許柱 陳生茹

[摘 要]說課在一定程度上能夠反映授課教師的教育教學理論素養(yǎng)和教科研水平.文章由“一道題”的說課引發(fā)了思考：尺規(guī)作圖也需要“守規(guī)矩”，并以有限次運用標準中規(guī)定的尺規(guī)作圖的五個基本方法進行解法展示.

[關(guān)鍵詞]說課;試題;尺規(guī)作圖

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）35-0010-03

說課，是指授課教師面對同行或評委，在充分備課的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地說出自己的教學設(shè)計及其理論依據(jù).說課在一定程度上能夠反映授課教師的教育教學理論素養(yǎng)和教科研水平.2021年4月，筆者有幸成為泗洪縣第七屆（兩年一次）“推新人”大賽活動第四輪（即說課）的評委，此次說課的重點是說解題，即從給定的六道數(shù)學題中抽取一道進行說課.以下是筆者對“一道題”的說課的觀察與思考.

一、 試題呈現(xiàn)

已知：⊙[O1]的半徑[r=3]，⊙[O2]的半徑[R=8]，[O1O2=13].

（1）如圖1，若直線[l]與⊙[O1]相切于點A，與⊙[O2]相切于點B，求[AB]的長;

（2）尺規(guī)作圖：在圖2中作一條直線[l]，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直線[l]的同一側(cè).（保留作圖痕跡，簡要寫出作法，不需證明）

二、解法展示

本次活動中，“說解題”主要是由授課教師在相對封閉的環(huán)境中限時獨立思考，展示解題思路.以下是部分參賽選手給出的第（2）小題的幾種解題思路.

作法一：（如圖3）

1.以[O1]為圓心，12為半徑作弧.

2.以[O2]為圓心，5為半徑作弧，交前弧于點[B].

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點[D].

4.過點[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點[E].

直線[DE]就是所求作的直線.（同理可以作出符合條件的另一條直線）

作法二：（如圖4）

1.以[O1][O2]為直徑作圓A.

2.以[O2]為圓心，以5為半徑作弧，交圓A于點B.

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點[D].

4.過點[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點[E].（以下步驟同作法一）

作法三：（如圖5）

1.以[O1][O2]為直徑作圓[A].

2.以[O2]為圓心，以5為半徑作弧，交圓[A]于點[B].

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點[D].

4.過點[D]作[O1B]的平行線，交圓[O1]于點[E].（以下步驟同作法一）

作法四：（如圖6）

1.以[O1]為圓心，[395]為半徑作弧，交射線[O2][O1]于點[B].

2.以[O1B]為直徑作圓，交圓[O1]于點[C]、[D].

3.作射線[BC]、[BD]交圓[O2]于點[E]、[F].

直線[BE]、[BF]就是所求作的直線.

作法五：（如圖7）

1.以[O1][O2]為直徑作圓[A].

2.以[O2]為圓心，[R-r]為半徑作弧，交圓[A]于點[B].

3.作射線[O2B]交圓[O2]于點[D].

4.過點[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點[E].（以下步驟同作法一）

三、“說解題”活動的思考

1.尺規(guī)作圖需要“守規(guī)矩”

習近平總書記曾提出“治理一個國家、一個社會，關(guān)鍵是要立規(guī)矩、講規(guī)矩、守規(guī)矩”.尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，顯然，尺規(guī)作圖也需要“守規(guī)矩”——有限次運用標準中規(guī)定的尺規(guī)作圖的五個基本作圖法.

作法一：在利用第（1）小題中的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，結(jié)合題目條件逆向使用數(shù)據(jù)進行作圖，類比得出分別以[O1]、[O2]為圓心，12、5為半徑作弧.12和5容易計算出來，難點是尺規(guī)作圖需使用“標準”中規(guī)定的五個基本作圖法，顯然5可以利用作同心圓得出，那么直接用12為半徑作弧是不“守規(guī)矩”的作法.作法四：看似簡單，但線段[395]不容易用尺規(guī)作圖去獲得，故以[395]為半徑作弧也是不“守規(guī)矩”的作法.

