花 奎， 張曉飛

(南京師范大學(xué)第二附屬高級中學(xué),江蘇 儀征 211900)

當(dāng)前高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課存在嚴(yán)重影響復(fù)習(xí)效果的幾種高耗低效現(xiàn)象：1)脫離課本，一味依賴教輔材料，課本的復(fù)習(xí)之源嚴(yán)重缺失；2)扭曲變式訓(xùn)練，大搞題海戰(zhàn)術(shù)忽視思維，就題論題不求創(chuàng)新；3)缺少問題引領(lǐng)，課堂以教師講為主，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的體驗(yàn)少，忽視學(xué)生學(xué)習(xí)能力和素養(yǎng)提升.新高考背景下數(shù)學(xué)試題的選材、試題的結(jié)構(gòu)、設(shè)問方式等，都發(fā)生了非常大的變化.《中國高考評價(jià)體系》明確提出將核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識作為“四層”考查內(nèi)容.這就提醒我們:數(shù)學(xué)學(xué)科命題將立足于全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[1].為了提高高三復(fù)習(xí)課的實(shí)效性，我們進(jìn)行了“課本為源、問題引領(lǐng)、變式教學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐，通過“問題引領(lǐng)回歸課本”和“自然變式微型探究”引導(dǎo)學(xué)生積極參與，深度思考，提升了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，學(xué)業(yè)質(zhì)量提升的效果明顯.本文以“橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程”復(fù)習(xí)教學(xué)為例，談?wù)剬?shí)踐與思考.

1 復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)與設(shè)計(jì)

高考命題的依據(jù)什么？課本必定是重要的根據(jù)之一，絕對不可能是某家出版社的教輔材料.縱觀歷年高考，多數(shù)試題都可以在課本中找到原型.當(dāng)然“回歸課本”僅僅靠背背定理推論、記記結(jié)論公式是不夠的，也是無趣的.為了讓學(xué)生想看課本，會看課本，應(yīng)以“問題”為載體，通過問題來引導(dǎo)學(xué)生自主復(fù)習(xí)課本，學(xué)生在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)需要熟悉課本，研究課本；通過問題對課本資源進(jìn)行自然變式，讓學(xué)生在交流合作自主探究中得到提升.

基于課本和學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，筆者重新組織課本中與橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程相關(guān)的諸多素材資源，設(shè)計(jì)“橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程”的復(fù)習(xí)教學(xué)，并擬定了以下教學(xué)目標(biāo)：1)理解掌握橢圓的幾種定義及相互聯(lián)系，會應(yīng)用定義解題；2)理解掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3)在變式探究中，讓學(xué)生體悟其中的知識、方法、思想，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).復(fù)習(xí)教學(xué)的流程如圖1所示：

圖1

2 教學(xué)過程

2.1 問題驅(qū)動，回歸課本

課前發(fā)放預(yù)習(xí)案，預(yù)習(xí)案中要求學(xué)生自主復(fù)習(xí)課本，并設(shè)計(jì)如下預(yù)習(xí)問題(下稱預(yù)問)：

預(yù)問1橢圓是怎樣定義的？你會畫橢圓嗎？

預(yù)問2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？有何注意點(diǎn)？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣得到的？你有與課本中不同的推導(dǎo)方法嗎？

預(yù)問3通過自主復(fù)習(xí)課本知識，你能完成下列問題嗎？

1)下列3個命題中，真命題有______(填序號).

①平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓;

②動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(0，-2)，B(0,2)的距離之和為4，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓;

③方程mx2+ny2=1(其中m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓.

(蘇教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第33頁第4題改編)

(蘇教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第33頁第2題第4)小題改編)

預(yù)問4通過以上問題的解決，能談?wù)勀愕捏w驗(yàn)和體會嗎？并舉例說明.

