徐晨昊，張亞紅

（1.西安交通大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710049；2.西安交通大學(xué) 航天學(xué)院，陜西 西安 710049）

剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可看成剛體繞一系列過(guò)定點(diǎn)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，關(guān)于定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的討論是理論力學(xué)研究中的重要問(wèn)題［1，2］.理論力學(xué)教材中通常先采用幾何法證明達(dá)朗貝爾-歐拉定理，即定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的任何有限位移可通過(guò)繞過(guò)定點(diǎn)的等效轉(zhuǎn)軸的一次轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)，再令運(yùn)動(dòng)時(shí)間趨于無(wú)窮小，定性地得到存在瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的結(jié)論.幾何證明法因不能確定等效轉(zhuǎn)軸和瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸是否唯一而有失完整性.

目前已有文獻(xiàn)使用幾何法直接證明瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的存在性，用反證法證明其唯一性［3］，也有文獻(xiàn)利用解析法證明等效轉(zhuǎn)軸的存在性［4］，經(jīng)典理論力學(xué)教材中也包含瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸存在性的解析證明［5］.若能采用解析法進(jìn)一步對(duì)等效轉(zhuǎn)軸和瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的唯一性進(jìn)行論證，對(duì)于充實(shí)和完善剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述將具有重要意義.

現(xiàn)行理論力學(xué)教材公認(rèn)剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度矢量與瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸共線，通過(guò)反證法說(shuō)明有限歐拉角位移具有不可換序性，從而證明了有限歐拉角位移不是矢量，不能合成為繞等效轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的角位移.同時(shí)通過(guò)特例證明無(wú)限小歐拉角位移是矢量，角速度矢量與歐拉角變化率之間的關(guān)系為

ω ＝ ψ·+θ·+φ·（1）

若能夠?qū)τ谑剑?）進(jìn)行嚴(yán)格的一般性證明，則可進(jìn)一步完善剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述，并對(duì)本部分教學(xué)工作具有很好的參考意義.

本文采用解析法，通過(guò)矩陣運(yùn)算闡明等效轉(zhuǎn)軸與初末狀態(tài)的過(guò)渡矩陣之間的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)等效轉(zhuǎn)軸的唯一性進(jìn)行證明，并嚴(yán)格證明有限歐拉角位移不是矢量的結(jié)論.之后證明瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的唯一性，并對(duì)無(wú)限小歐拉角位移是矢量的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格證明，同時(shí)基于該結(jié)論印證式（1）的正確性，并建立了瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的方位與歐拉角之間的關(guān)系.

1 等效轉(zhuǎn)軸與過(guò)渡矩陣的關(guān)系

設(shè)剛體做定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O.［i j k］和［i′j′k′］分別為定坐標(biāo)系和結(jié)體坐標(biāo)系的單位方向向量，則

矩陣 A 為［i j k］到 [ i′ j′ k′]的過(guò)渡矩陣.同一個(gè)向量在這兩組基底下的坐標(biāo)之間的關(guān)系為

滿足式（6）的向量是等效轉(zhuǎn)軸的方向向量，該向量在定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)向量記作e，由式（5）得

式（7）表明等效轉(zhuǎn)軸的方向向量為過(guò)渡矩陣A的特征值1所對(duì)應(yīng)的特征向量.

2 矩陣法證明等效轉(zhuǎn)軸的唯一性

如式（2）所述，A是兩組三維標(biāo)準(zhǔn)正交基 Q＝［i j k］和 Q′＝ [ i′ j′ k′]之間的過(guò)渡矩陣，滿足

標(biāo)準(zhǔn)正交基構(gòu)成的矩陣是正交矩陣.正交矩陣可逆，其逆矩陣和轉(zhuǎn)置矩陣也是正交矩陣，正交矩陣的乘積依然是正交矩陣.由以上性質(zhì)可知A＝Q-1Q′也是正交矩陣.

剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)可用圖1所示歐拉角描述.設(shè)Q到Q′的歐拉角為ψ、θ、φ，則過(guò)渡矩陣A可表示為

圖1 歐拉角示意圖

其中

因?yàn)闅W拉角與剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置一一對(duì)應(yīng)，所以任意一個(gè)有限位移的過(guò)渡矩陣是唯一的.經(jīng)運(yùn)算可知

正交矩陣的特征值具有以下性質(zhì):若特征值為實(shí)數(shù)，則其必為+1或-1；若特征值為復(fù)數(shù)，則其必成對(duì)出現(xiàn)，且互為模等于1的共軛復(fù)數(shù).A為三階正交矩陣，在復(fù)數(shù)域內(nèi)有三個(gè)特征值λ1、λ2、λ3，且三個(gè)特征值滿足

結(jié)合式（14）和正交矩陣特征值的性質(zhì)分析可知，矩陣A只可能有一對(duì)復(fù)特征值或不含復(fù)特征值.當(dāng)矩陣A有一對(duì)復(fù)特征值時(shí)，剩下的一個(gè)特征值必為1；當(dāng)矩陣A沒有復(fù)特征值時(shí)，因?yàn)锳不是單位矩陣，所以三個(gè)特征值只能為λ1＝1，λ2＝ -1，λ3＝-1.由此可知，過(guò)渡矩陣 A一定有單特征值1，所以式（7）中的特征向量e存在，即等效轉(zhuǎn)軸存在.

