余 興
(重慶市渝北區(qū)悅港中學(xué) 重慶 401120)
初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)是學(xué)生之前學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的進(jìn)一步擴(kuò)展,要求培養(yǎng)學(xué)生的思維方式和學(xué)習(xí)方式,提高學(xué)生的邏輯思維。二次函數(shù)是教學(xué)重難點(diǎn),加上二次函數(shù)對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和生活有很大的影響,所以,教師務(wù)必要重視二次函數(shù)的教學(xué)。在課堂中尊重學(xué)生的主體地位,突出教學(xué)重點(diǎn),讓學(xué)生充分參與到教學(xué)活動(dòng)中,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。在實(shí)際教學(xué)中,首先要了解學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)情況,然后對(duì)常見問題進(jìn)行分析,找到問題的關(guān)鍵,幫助學(xué)生理解和掌握二次函數(shù)。
二次函數(shù)在我們生活中的應(yīng)用十分廣泛,在不同的領(lǐng)域都能發(fā)揮其應(yīng)用的價(jià)值,不僅可以反映現(xiàn)實(shí)生活中變量之間的數(shù)量關(guān)系,還可以反映變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)。一般地,我們把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫作二次函數(shù),包含二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù),其中x是自變量,y是因變量。在學(xué)習(xí)中需要注意,變量并不代表是未知數(shù),所以,二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù),這樣的說(shuō)法是錯(cuò)誤的。在二次函數(shù)中,未知數(shù)是一個(gè)具體值未知的數(shù),就只是一個(gè)數(shù),而變量是可以在一定范圍內(nèi)進(jìn)行任意取值的。在教學(xué)過(guò)程中,教師可以通過(guò)真實(shí)是案例進(jìn)行,將二次函數(shù)和生活相結(jié)合,提高課堂的教學(xué)效率,幫助學(xué)生掌握知識(shí)重點(diǎn)。
1.圖像
如果我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中作出二次函數(shù)的圖像時(shí),就可以通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn):二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線,并且是一條對(duì)稱軸平行與y軸的拋物線,也是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。當(dāng)b=0時(shí),二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)。二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖形的開口方向和大小,當(dāng)y=ax2(a>0)時(shí),拋物線開口向上,當(dāng)x<0時(shí),y隨著x的增大而減小,當(dāng)x>0時(shí),y隨著x的增大而增大,當(dāng)x=0時(shí),y最小=0;當(dāng)y=ax2(a<0)時(shí),拋物線開口向下,當(dāng)x<0時(shí),y隨著x的增大而增大,當(dāng)x>0時(shí),y隨著x的增大而減少,當(dāng)x=0時(shí),y最大=0;拋物線y=ax2(a≠0)的形狀是由|a|確定的,一般來(lái)說(shuō),|a|越大,拋物線的開口就越小。
2.性質(zhì)
特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax2+bx+c=0(a≠0)此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。一般,二次函數(shù)分為一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式以及等高式。其中一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù)。頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),其中坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱軸為x=h,頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同。交點(diǎn)式:是指已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(x1,x2)和拋物線上另外一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(m,n),來(lái)求函數(shù)解析式,公式為:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2為常數(shù))。等高式:y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0,且過(guò)(x1、m)(x2、m)為常數(shù)),x1、x2為二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。
二次函數(shù)在我們生活中的應(yīng)用范圍十分廣泛,教師應(yīng)在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)分析問題、解決問題,在運(yùn)用中體會(huì)二次函數(shù)的實(shí)際意義[1]。教師要明確教學(xué)目標(biāo),不僅要讓學(xué)生掌握二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn),以及運(yùn)用二次函數(shù)解決生活實(shí)際問題,還要讓學(xué)生體驗(yàn)解決的過(guò)程,幫助學(xué)生探索解決的辦法。
在二次函數(shù)應(yīng)用教學(xué)部分,教師要培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想,讓學(xué)生將實(shí)際中求優(yōu)化的問題轉(zhuǎn)化成為二次函數(shù)的最值問題,然后列出函數(shù)等式求最值。其次,還要培養(yǎng)學(xué)生的建模思想,要引導(dǎo)學(xué)生耐心審題,在審題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問題并提出問題,然后進(jìn)行抽象化、簡(jiǎn)單化的處理,最后進(jìn)行解決,鍛煉學(xué)生的思維方式和思維過(guò)程,通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系解決問題,還要讓學(xué)生在圖像中觀察動(dòng)點(diǎn),確定集合圖形的形狀,提高學(xué)生應(yīng)用能力。
在二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中,看圖像時(shí)切記系數(shù)的取值范圍,在二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中,確定最值問題是非常重要的。很多學(xué)生在求自變量的取值范圍時(shí),忽略了二次函數(shù)系數(shù)的取值范圍以及實(shí)際生活中的邏輯關(guān)系等,就會(huì)出現(xiàn)一系列的問題。學(xué)生對(duì)系數(shù)取值范圍認(rèn)知不足,會(huì)導(dǎo)致在做題的過(guò)程中產(chǎn)生錯(cuò)誤。系數(shù)a的取值不僅決定了二次函數(shù)的開口方向和大小,還決定了函數(shù)的值域變化。