既然5可以通過作同心圓得出，那么作法二和作法一、作法四比較，作法二更趨于合理，所有的步驟都使用“標準”中的五個基本作圖法.作法三和作法二比較，只有最后一步不同，作法三是過點[D]作[O1B]的平行線，交圓[O1]于點[E]，作法二是過點[D]作[O2D]的垂線，交圓[O1]于點[E]，這一步方法的不同，更能考查參賽選手對于“標準”的課程內(nèi)容的設(shè)置要求的了解程度.過一點作已知直線的垂線是“標準”中規(guī)定的五個基本作圖法之一.對于過直線外一點作已知直線的平行線，“標準”要求較低，不屬于尺規(guī)作圖規(guī)定的五個基本作圖法.由此可以看出，展示作法三的參賽選手沒有弄清“標準”中規(guī)定的五個基本作圖法.從這個角度來看，作法二優(yōu)于作法三.作法五更具有一般性，從第一步到最后一步，每一步都嚴格按照五個基本作圖法去找點，與前面幾種方法相比較是最“守規(guī)矩”的通用作圖法，這種通用作圖法的獲得是建立在對“不守規(guī)矩”的作法一、作法三、作法四以及“守規(guī)矩”的作法二的總結(jié)反思、歸納思辨基礎(chǔ)上的.

2.講解題不等于說解題

“說解題”是說課的一種特殊形式，比賽中，很多參賽選手只說解題的過程，沒有說試題命制背景、考查目的、學法指導(dǎo)（解題思路、題目滲透的思想方法）等.解題固然重要，但它只是“說解題”的一個環(huán)節(jié)，所以“說解題”還應(yīng)與說一節(jié)完整課的形式一樣.

3.教學預(yù)設(shè)需要“再創(chuàng)造”

教學“預(yù)設(shè)”指的是教師對給定教學內(nèi)容的理解、鉆研和再創(chuàng)造，說課也體現(xiàn)了教師對教學過程的“預(yù)設(shè)”.本次說課多數(shù)參賽選手能說出1～2種解法，但很少有參賽選手對解法中“不守規(guī)矩”的作圖進行辨析，由此可見，參賽選手沒有對所給內(nèi)容進行充分理解和鉆研，因此無法對所給內(nèi)容進行“再創(chuàng)造”，從而顯得教學“預(yù)設(shè)”不充分.教師在“說解題”的過程中“預(yù)設(shè)”找到“守規(guī)矩”的作法五的通法后，再引導(dǎo)學生進行反思或猜想：可否作一條直線l，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]在直線[l]的兩側(cè)？類比作法五可得到作法六（如圖8）：

1.以[O1][O2]為直徑作圓[A].

2.以[O2]為圓心，[R+r]為半徑作弧，交圓[A]于點[B].

3.連接[O2B]，交圓[O2]于點[D].

4.過點[D]作[O2B]的垂線，交圓[O1]于點[E].（以下步驟同作法一）

以上，通過類比第（2）小題，即作一條直線[l]，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直線[l]的同一側(cè)，“預(yù)設(shè)”是否能作一條直線[l]，使它與⊙[O1]和⊙[O2]都相切，且⊙[O1]和⊙[O2]都在直線[l]的兩側(cè)，引導(dǎo)學生思考，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，這樣才能體現(xiàn)教師對教學內(nèi)容的“再創(chuàng)造”.

四、試題命制的反思

1.試題命制要呈現(xiàn)已有數(shù)學現(xiàn)實

在不斷學習中，學生前面所積累的數(shù)學知識和方法就成為學生的“數(shù)學現(xiàn)實”.這些數(shù)學現(xiàn)實，主要包含學生已有的知識、技能和經(jīng)驗方法，它們應(yīng)當成為學生進一步學習和解決新問題的基礎(chǔ)和素材.教材中呈現(xiàn)的內(nèi)容也是試題命制的“數(shù)學現(xiàn)實”.人教版教材九年級上冊第103頁《圓和圓的位置關(guān)系》以實驗與探究的形式呈現(xiàn)，蘇科版教材九年級上冊第75頁和華師版教材第57頁以閱讀材料的形式呈現(xiàn)，而在該試題中解決第（1）小題的知識和方法成為學生解決第（2）小題的“數(shù)學現(xiàn)實”，體現(xiàn)了試題命制從熟悉問題（教材）到關(guān)聯(lián)問題（試題第（1）小題）再到綜合問題第（2）小題的思路.

