施利強(qiáng), 沈棟嘯

(1.德清縣高級中學(xué)，浙江 德清 313200；2.紹興市第一中學(xué)，浙江 紹興 312099)

( )

初看題目，給我們一種熟悉的感覺，馬上想到了解決數(shù)列題常用的不動點(diǎn)、蛛網(wǎng)圖等方法.但是仔細(xì)探究發(fā)現(xiàn)，本題考查的重點(diǎn)并不在此，用常規(guī)處理手法就可以解決.因此，該題較好地考查了學(xué)生的基本功，也起到了較好的選拔作用.以下，筆者先呈現(xiàn)該題的常規(guī)處理方法.

1 多維剖析，解法呈現(xiàn)

圖1

評注相比較前面的解法，解法3較為簡潔，但該解法有較強(qiáng)的技巧性，在考場中很難想到.筆者嘗試構(gòu)造累加式an

2 變式探究，建立模型

與上面的解法類似，取倒數(shù)待定系數(shù)分析求解可得：

考察發(fā)現(xiàn)，多數(shù)老師疏于對微課的認(rèn)知與研究，在使用過程中，往往硬性地將微課嵌入到課件當(dāng)中，作為新授課內(nèi)容的一部分，缺乏課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)等靈活形式的嘗試。甚至有個(gè)別老師，插入微視頻只是為了調(diào)節(jié)氣氛，不知道其就是微課，對視頻的選擇、制作也沒有針對性。綜合種種問題，所體現(xiàn)的就是微課缺乏科學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，局限于課堂之上，而應(yīng)用效率不高。究其原因，主要有以下幾點(diǎn)：教師對現(xiàn)代教育的信息技術(shù)的意識淡??；對相關(guān)新技術(shù)培訓(xùn)和學(xué)習(xí)的機(jī)會較少；對傳統(tǒng)教學(xué)方式存在根深蒂固的思想，難以實(shí)現(xiàn)意識領(lǐng)域的根本改觀等。

在該放縮結(jié)論下，進(jìn)一步累加或者構(gòu)造等比數(shù)列求和可以估計(jì)前n項(xiàng)和的上下界.

3 深度挖掘，探究本質(zhì)

為進(jìn)一步探究數(shù)列{an}的收斂速度提供理論基礎(chǔ)，我們先介紹Stolz公式.實(shí)際上，Stolz公式也稱為數(shù)列的L′Hospital法則，是研究數(shù)列收斂速度較為有效的工具.

4 回顧歷年，尋找蘑菇

波利亞曾經(jīng)把“數(shù)學(xué)題”比作“蘑菇”，好問題如同某些蘑菇，它們都成堆地生長，找到一個(gè)以后，應(yīng)當(dāng)在周圍再找找，很可能在附近就有好幾個(gè).筆者回顧了浙江省數(shù)學(xué)高考題中的數(shù)列題，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)都在考查數(shù)列的收斂速度.以下筆者給出部分真題中數(shù)列收斂速度的分析.

例1已知函數(shù)f(x)=x2+x3，數(shù)列{xn}(其中xn>0)的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))處的切線與經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(xn,f(xn))的直線平行，求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，

(2006年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

由迭代函數(shù)結(jié)合蛛網(wǎng)圖(如圖2)可知：{xn}單調(diào)遞減收斂到0.又

圖2

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

圖3

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

例4已知數(shù)列{xn}滿足x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*),證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，

1)0

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

圖4

評注通過挖掘?qū)Ρ瓤梢园l(fā)現(xiàn)，這幾年浙江省高考數(shù)列壓軸題的出題背景方向都是考查數(shù)列的收斂速度.收斂速度的探究對學(xué)生思維能力提出了更高的要求，也為我們平時(shí)的教學(xué)提供了方向.

5 寫在最后

本文對一道高考題進(jìn)行深入挖掘的同時(shí)，得到了以下的教學(xué)啟示：

首先，一線教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識和技能的訓(xùn)練.本題的核心處理手法還是我們熟悉的累加求和以及簡單裂項(xiàng)求和放縮.

其次，我們在平時(shí)的教學(xué)過程中，要拓寬學(xué)生的思維和知識量.本題若沒有對數(shù)列的處理方法掌握到一定的程度，沒有對數(shù)列的迭代本質(zhì)了解透徹，則在考場中很難找到切入點(diǎn).

最后，通過對試卷的研究，筆者深刻意識到回歸書本的重要性.本次高考試題重在考查思維能力和計(jì)算能力，起到了很好的選拔作用.因此，我們在注重拓展與拔高的同時(shí)，要重視基礎(chǔ)，回歸課本.