中各個(gè)分?jǐn)?shù)施行分母通分，找出分母的公倍數(shù)，將分子相加，從而求出最終結(jié)果。本題分母的公倍數(shù)為16，分?jǐn)?shù)計(jì)算過(guò)程大抵如下：1/2+1/4+1/8+1/16=8/16+4/16+2/16+1/16=（8+4+2+1）/16=15/16。在“數(shù)學(xué)推理”思維指引下，我們可探尋另外的解題思路，借助推理簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，體現(xiàn)推理思維對(duì)數(shù)學(xué)解題的重要作用。研究發(fā)現(xiàn)：本題算式中各分?jǐn)?shù)可分別用一組首尾呼應(yīng)的分?jǐn)?shù)減式進(jìn)行替換，如1/2=（1-1/2），1/4=（1/2-1/4），1/8=（1/4-1/8），1/16=（1/8-1/16），將分?jǐn)?shù)減式代入算式，前后抵消后即得到極大簡(jiǎn)化，過(guò)程為：1/2+1/4+1/8+1/16=（1-1/2）+（1/2-1/4）+（1/4-1/8）+（1/8-1/16）=1-1/16，迅速得出計(jì)算結(jié)果為15/16。

3? ?結(jié)語(yǔ)

思維培養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的重要教學(xué)任務(wù)。習(xí)題練習(xí)是數(shù)學(xué)實(shí)踐的重要組成，典型數(shù)學(xué)習(xí)題滲透有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)重視對(duì)習(xí)題教學(xué)的研究，從中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)、數(shù)學(xué)推理等思維意識(shí)，以全面提升數(shù)學(xué)綜合能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成。

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