江海華

(太倉市明德高級中學(xué),江蘇 太倉 215400)

2021年，江蘇、山東、廣東等七省(市)參與的新高考“首考”順利落幕后，各專家教授、一線教師紛紛投入到新試題的解答“揭秘”中.當(dāng)然，我們應(yīng)該鼓勵大家對高考題進(jìn)行討論分析:一方面，從多樣性的試題解答中，可以使廣大師生更加了解命題者的意圖，進(jìn)一步明確新高考的考查方向；另一方面，從多視角的試題解讀中，命題專家也可以更加廣泛地聽取廣大師生的意見，在這種良性的“溝通—互動”中使命題工作與課堂教學(xué)真正落實(shí)到“素養(yǎng)立意，凸顯本質(zhì)，選拔人才”中來.

全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷將導(dǎo)數(shù)問題作為壓軸題尚在意料之中，但是以“極值點(diǎn)偏移”作為考查點(diǎn)卻多少有些意料之外.主流意見認(rèn)為：第22題第2)小題考查的并非導(dǎo)數(shù)的主要應(yīng)用，并且在近幾年的?？贾蓄l頻出現(xiàn)，之前對此問題有過研究的考生，解答出來絕非難事，但對未做過類似模擬題的考生來說，則多少有些不公.高考為什么不能命制一道更能體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的壓軸題呢？

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有效工具之一，與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的極值、最值、切線、凹凸性等概念深刻反映了函數(shù)的某些本質(zhì)屬性，和導(dǎo)數(shù)相關(guān)的一系列問題必然成為考查的熱點(diǎn).筆者認(rèn)為，高考命題很難界定導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用應(yīng)該考查什么內(nèi)容，但是利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法卻是永恒的主題.考生在解答這類問題中所涉及的一系列新方法、新思路都能很好地展現(xiàn)其思維品質(zhì)與理性精神，從這個角度來說，與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題將一直是新高考考查的重點(diǎn)與難點(diǎn).筆者曾認(rèn)真研究了這道題，也多方面參考了各專家教授的解答思路，雖然深受啟發(fā)，但很難從那些精妙的數(shù)學(xué)技巧中找到命題者的本意.下面，筆者試圖從極值點(diǎn)偏移的視角來切入該題的解答過程，從“形”的視角來剖析命制思路，從解法多樣性的視角來闡述導(dǎo)數(shù)問題的考查方向.

題目已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2021年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題)

分析1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).因?yàn)閒′(x)=1-lnx-1=-lnx，當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，所以f(x)的遞增區(qū)間是(0,1)，遞減區(qū)間是(1,+∞).

2)因?yàn)閎lna-alnb=a-b，所以

b(lna+1)=a(lnb+1)，

即

故

f(x)=x(1-lnx)<0,

故

1

于是

0

下文再證2

1 從極值點(diǎn)偏移的視角切入

從第2)小題題干的原始形態(tài)來看，命題者有意通過換元變形和對數(shù)運(yùn)算變形隱藏突破口，考查學(xué)生的觀察能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).如果考生可以識別出命題者的意圖，那么很快可以從題干條件和要證明結(jié)論的“形式”切入.

通過第1)小題的解答，可以大致畫出函數(shù)f(x)=x(1-lnx)的圖像(如圖1).若考查含參方程f(x)=c(其中c∈R)解的存在性及個數(shù)問題，則問題過于簡單，放在壓軸題位置肯定不恰當(dāng).那么怎樣在這種常見的函數(shù)模型上命制出有新意的試題呢？

圖1

容易發(fā)現(xiàn)，這種“單峰不對稱”圖形的局部也是不對稱的，這也就是俗稱的“極值點(diǎn)偏移”所依賴的典型函數(shù)特征.筆者先簡要地介紹一下“極值點(diǎn)偏移”的背景.

研究上述滿足條件的x1,x2和極值點(diǎn)m的關(guān)系統(tǒng)稱為“極值點(diǎn)偏移”問題.

2 從“形”的視角來剖析命制思路

從要證明的結(jié)論形式來看：

其中m是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)1.盡管由第1)小題的鋪墊，我們可以畫出函數(shù)f(x)的大致圖像，但是卻不能看出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)左偏這一事實(shí).若從結(jié)論入手，明確的方向可以一定程度上降低試題的解答難度.既然是這樣，那么命題者是從什么角度來命制此題呢？考生又該如何從函數(shù)圖像的“形態(tài)”和結(jié)論的“形式”來解答此題呢？筆者在GeoGebra軟件中繪制了函數(shù)f(x)=x(1-lnx)的具體圖像，利用了該函數(shù)具體的“形態(tài)”，很快發(fā)現(xiàn)了“端倪”.

3 從解法多樣性的視角來闡述導(dǎo)數(shù)問題的考查方向

通過圖2和圖3中一系列的輔助線可以發(fā)現(xiàn)，第2)小題中要證明的就是兩個非常顯然的結(jié)論.

圖2 圖3

結(jié)論1函數(shù)f(x)=x(1-lnx)的極值點(diǎn)1發(fā)生了左偏(如圖2)；

結(jié)論2x1+x2

一般地，數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得要么是通過計(jì)算得來，要么是通過證明得來.在解答題中，理論上我們是不允許通過畫簡圖來說明問題的(特別是通過一些并不常見、并不顯然的粗略圖).既然如此，那說理的過程必然得求助于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)證明.那么該如何給出一個考生可接受(能想到、可操作)的解法呢？下面，筆者將提供第2)小題的幾種典型證法供大家參考.

