樓思遠(yuǎn)， 金 熠

(杭州第十四中學(xué),浙江 杭州 321006)

近日，筆者在解答2021年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第9題時(shí)發(fā)現(xiàn)題中所給的三角形并不存在，在給出證明之后對(duì)題干進(jìn)行了修正，給出了幾種不同的解題方法，并進(jìn)行了變式探究.

1 試題修正

(2021年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第9題)

實(shí)際上，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在線段AC，BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),

(1)

其中

因此本題有誤，分析如下：

圖1

(2)

(3)

結(jié)合式(2)和式(3)，消去m，得

(4)

圖2 圖3

根據(jù)上述計(jì)算過(guò)程，結(jié)合圖2和圖3可知

(S△PQC)max=max{S△PBC,S△AQC}.

對(duì)于S△PQC的最小值，從基本不等式入手更為簡(jiǎn)潔：

圖4 圖5

解法1(向量面積公式)以圖4為例，仿照前面的思路知

(5)

(6)

即

評(píng)注涉及三角形面積相關(guān)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用向量面積公式往往能讓過(guò)程簡(jiǎn)潔而巧妙，在求得關(guān)于m,n的等量關(guān)系后，利用設(shè)而不求的思想，通過(guò)整體代換解得結(jié)果.

2 解法拓展

本題是一道起點(diǎn)低、入口寬、立意高的好題.下面就該題的不同思考角度，再給出幾種解法，以期拋磚引玉(以下解法仍然以圖4為例).

解法2(三點(diǎn)共線性質(zhì))根據(jù)點(diǎn)Q,P,M共線可知：存在實(shí)數(shù)t，使得

將各點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

即

后同解法1.

評(píng)注向量三點(diǎn)共線公式是課本中一個(gè)重要結(jié)論，無(wú)論是針對(duì)高考或是競(jìng)賽，都需熟練掌握.根據(jù)題目條件，結(jié)合圖像特點(diǎn)，選擇三點(diǎn)共線公式讓解題過(guò)程顯得自然而高效.

圖6

即

整理得

后同解法1.

評(píng)注三角函數(shù)是連接代數(shù)與幾何的橋梁之一，在處理某些三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，若能運(yùn)用一些著名的幾何定理，則可以避開(kāi)繁復(fù)的代數(shù)運(yùn)算，快速求得結(jié)果.

知

同理可得

由弦長(zhǎng)公式得

同理可得

(7)

(3-xP)(3-xQ)=4，

評(píng)注根據(jù)題中所給的條件和結(jié)構(gòu),聯(lián)想并建立相應(yīng)的解析幾何模型,把代數(shù)問(wèn)題幾何化,借助解析幾何的有關(guān)知識(shí)問(wèn)題,使解題過(guò)程水到渠成.

進(jìn)而可以得到式(5)，后同解法1.

實(shí)際上，根據(jù)三角形內(nèi)心I的坐標(biāo)公式(在△ABC中，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，a=|BC|，b=|CA|，c=|AB|),得

可知點(diǎn)M即為△ABC的內(nèi)心.

評(píng)注解法5是最簡(jiǎn)潔的，從中可看出點(diǎn)M的由來(lái).但該解法要求解題者對(duì)內(nèi)心坐標(biāo)公式熟記于心，或者具備敏銳的直覺(jué)與觀察力,因此解法5的運(yùn)用范圍有限.

3 變式探究

解題藝術(shù)的精髓在于對(duì)各類解法的關(guān)鍵點(diǎn)、價(jià)值點(diǎn)進(jìn)行回顧與總結(jié)，并通過(guò)各種變式來(lái)加深對(duì)于問(wèn)題的理解.筆者嘗試編擬了以下3個(gè)變式練習(xí)，以期提升對(duì)原題的感悟與欣賞.

上述3個(gè)變式的解答過(guò)程與結(jié)果留給讀者完成.

4 總結(jié)思考

拿到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅要關(guān)注其解題過(guò)程與結(jié)果，更需進(jìn)行題后反思，如審視解題過(guò)程有無(wú)漏洞、步驟是否可以簡(jiǎn)化、答案是否合理(存在)等.在此基礎(chǔ)之上，可以對(duì)原題展開(kāi)多解研究，通過(guò)對(duì)問(wèn)題多角度思考、多方法求解，充分掌握知識(shí)的各個(gè)層面及交匯知識(shí)的綜合與應(yīng)用.更進(jìn)一步，可以對(duì)原題進(jìn)行變式探究(練習(xí))，其思路包括：從本題的條件出發(fā)還能得到其他結(jié)論嗎？本題的逆命題是否仍然成立？本題的解法可以推廣到一般嗎？諸如此類的多層次變式探究，可以幫助尋找到解決問(wèn)題的“關(guān)鍵點(diǎn)”乃至命題人的思路，從而達(dá)到“既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)樹(shù)林，將數(shù)學(xué)思維水平抽象與升華”的目的.