特征值 1的代數(shù)重?cái)?shù)是指代數(shù)方程det（A-λI）＝0的根 λ＝1的重?cái)?shù)，由上文可知其為1.特征值1的幾何重?cái)?shù)是指特征方程（7）的基礎(chǔ)解系所含有的向量個(gè)數(shù).根據(jù)線性代數(shù)理論可知，矩陣A的任何特征值的幾何重?cái)?shù)不大于其代數(shù)重?cái)?shù)，又因?yàn)閹缀沃財(cái)?shù)至少為1，所以幾何重?cái)?shù)只能等于1，即A的特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量只在一維向量空間中分布，因此等效轉(zhuǎn)軸是唯一的.

至此，剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有限位移的等效轉(zhuǎn)軸的唯一性證明完畢.

3 有限歐拉角位移的矢量性討論

剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有限位移可以分解為進(jìn)動(dòng)、章動(dòng)和自轉(zhuǎn).假設(shè)歐拉角位移具有矢量性，根據(jù)位移的等效性，三個(gè)歐拉角位移合成結(jié)果應(yīng)當(dāng)?shù)扔趧傮w繞等效轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的角位移.

如圖1所示，進(jìn)動(dòng)、章動(dòng)、自轉(zhuǎn)的角位移分別沿z軸、節(jié)線 ON、z′軸.z軸、節(jié)線 ON、z′軸的方向向量以k、n、k′表示，則歐拉角位移在定坐標(biāo)系下的表示形式為

設(shè)向量 b＝ψ+θ+φ，則

根據(jù)式（9）—（12），利用 MATLAB 計(jì)算可知

由此可見向量b不滿足式（7），所以其不是該有限位移的等效轉(zhuǎn)軸的方向向量.該結(jié)論與位移的等效性相違背，所以假設(shè)本身即是錯(cuò)誤的.

綜上可知，歐拉角位移不是矢量.

4 矩陣法證明瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的唯一性

在無(wú)限小的時(shí)間間隔Δt內(nèi)截取上述有限位移中的任意一段無(wú)限小位移，并且其初末狀態(tài)的結(jié)體坐標(biāo)系不重合.設(shè)結(jié)體坐標(biāo)系在無(wú)限小位移前后的標(biāo)準(zhǔn)正交基 [ i1j1k1]和 [ i2j2k2]對(duì)應(yīng)于定坐標(biāo)系[i j k]的過(guò)渡矩陣分別為 B和 C，且 B＝B1B2B3，C＝C1C2C3，其中

B和C滿足

根據(jù)式（19）和式（20），設(shè) [ i1j1k1]到 [ i2j2k2]的過(guò)渡矩陣為D，則

因?yàn)锽和C皆為行列式為1的正交矩陣，所以D 也是正交矩陣，且 det（D）＝ det（BT）det（C）＝ 1.因此，依照與第2部分完全相同的證明方式可知，該無(wú)窮小位移的等效轉(zhuǎn)軸是唯一的.由于 Δt→0，所以該等效轉(zhuǎn)軸即為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸.又因?yàn)樵摕o(wú)窮小位移是任意選取的，所以剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)任意時(shí)刻的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸具有唯一性.

5 無(wú)限小歐拉角位移的矢量性討論

由上文可知?jiǎng)傮w位移趨于零時(shí)滿足

因?yàn)榫仃嘊的所有元素均可視作為關(guān)于ψ、θ、φ的一階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，所以B存在全微分

矩陣C和矩陣B無(wú)限接近，因此矩陣C可表示為

將式（22）代入上式可得

據(jù)上文所述，矩陣D＝BTC代表無(wú)限小位移的過(guò)渡矩陣，將式（23）代入矩陣 D并利用 MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算，得到過(guò)渡矩陣D的表達(dá)式，它是一個(gè)單位矩陣I與一個(gè)無(wú)窮小量矩陣 H的和.矩陣D的第一行元素為

第二行元素為

第三行元素為

求解矩陣D的特征值1對(duì)應(yīng)的特征（坐標(biāo)）向量，從而得到瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的方向向量.

設(shè)r為坐標(biāo)原點(diǎn)到剛體上某一點(diǎn)的向量，則

dr是其經(jīng)過(guò)該無(wú)限小位移后的變化量

經(jīng)MATLAB軟件計(jì)算可得

由此可知dβ是該無(wú)限小位移所等效的旋轉(zhuǎn)角位移.

將式（24）展開可得

對(duì)比式（15）—（17）中的表達(dá)式，并假設(shè)無(wú)限小歐拉角位移是矢量，可得

由式（26）可知，無(wú)限小歐拉角位移的矢量和等于繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的等效旋轉(zhuǎn)角位移，滿足位移的等效性，因此假設(shè)成立.綜上所述，無(wú)限小歐拉角位移是矢量.

圖2 剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)角速度示意圖

6 結(jié)論

1）證明了剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)等效轉(zhuǎn)軸的唯一性，并給出了等效轉(zhuǎn)軸應(yīng)滿足的條件:方向向量為過(guò)渡矩陣A的特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量.

2）通過(guò)矩陣運(yùn)算，論述了有限歐拉角位移不滿足矢量運(yùn)算的性質(zhì)，從而說(shuō)明有限歐拉角位移不是矢量.

3）在等效轉(zhuǎn)軸唯一性的證明基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用矩陣及其特征值的性質(zhì)，證明了剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的存在性和唯一性.

4）從角位移和角速度的定義出發(fā)，借助矩陣全微分運(yùn)算，證明了無(wú)限小歐拉角位移是矢量，并建立了瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸方向向量與歐拉角之間的關(guān)系.

應(yīng)當(dāng)指出，上述證明和分析除了對(duì)剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的相關(guān)結(jié)論給予嚴(yán)格的解析證明，分析過(guò)程也展示了矩陣及其特征值性質(zhì)在復(fù)雜剛體運(yùn)動(dòng)分析中的優(yōu)勢(shì).