沈順良, 沈凱明

(1.海鹽縣教育研究中心,浙江 海鹽 314399;2.通元中學，浙江 海鹽 314399)

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象、用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng).在日常教學中，各類新知學習后的應用問題解決，是發(fā)展數(shù)學建模的良好時機，課內教師的恰當問題引導，是發(fā)展數(shù)學建模的重要策略.下面以“反比例函數(shù)應用”第一課時為例加以呈現(xiàn)和分析.

1 情景問題引導，從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)和提出問題

教師拋出問題1.

問題1高老師開車從新塍鎮(zhèn)中學來到美麗的東湖中學，導航地圖顯示兩校相距54 km.如果老師開車的平均速度是60 km/h，那么老師在路上花費多少時間？

生1：54÷60=0.9(h).

師：你是利用了哪個等量關系？

生1：因為“速度×時間=路程”，所以“時間=路程/速度”.

師：如果汽車的平均速度是vkm/h，那么汽車行駛多少小時到東湖中學？

師：上述情景中可以抽象出怎樣的數(shù)學關系？依據(jù)是什么？

分析與思考本教學片段以教師開車來學校的行程問題作為情景，從特殊到一般，將具體化的速度和時間分別抽象成v和t，再通過“利用了什么等量關系”“抽象出怎樣的數(shù)學關系”及其依據(jù)等問題，引導學生從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)并提出現(xiàn)實中的數(shù)學問題，整個過程通過問題的自然發(fā)現(xiàn)和提出，既提升了學生分析問題的能力，又為下一環(huán)節(jié)的求解模型奠定基礎.

2 變式問題引導，經(jīng)歷分析和構建模型的過程

變式1高老師開車來學校，要求在8時40分前報到.

1)若車速不超過90 km/h，則高老師最晚幾點出發(fā)？

2)若有霧車速不超過50 km/h，則高老師最晚又是幾點出發(fā)？

師：這里已知報到時間，需要求什么？通過什么去求？

生3：求出在速度限制的上限下所需要的時間，根據(jù)已知的路程和所限的速度來求.

師：具體怎么求？

師：如何求解變式1中的問題1)和問題2)？

生3：兩個問題中的速度分別不超過90 km/h和50 km/h，就是所需時間分別要不小于0.6 h和1.08 h了，然后再按照8時40分往前算.

師：你能從函數(shù)角度來分析解決嗎？

圖1

師：請你回顧上述問題的分析與解決過程.

生6：由問題中條件和所求找到速度與時間的關系，在數(shù)學化后利用反比例函數(shù)的式子運算求解，或利用其圖像直觀理解，從圖像中可直觀看到增減情況.

分析與思考首先是提出問題“需要求什么、通過什么求、具體怎么求”，引導學生分析現(xiàn)實速度限制下的時間要求，轉化為路程、速度與時間的等量關系，然后是“從函數(shù)的角度分析解決”引導學生通過數(shù)學運算加以解決，學生自然能夠利用反比例函數(shù)模型來思考分析.后面的過程則引導學生分析與整理，先確定變量后找等量關系，通過等量關系構建相應的數(shù)學模型，利用函數(shù)工具來分析，為下一環(huán)節(jié)的數(shù)學模型求解奠定方法基礎.

3 不同解法引導，用數(shù)學知識求解模型并驗證

變式2兩校相距54 km，當開車時間要求在1 h和1.2 h之間(不包括1 h和1.2 h)時，開車速度應在哪個范圍？

師：找到了數(shù)學模型，變式2就是該函數(shù)當1

師：將“已知自變量范圍求函數(shù)值范圍”轉化為“求不等式的解”.

師：為什么可以求兩端的值？

生8：反比例函數(shù)在第一象限是遞減的.

師：這與實際意義相符嗎？

生8：符合的，時間越短則速度越快.

師：解決過程中可以將數(shù)學與實際相結合，還有其他方法嗎？

生9：可以借助函數(shù)圖像，當t=1時，v=54；當t=1.2時，v=45，由圖1直觀可得45

師：你能歸納一下變式2的解決方法嗎？

生10：實際問題轉化為相應的數(shù)學模型后，就可以利用函數(shù)工具加以解決，將函數(shù)變形為方程、不等式，或利用圖像，求解的過程和結果可以用現(xiàn)實意義來加以輔助和檢驗.

