姜衛(wèi)東

(揚(yáng)州中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225009)

數(shù)量0與向量0都是一個(gè)特殊的量.正是由于它的特殊性，教材中建構(gòu)數(shù)學(xué)理論時(shí)，對(duì)于涉及0與0的概念和定理都有許多“規(guī)定”；同樣，在平時(shí)的解題教學(xué)中，也不可忽略0或0所對(duì)應(yīng)的特殊位置或特殊情形，避免因漏解而致錯(cuò).另外，在命制試題時(shí)，對(duì)于0或0所對(duì)應(yīng)的極端情形，要格外小心.下面，筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐中的案例，分別從3個(gè)方面進(jìn)行具體分析：

1 重視0和0在概念與定理教學(xué)中的作用

在中學(xué)教材的許多概念及定理中，都會(huì)對(duì)0與0的情形單獨(dú)進(jìn)行表述.因此，教師在講解這些概念及定理時(shí)，要特別強(qiáng)調(diào)0與0的特殊情形，確保概念和定理教學(xué)的完整性.

案例1平行向量(共線向量).

教材在定義平行向量(共線向量)時(shí)，分了兩步完成，首先給出“方向相同或相反的非零向量”，然后特別規(guī)定：零向量與任一向量平行.在講授此概念時(shí)，要提醒學(xué)生不能忽略此規(guī)定.

例1下列命題錯(cuò)誤的序號(hào)是______.

2)若a∥b,b∥c,則a∥c；

3)a=b,b=c,則a=c；

4)若a≠b,則a一定不與b共線.

分析1)，2)，3)容易判斷，此處略.對(duì)于4)，當(dāng)向量b=0時(shí)，無(wú)論向量a與c是否共線，都能滿足a∥b,b∥c,故答案為1)，2)，4).

案例2向量的數(shù)乘及數(shù)量積.

在向量數(shù)乘的定義中，當(dāng)a=0或λ=0時(shí)，規(guī)定λa=0(是零向量，而非實(shí)數(shù)0).在定義數(shù)量積時(shí)，也分兩步完成：首先當(dāng)a,b均為非零向量時(shí)，a·b=|a|·|b|cos ;而當(dāng)a=0或b=0時(shí)，規(guī)定a·b=0(是數(shù)量0而非0).許多教師在講解這一定義時(shí)，會(huì)忽略第二種情況，學(xué)生在回答數(shù)量積的定義時(shí)，也會(huì)漏答第二種情況.

分析只有1)是正確的.在2)中,0·a的結(jié)果是數(shù)量0,而非向量0.

案例3平面向量共線定理.

平面向量共線定理的前提條件是a≠0,在此前提下，a∥b?存在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.如果沒有這一前提，該定理就不成立.

例3判斷下列命題的真假：當(dāng)a與b共線時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.

分析當(dāng)a=0,b≠0時(shí)，這樣的實(shí)數(shù)λ是不存在的,故原命題為假命題.

案例4排列數(shù)與組合數(shù)的符號(hào).

分析由排列數(shù)公式可知

x2-21x+104>0，

解得

x>13或x<8.

2≤x≤7.

又x∈N*,可得x=2,3,4,5,6,7.

這里就不能忽略排列數(shù)中上標(biāo)x-2的情況.

2 重視0和0在解題教學(xué)中的作用

在平時(shí)的解題教學(xué)中，如果忽略對(duì)0和0的討論，也會(huì)導(dǎo)致解題時(shí)漏解或出錯(cuò).

本題也可以直接根據(jù)奇函數(shù)的定義，求出正確答案.

由f(x)為奇函數(shù)，得

f(-x)+f(x)=0,

即

從而

a2-1=0,

得

a=±1.

圖1

分析1)在△ADE中，

據(jù)題意可得

2)學(xué)生中出現(xiàn)了如下的解法：

化簡(jiǎn)得

設(shè)AE=x,則

9=-2×9+9x2-9xcosA,

即

27=9x2-9xcosA.

(1)

過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H.

①當(dāng)點(diǎn)H在線段AB上時(shí)(如圖2)，

圖2 圖3

3xcosA=AH,

從而

9x2-27=3AH.

兩邊平方，整理得

4AH2-18AH=9x2-27=3AH,

即

4AH2=21AH,

從而

②當(dāng)點(diǎn)H在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖3)，

3xcosA=-3xcos ∠CAH=-AH,

代入式(1),得

9x2-27=-3AH.

得

兩邊平方,整理得

4AH2+18AH=9x2-27=-3AH,

即

4AH2=-21AH,

從而

于是得出本題無(wú)解的結(jié)論.

實(shí)際上，學(xué)生的解題過程盡管有點(diǎn)繁,但方法是對(duì)的.為什么最后得不到正確答案呢？原因在于忽略討論了AH=0的情況.

本題我們還可利用向量運(yùn)算來(lái)求解.

設(shè)BC=a,由AB=3,∠ABC=60°,得

2a2-3a-54=0,

解得a=6(負(fù)值舍去)，故BC=6.

分析對(duì)于本題，許多學(xué)生給出了如下的解法：

如圖4，取AC的中點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)OD.由O是△ABC的外心，可知

圖4 圖5

OD⊥AC,

2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)(如圖5)，

又x+2y=1,得2y=1-x,從而

即

亦即

從而

3 重視0和0在命題中的作用

教師在平時(shí)的命題工作中，也要關(guān)注0或0，特別當(dāng)出現(xiàn)間斷點(diǎn)0時(shí)，更要仔細(xì)推敲，否則就會(huì)出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤.

2)對(duì)任給的“2階不減函數(shù)”f(x),如果存在常數(shù)c,使得f(x)

參考答案1)依題意可得

再證f(x)=0無(wú)解.假設(shè)存在正實(shí)數(shù)x2,使得f(x2)=0,則對(duì)于任意的x3>x4>0,有

即

f(x3)>0,

矛盾，故假設(shè)不成立，f(x)=0無(wú)解.

綜上可得f(x)<0,即g2(x)<0.故所有滿足題設(shè)條件的f(x)都是“2階負(fù)函數(shù)”.

圖6

從以上案例分析可以看出，0和0表面上看是虛無(wú)的量，但實(shí)際上具有非常豐富的意義.無(wú)論是在平時(shí)的概念和定理教學(xué)中還是在解題教學(xué)及命題工作中，都要充分挖掘它們的深刻內(nèi)涵，切不可忽略它們的重要作用，從而保證課堂教學(xué)與命題工作的科學(xué)與有效.