設(shè)計(jì)意圖上述設(shè)計(jì)中，預(yù)問1和預(yù)問2可以有效防止學(xué)生看課本走馬觀花，忽視結(jié)論的產(chǎn)生和發(fā)展過程.課本中定理結(jié)論的證明是歷代數(shù)學(xué)大師殫精竭慮的結(jié)果，往往比例題要經(jīng)典得多，體現(xiàn)了更優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思想.預(yù)問3的設(shè)計(jì)有利于對學(xué)生自主復(fù)習(xí)課本的檢驗(yàn)，通過教師課前批閱統(tǒng)計(jì)，使得課堂上師生對話交流更有針對性.預(yù)問4的設(shè)計(jì)具有開放性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)總結(jié)概括能力和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，更有利于完善學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).另外，上述4個預(yù)問的設(shè)計(jì)為課堂上的變式教學(xué)做好了鋪墊，起到“先行組織者”的作用.

2.2 課本為源,變式探究

教學(xué)探究片段1變情境，重溫定義與方程.

問題1我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，請同學(xué)們觀察下列有關(guān)畫橢圓的操作，你知道依據(jù)是什么嗎？

操作探究1用一根長度大于F1F2的細(xì)繩，將其兩個端點(diǎn)固定在點(diǎn)F1,F2，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓.

(蘇教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第28頁例1)

操作探究2[2]“達(dá)·芬奇橢圓儀”制作的方法如下：用兩根木條釘成十字架，木條中間挖一道槽.在另一活動木條PBA的P處鉆一小孔，可以容納筆尖，A,B是兩個螺釘，可以放松移動以配合AP=a,BP=b的長度.當(dāng)A,B各在一條槽內(nèi)移動時，P處筆尖就畫出一個橢圓(可以嘗試用軟件來模擬這一過程).

(蘇教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第64頁第11題)

設(shè)計(jì)意圖上述基于課本的兩個實(shí)際操作情境的變式設(shè)計(jì)中，操作1意在復(fù)習(xí)橢圓的定義，讓學(xué)生了解可以通過定義判定橢圓，操作比較簡單；操作2的設(shè)計(jì)意在復(fù)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不僅讓學(xué)生了解可以通過方程判定橢圓，還可以進(jìn)一步熟悉解析法，揭示解析幾何的本質(zhì).同時，這兩個畫橢圓的操作實(shí)驗(yàn)，既有著生活背景，也有著數(shù)學(xué)史背景，符合新高考的價(jià)值取向，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，重新溫習(xí)和理解了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，還滲透了數(shù)學(xué)史知識，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價(jià)值和文化的真正價(jià)值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化品位.

教學(xué)探究片段2變算法，落實(shí)運(yùn)算素養(yǎng).

問題2建立橢圓方程是如何建系的？你能用不同的方法推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？說說你的推導(dǎo)方法.

通過師生共同探究，得出以下兩種解法.

解法1以點(diǎn)F1,F2所在的直線為x軸、線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)P(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，由橢圓定義可列出相應(yīng)的方程

移項(xiàng)后兩邊平方，得

即

兩邊再平方，得

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,

整理得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

設(shè)b2=a2-c2，得

b2x2+a2y2=a2b2，

即

解法2設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則PF1=a+m，PF2=a-m,即

從而

a2+2am+m2=(x+c)2+y2，

a2-2am+m2=(x-c)2+y2,

聯(lián)立以上兩個方程，得

即

化簡整理得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),

以下略.

在解法2中還可以引導(dǎo)學(xué)生由等式“PF1+PF2=2a”聯(lián)想“a是PF1和PF2的等差中項(xiàng)”，從而可設(shè)公差為m，即

PF1=a+m，PF2=a-m，

讓學(xué)生理解知識的普遍聯(lián)系性.