分析與思考教師的提問“找到數(shù)學模型后怎么求”，引導學生用不同的方法求解，其中有將函數(shù)轉化為不等式或方程的化歸，也有利用圖像的直觀想象；通過“與實際意義相符嗎”引導學生求解過程中可以用實際意義來輔助理解和檢驗；最后的問題“能否對變式2作歸納”，讓學生回顧小結，建模后求解時可以將模型進行變形，也需要用現(xiàn)實意義檢驗結果.

4 整體解決過程引導，經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程

給出如下問題，先獨立閱讀思考再小組合作：

問題2在溫度不變的條件下，通過一次次地對汽缸頂部的活塞加壓測出每一次加壓后缸內氣體的體積和氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強如表1所示.當壓力表讀出的壓強為72 kPa時，汽缸內氣體的體積壓縮到多少mL？

表1 缸內氣體的體積和對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強

生11：本題蘊涵著壓強P(kPa)與體積V(mL)的關系(如表1所示)，需要找到P和V的一般關系，再依據(jù)函數(shù)模型來求解.

師：它是什么函數(shù)？又如何確立呢？

生11：從表1中看不出，我是將數(shù)對放在坐標系下進行直觀估計的.如圖2，可能是直線，也可能是反比例函數(shù)的雙曲線.

圖2

師：哪類函數(shù)更合適呢？

生12：我認為是一次函數(shù).將(100,60)，(90,67)代入P=kV+b，求得P=-0.7V+130.

生14：當P=72 kPa時，代入求得V≈83.33 mL，也就是當壓力表讀出的壓強為72 kPa時，汽缸內氣體的體積壓縮到83.33 mL.從表1和圖2來看都是符合的.

師：回顧整個解題過程，你經(jīng)歷了哪些步驟？

生15：先收集、分析表格中的數(shù)據(jù)，再用描點法畫出圖像，接著估計函數(shù)的類型，用待定系數(shù)法求函數(shù)關系式.

教師規(guī)范和引導數(shù)學建模的一般過程并板書.

分析與思考一是根據(jù)題中表格和所求信息，從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)蘊涵的兩個變量之間的一般函數(shù)關系;二是用數(shù)學的方法即借助幾個特殊點畫圖，先估計函數(shù)模型，再加以驗證確認，從而構建正確的函數(shù)模型;三是利用函數(shù)模型求解，并用實際信息加以修正和驗證.“如何思考”是引導學生從數(shù)學角度去閱讀分析，“是什么函數(shù)，如何確立”則是引導學生用數(shù)學方法由特殊到一般去構建模型，“哪類函數(shù)更合適”是引導學生利用實際信息改進和修正模型，“怎么求解、是否正確”是引導學生進行數(shù)學求解和實際驗證，“經(jīng)歷了哪些步驟”則是指向數(shù)學建模解題的全過程.

5 基于數(shù)學建模的一般問題思考

數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題[1].數(shù)學建模的發(fā)展主要依靠日常教學的積累，需要適合的數(shù)學素材進行教學，通過恰當?shù)囊龑詥栴}，讓學生深度經(jīng)歷數(shù)學建模的各個過程.

1)在學習各類新知后，精選合適的實際情境問題，引導學生在情境中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題[2].如本課時中,教師結合自己的上班路途情境，通過不同角度的設問，讓學生發(fā)現(xiàn)距離一定的情形下時間與速度的關系，從而提出兩個變量之間的關系問題.

2)運用數(shù)學的知識和原理對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達數(shù)學問題，建立相應的數(shù)學模型[3].本課例中兩個變量的反比例關系，通過問題的變式引導，無論從解析式的符號語言形式，還是從圖像的幾何語言形式，都是將原路程問題抽象并用數(shù)學語言表示，然后建立反比例函數(shù)的模型.

3)用數(shù)學方法解決模型問題.對于已經(jīng)獲得的反比例函數(shù)模型，教師引導學生用不同的數(shù)學方法加以解決，本課例中有解不等式的方法，也有根據(jù)增減性轉化為解方程的問題，更有利用圖形輔助直觀得解.

4)將求得的結果回到實際問題中加以檢驗，得到正確的結果.這樣的檢驗可以在問題解決的最后結果中，也可以在中間過程的階段性結論中.在最后的應用問題解決中，模擬函數(shù)的確認就是經(jīng)歷了猜想后再檢驗、確認是否符合實際意義.

在上述教學過程中，教師利用恰當?shù)膯栴}引導師生和生生進行交流、反思、歸納、評價及拓展，值得一線教師學習.