2.試題命制要引導(dǎo)教學關(guān)注教材

好題源于教材，教材是把頂層設(shè)計的“標準”落地生根的載體，是各類考題、說課的最大資源庫，各類中考、高考試題的命制都是“源于教材，高于教材”.本題也是蘇科版教材第75頁《圓與圓的位置關(guān)系》的選學內(nèi)容的一個延續(xù).通過平時的課堂教學觀察可以發(fā)現(xiàn)，很多初中數(shù)學教師對課本例題、習題的教學不夠重視，而例題是習題的基礎(chǔ)示范，習題則是例題的遷移、鞏固、變式.數(shù)學教材中的例題、習題都是專家經(jīng)過多次修訂、反復(fù)打磨而成的，其中的每一道例題、習題都具有代表性，體現(xiàn)了一定的數(shù)學思想方法.那么如何通過試題的命制，引導(dǎo)師生關(guān)注教材？試題第（1）小題考查學生基礎(chǔ)知識、技能的掌握和運用，相對應(yīng)教材中的例題，解第（1）小題時能自然地聯(lián)想到遇切點連半徑的基本思路，構(gòu)造出直角梯形，過點[O1]作[O2B]垂線，化未知（直角梯形）為已知（直角三角形和矩形）進行研究，最終使問題得以解決.試題中的第（2）小題則是第（1）小題的遷移、鞏固、變式，相當于教材中的習題.在理解第（1）小題的基礎(chǔ)上逆向思考第（2）小題的解題思路，先要構(gòu)造直角三角形，根據(jù)直徑[O1][O2]所對的圓周角是90°作圓和以[O2]為圓心，[R-r]為半徑作弧找到[O2]上的關(guān)鍵點[D]，根據(jù)兩平行線之間的距離相等，作[O2D]的垂線，再依據(jù)圓心[O1]到直線的距離[d]等于半徑[r]，直線與圓相切，最后作出滿足條件的兩條直線.

3.試題命制要考查學生核心素養(yǎng)

喻平教授曾提出：從知識的理解到知識的遷移，再到知識的創(chuàng)新才能發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).本題從第（1）小題到第（2）小題是知識的理解到知識的遷移的過程，第（2）小題的作法一至作法四利用數(shù)據(jù)5、12、[395]“不守規(guī)矩”作圖，是受第（1）小題負遷移的影響.從解決第（2）小題的思路分析，先構(gòu)造直角三角形，再構(gòu)造矩形，最終得到符合條件的直線，體現(xiàn)了知識正遷移.如果從畫圖而非尺規(guī)作圖的角度看，第（2）小題的作法一至作法四也體現(xiàn)了知識正遷移，如學生在解題中能夠想到通過數(shù)據(jù)5、12、13可以構(gòu)造直角三角形，但數(shù)據(jù)12卻不容易通過尺規(guī)作圖獲得，因為尺規(guī)作圖要“講規(guī)矩”.最后通過思辨，可知要“講規(guī)矩”，只能以[O1][O2]為直徑作圓，以[O2]為圓心，由以8-3為半徑（特殊）到以[R-r]為半徑（一般）作圓，“守規(guī)矩”作圖得出作法五，真正實現(xiàn)了培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的目標.

新一輪義務(wù)教育數(shù)學課程標準修訂即將實施，我們的試題命制應(yīng)實現(xiàn)知識目標到素養(yǎng)目標的轉(zhuǎn)型，從客觀主義到建構(gòu)主義的位移，從淺層學習到深度學習的過渡，最終實現(xiàn)對學生知識評價到能力評價的變革.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 刁成海.說解題：一種別開生面的說課[J].中小學教學研究，2012（1）：23-24.

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[5]? 馬小為.“長期主義”與專業(yè)成長[J].中學數(shù)學教學參考，2021（1）：1-2.

（責任編輯 陳 昕）