設(shè)計(jì)意圖教師引導(dǎo)學(xué)生對“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)”進(jìn)行了一題多解，比較分析后得出采用“移項(xiàng)兩邊平方法”要比“直接兩邊平方法”更易計(jì)算的結(jié)論，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生避免繁重的計(jì)算，采用數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家洛必達(dá)的對稱設(shè)法，找出等式關(guān)系，列出方程.通過比較讓學(xué)生了解多種解法，讓學(xué)生理解運(yùn)算對象和運(yùn)算法則及運(yùn)算的方向，掌握合理簡潔的運(yùn)算思路和運(yùn)算方法；同時，又通過“建立橢圓方程是如何建系的？”這一問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性分析：若橢圓關(guān)于x軸對稱，則方程中y的一次項(xiàng)系數(shù)為0；若橢圓關(guān)于y軸對稱，方程中x的一次項(xiàng)系數(shù)為0，這將使得到的方程最簡單，突顯數(shù)學(xué)簡潔之美.問題2的設(shè)計(jì)有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升.

教學(xué)探究片段3變結(jié)構(gòu)，揭示3種定義的聯(lián)系.

問題3觀察課本中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法中的每一個等式，從“形”的角度去思考，會有什么發(fā)現(xiàn)呢？

(讓學(xué)生合作討論并畫圖表示.)

通過學(xué)生的合作探究，得出以下3種變形和相應(yīng)結(jié)論.

PF1+PF2=2a，

這實(shí)際上就是橢圓的第一定義(橢圓的定義).

即

亦即

變形3等式b2x2+a2y2=a2b2可化為

即

亦即

這實(shí)際上就是橢圓的第三定義(橢圓中的二級結(jié)論).

設(shè)計(jì)意圖教師引導(dǎo)學(xué)生通過對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了適當(dāng)改變，讓學(xué)生不僅復(fù)習(xí)了橢圓的3種定義，還發(fā)現(xiàn)了這3種定義之間的本質(zhì)聯(lián)系，和諧統(tǒng)一，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)的和諧之美，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)，同時使學(xué)生內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)更加系統(tǒng).

教學(xué)探究片段4變主體，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).

問題4你能圍繞定義和標(biāo)準(zhǔn)方程從課本上尋找(或編制)典型的例、習(xí)題嗎？

(蘇教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第33頁習(xí)題2.2第4題改編)

(蘇教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第33頁習(xí)題2.2第6題)

圖2

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生自己編題有困難，讓學(xué)生按照教師指定的方向到課本中找題是可以實(shí)現(xiàn)的.這樣做不僅可以達(dá)到運(yùn)用定義和方程的目的，更能讓學(xué)生在找題(或編題)過程中理解每道題考什么？怎么考？讓學(xué)生成為變式教學(xué)的主體，激發(fā)了學(xué)生的興趣，調(diào)動了學(xué)生的積極性，促進(jìn)了學(xué)生的深度參與.

2.3 總結(jié)提煉，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖

問題5通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)，你掌握了哪些知識?哪些思想方法？你能嘗試畫一畫知識結(jié)構(gòu)圖嗎？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生合作討論，共同完善如下的知識結(jié)構(gòu)圖：

設(shè)計(jì)意圖總結(jié)提煉是課堂教學(xué)中的重要一環(huán)，常常被教師忽視.在總結(jié)提煉時，可以通過對知識的脈絡(luò)進(jìn)行梳理、加工、構(gòu)造，畫出知識結(jié)構(gòu)圖，也可以將知識的產(chǎn)生過程、數(shù)學(xué)問題的探究過程等畫出流程圖，充分讓數(shù)學(xué)知識和思維可視化[3].這樣不僅可以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和數(shù)學(xué)思想方法的掌握，同時可以促進(jìn)學(xué)生良好思維習(xí)慣和認(rèn)知方式的形成.