方法1先證x1+x2>2，即證2-x1f(x2)=f(x1).

令g(x)=f(2-x)-f(x)(其中0

g′(x)=-f′(2-x)-f′(x)=lnx(2-x)

所以g(x)在(0,1]上單調(diào)遞減.于是

g(x)≥g(1)=0，

即證得f(2-x1)>f(x2)=f(x1)成立，從而

x1+x2>2.

再證x1+x2x1.因?yàn)?x1，只需證f(e-x2)>f(x1)=f(x2).

令h(x)=f(e-x)-f(x)(其中e-1≤x

h′(x)=-f′(e-x)-f′(x)=lnx(e-x).

又h′(e-1)=ln(e-1)>ln 1=0,當(dāng)x→e時，h′(x)→-∞.由零點(diǎn)存在性定理可知存在唯一的t0∈[e-1,e)，使得h′(t0)=0，則當(dāng)x∈[e-1,t0)時，h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(t0,e)時，h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.

又h(e-1)=f(1)-f(e-1)>0,h(e)=f(0)-f(e)=0,因此當(dāng)x∈[e-1,e)時，h(x)>0恒成立，有f(e-x2)>f(x1)=f(x2)恒成立，于是e-x2>x1，即x1+x2

x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)，

即

1-lnx1=t(1-lnt-lnx1),

故

不妨設(shè)00；當(dāng)x∈(e,+∞)時，

f(x)=x(1-lnx)<0,

故

1

即

0

(t-1)ln(t+1)-tlnt<0.

令s(t)=(t-1)ln(t+1)-tlnt(其中t>1),則

易證不等式ln(x+1)≤x成立.由上述不等式可得：當(dāng)t>1時，

故s′(t)<0恒成立，s(t)在(1,+∞)上為減函數(shù)，s(t)

方法3利用GeoGebra軟件繪制函數(shù)f(x)=x(1-lnx)的具體圖像,容易發(fā)現(xiàn)圖像呈“單峰不對稱”特征(如圖1).在同一幅圖中，利用切線工具作出函數(shù)f(x)在點(diǎn)(e,0)處的切線y=-x+e，并作出直線y=x(過峰點(diǎn)與無定義點(diǎn)(0,0))與直線y=m=f(x1)=f(x2).直線y=m與兩直線y=-x+e,y=x的圖像的交點(diǎn)分別記為x3,x4(如圖3)，易解出x3=m,x4=e-m.

利用圖3可得以下兩個結(jié)論：

結(jié)論3當(dāng)x∈(0,1)時，直線y=x一直處于函數(shù)f(x)=x(1-lnx)圖像的下方.

結(jié)論4當(dāng)x∈(1,e)時，直線y=-x+e一直處于函數(shù)f(x)=x(1-lnx)圖像的上方.

由結(jié)論3和結(jié)論4易知x1+x2

我們發(fā)現(xiàn)，即使考生沒有處理極值點(diǎn)偏移的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，也能將問題解決.雖然解答過程比較煩瑣，但依舊是考生需要掌握的研究方法.從這個角度來說，該小題的命制，還是客觀公正的.這就要求教師在平時的教學(xué)過程中，要強(qiáng)調(diào)通性通法的極端重要性.

對于極值點(diǎn)偏移問題，常見的處理思路有兩種：1)一般通過原函數(shù)的單調(diào)性，將與自變量有關(guān)的不等式問題轉(zhuǎn)化為與原函數(shù)的函數(shù)值有關(guān)的不等式問題；2)引入新的變量，實(shí)現(xiàn)多變量歸一，把多元不等式問題轉(zhuǎn)化為與新變量有關(guān)的不等式問題.

雖然方法1和方法2很好地解決了上述問題，但從上述解答過程卻很難發(fā)現(xiàn)命題者的意圖和命制思路.方法3從直觀入手，從函數(shù)的形態(tài)切入，完整地展示了命題者的命題思路：利用兩特殊直線(一條為切線)實(shí)現(xiàn)兩側(cè)控制，多數(shù)情況是單側(cè)控制.這應(yīng)該是命制極值點(diǎn)偏移問題的核心思路.

4 從新的呈現(xiàn)方式再研究極值點(diǎn)偏移

極值點(diǎn)偏移問題還有很多其他的呈現(xiàn)形式.筆者在原試題的基礎(chǔ)上給出了新的問題(以下問題1和問題2中的f(x)=x(1-lnx))，供大家思考.

容易發(fā)現(xiàn)，問題1和問題2所表達(dá)的意義相同，下面只證問題1.

證明由文首高考題的第2)小題知

x1+x2>2,

則

由第1)小題知f′(x)=1-lnx-1=-lnx在(1,e)上單調(diào)遞減，從而

f′(x0)

正所謂“教而不研則淺，研而不教則空”[1]，不講思想淵源的“秒殺法”要少講或不講，沒有目的的刷題要少練或不練，為了解題而解題并不能有效地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).一線教師要將教科研的主要精力放在如何突破困擾學(xué)生的難點(diǎn)之上，著力挖掘出題目中內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這樣才能將新課標(biāo)的教改精神真正落到實(shí)處.