例如:已知二次函數(shù)y=2x2-4x+1,當(dāng)-3≤x≤0時(shí),求它的最大值和最小值。都忘記確認(rèn)對(duì)稱軸是否自變量的取值范圍內(nèi),所以就會(huì)出現(xiàn)問題。
二次函數(shù)不僅是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容,也是學(xué)生步入高中后的基礎(chǔ)內(nèi)容。在二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中熟練求出二次函數(shù)解析式是解決二次函數(shù)問題的重要保證,教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不同的條件,設(shè)出正確的解析式。解析式包括一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式以及對(duì)稱點(diǎn)式,學(xué)生對(duì)這幾種解析式的形式理解不到位,就很難根據(jù)問題條件,設(shè)出正確的解析式[2]。
例如:當(dāng)給出條件是拋物線與x軸的交點(diǎn)或者對(duì)稱軸或者與x軸的交點(diǎn)距離時(shí),本該設(shè)成交點(diǎn)式,學(xué)生卻設(shè)成頂點(diǎn)式,學(xué)生沒有充分了解和掌握二次函數(shù)解析式的基本形式,導(dǎo)致在求二次函數(shù)時(shí)設(shè)出錯(cuò)誤的解析式。
在初中二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中,二次函數(shù)的配方一直是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn),學(xué)生雖然在課堂中記住了教師講解的重點(diǎn),但是在課后訓(xùn)練時(shí),仍然會(huì)答錯(cuò)。要么是沒有提出二次項(xiàng)系數(shù),要么就是配方時(shí)加上的數(shù)字不對(duì)。配方的步驟很復(fù)雜,且知識(shí)點(diǎn)較多,首先要提公因式,將二次項(xiàng)的系數(shù)變成1之后進(jìn)行配方,然后將前三項(xiàng)組成完全平方式,常數(shù)項(xiàng)算出結(jié)果,進(jìn)行配方。其中涉及的知識(shí)點(diǎn)很多,所以導(dǎo)致學(xué)生不能完全掌握,在配完全平方時(shí),出現(xiàn)錯(cuò)誤。學(xué)生在沒有理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行死記硬背是無(wú)法掌握新知識(shí)的,教師要根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)水平進(jìn)行教學(xué),提高學(xué)生的實(shí)踐能力,讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握知識(shí)點(diǎn)。
例如:在將y=x2+3x+2配方時(shí),需要對(duì)比完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2,但是有的學(xué)生就會(huì)記錯(cuò)公式,所以得不到正確的結(jié)果。
在初中二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中,繪制二次函數(shù)圖像也非常重要,二次函數(shù)圖像是研究二次函數(shù)的重要工具,但是很多學(xué)生在繪制二次函數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些問題。會(huì)因?yàn)楹雎宰宰兞康娜≈担淖兌魏瘮?shù)圖形的開口方向,導(dǎo)致出錯(cuò)[3]?;蛘卟荒艽_定對(duì)稱軸,這都是影響學(xué)生繪制二次函數(shù)圖像的關(guān)鍵。在繪制圖像時(shí),教師要引導(dǎo)學(xué)生首先確定對(duì)稱軸x=-b/2a,然后得到x之后,再把這個(gè)x代入函數(shù)就能求出頂點(diǎn)y的坐標(biāo)。然后設(shè)x=0,可得y軸上的截距,找到這個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn),就可以大致畫出二次函數(shù)圖像了。
二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)是初中二次函數(shù)教學(xué)中的一大難點(diǎn),其中包含很多題型,如因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的面積問題、因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的等腰三角形的問題、因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的相似形問題等。這些問題對(duì)于大部分學(xué)生都是存在難點(diǎn)的,所以在二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)問題中出現(xiàn)錯(cuò)誤。
例題:當(dāng)整數(shù)k是何值時(shí),二次函數(shù)y=(3-k)x2-a(k+1)x+3k-1的圖像與x軸交于橫坐標(biāo)為正數(shù)的兩個(gè)不同點(diǎn)?其中部分同學(xué)會(huì)出錯(cuò),錯(cuò)誤原因是因?yàn)閤1+x2>0,且x1x2>0,但是還不夠使二次函數(shù)圖像與x軸相交于不同的點(diǎn),所以解題出錯(cuò)。
初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用十分廣泛,教師要引導(dǎo)學(xué)生利用二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)去分析生活中的問題并解決,在解決實(shí)際問題的過(guò)程中真正掌握二次函數(shù)的實(shí)際作用。二次函數(shù)的應(yīng)用實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題之間的轉(zhuǎn)換過(guò)程,需要在具體的問題總結(jié)數(shù)量的變化規(guī)律過(guò)程,運(yùn)用函數(shù)的思想求最值和數(shù)形結(jié)合的問題。在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí),通常以“以靜制動(dòng)”的方法,把握具體的精致狀態(tài),然后進(jìn)行觀察和分析,尋找具體的等量關(guān)系,在求最值時(shí),可用配方法或者公式法,同時(shí)取值時(shí)注意自變量的取值范圍。
綜上所述,在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中,教師首先要了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度,根據(jù)學(xué)生的具體情況發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題,然后針對(duì)性地提出解決的方法,提高初中二次函數(shù)的教學(xué)效率。在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)系數(shù)取值范圍認(rèn)識(shí)不足、對(duì)解析式的理解不到位、配方錯(cuò)誤或者公式錯(cuò)誤、二次函數(shù)圖像繪制錯(cuò)誤、二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)錯(cuò)誤、二次函數(shù)的應(yīng)用不合理等問題,教師要結(jié)合學(xué)生的問題進(jìn)行有效教學(xué),為學(xué)生創(chuàng)建高效的初中數(shù)學(xué)課堂,尊重學(xué)生的主體地位,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,讓學(xué)生形成利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活問題的能力,促進(jìn)學(xué)生綜合能力和素質(zhì)的提升。