3 教學(xué)反思

3.1 回歸課本是高三復(fù)習(xí)的正道

“課本”是上課之“根本”.高三復(fù)習(xí)備考，應(yīng)密切結(jié)合課本，緊扣考試說明，回避“重教輔，輕課本”的做法[4].案例中課前通過問題引領(lǐng)學(xué)生自主預(yù)復(fù)習(xí)課本，重溫了橢圓的定義和方程；通過課堂教學(xué)中對課本中兩個經(jīng)典操作的解釋，回溯了定義和方程，理解用定義和方程判定橢圓；通過對課本中標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)的一題多解及結(jié)構(gòu)重構(gòu)，拓展了二級結(jié)論(橢圓的第三定義)，揭示數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，讓學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)和諧之美，提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理等核心素養(yǎng)；從課本上尋找(或編制)典型例、習(xí)題，理解了考什么，怎么考，促進(jìn)了學(xué)生的深度參與.整節(jié)課在選材上源于課本，又不拘泥于課本，改變了知識羅列、范例講解、鞏固練習(xí)的傳統(tǒng)的高三復(fù)習(xí)課模式，跳出了題海戰(zhàn)術(shù)，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)[5].

3.2 問題引領(lǐng)復(fù)習(xí)探究的方向

教學(xué)過程是一種提出問題、解決問題的持續(xù)不斷的過程.問題是數(shù)學(xué)的心臟，讓思維從問題開始，思維活動又形成新的問題，這種遞進(jìn)式的問題引領(lǐng)著學(xué)生思考，也為學(xué)生搭起了支架，指明了探究的方向.當(dāng)然問題要針對學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)提出才能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.本節(jié)課從觀察有關(guān)畫橢圓的操作，提出“你知道依據(jù)是什么嗎？”自然重溫定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，又不缺失探究；讓學(xué)生回顧“建立橢圓方程是如何建系的？你能用不同的方法推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？”引發(fā)學(xué)生在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，探究一題多解，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化運(yùn)算，揭示與數(shù)列知識的聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)文化背景；引導(dǎo)學(xué)生觀察課本中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)中的每一個等式，提出“從‘形’的角度去思考，你會有什么發(fā)現(xiàn)呢？”讓學(xué)生聯(lián)想“代數(shù)式”的幾何意義，拓展了數(shù)學(xué)廣度，揭示了橢圓3種定義的本質(zhì)聯(lián)系，彰顯了數(shù)學(xué)和諧之美；以及“你能圍繞定義和標(biāo)準(zhǔn)方程從課本上尋找(或編制)典型例、習(xí)題嗎？”“你能嘗試畫一畫知識結(jié)構(gòu)圖嗎？”等，這些問題指向明確，不斷促進(jìn)學(xué)生的思維有序深入，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會探究，發(fā)揮了學(xué)生的主體性，提高了復(fù)習(xí)探究的效率[6].

3.3 變式教學(xué)是復(fù)習(xí)教學(xué)的有效策略

數(shù)學(xué)變式教學(xué)是一種重要的有效教學(xué)方式.通過變式教學(xué)可以多角度理解數(shù)學(xué)對象，可以開展有層次的教學(xué)活動.在教學(xué)過程中不斷變更問題中的情境或改變思維的角度，變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的結(jié)構(gòu)形式或內(nèi)容，或變化各種不同的實(shí)際應(yīng)用的情境等，以期揭示問題的本質(zhì)或內(nèi)在聯(lián)系.數(shù)學(xué)教育家波利亞指出:“如果不‘變化問題’，我們幾乎不能有什么進(jìn)展.”在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)利用課本中的看似平常的定義、公式、例題、習(xí)題等精心設(shè)計(jì)變式教學(xué).在本節(jié)課中，通過變化橢圓的操作情境、變標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法、變方程的結(jié)構(gòu)、變習(xí)題編制的主體等，厘清了知識脈絡(luò)，拓展了課本內(nèi)容，提煉了思想方法，落實(shí)了核心素養(yǎng)，同時激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)興趣和活動經(jīng)驗(yàn).可見，變式教學(xué)對學(xué)生認(rèn)識問題的本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)化有重要的意義，對學(xué)生追“根”溯“源”尤為重要，無疑是高三復(fù)習(xí)的有效策略.