陳俊風(fēng)，謝蔚鑫，王 鑫，劉全慧

（湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所，湖南 長沙 410082）

磁性的一個本性是旋轉(zhuǎn)性，但這一點并不容易理解.例如，麥克斯韋利用渦管構(gòu)造了磁場的力學(xué)模型［1］，很多名家解讀過麥克斯韋的渦管模型［1-3］.較為容易理解的事實是，旋轉(zhuǎn)參考系中的很多物理現(xiàn)象，可以類比于磁場并借用磁場的理論進行處理［4，5］.關(guān)于旋轉(zhuǎn)運動的力學(xué)，近十年來有一個獨立的研究進展.對于約束在超球面上的運動粒子，粒子動量不同分量間的泊松括號或者對易關(guān)系不為零，而是正比于角動量的一個分量［參見下文中的式（9）］.本文把粒子動量不同分量間的泊松括號或?qū)σ钻P(guān)系都稱為不對易性，而且磁場為穩(wěn)恒場，但不要求空間分布均勻.

于是，一方面，粒子局限在球面上的自由運動，旋轉(zhuǎn)是其本性；另一方面，“磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性”（英文原文:magnetism was essentially rotational in nature.這一觀點的歷史源頭及其在認識磁性中的意義，參見文獻［1］及其參考文獻）.由于旋轉(zhuǎn)性是它們二者的一個共性，應(yīng)該有類似的描述［6，7］.注意到，磁場中荷電粒子動量不同分量間不對易，球面上運動粒子動量不同分量間也不對易［8，9］，不過這兩個不對易性相差很大.本文的主要結(jié)果是，二者可以統(tǒng)一到一個表達式里.

其中 q 為粒子的電荷，pi和 Bi（i＝ 1，2，3）為粒子和磁場的三個空間分量.在量子力學(xué)中通過將對應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為量子力學(xué)對易關(guān)系或者量子條件［9］.如果式等號的右邊可以改寫為依賴于角動量的形式，則可以從另外一個角度給出“磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性”的明顯形式.

第1節(jié)中，將證明式等號的右邊可以改寫為依賴于角動量的形式，但是這個角動量是瞬時角動量.第2節(jié)中，將討論這個角動量是否滿足角動量的量子力學(xué)定義.第3節(jié)是結(jié)論.

1 磁場中荷電粒子動量分量間不對易性

考慮到荷電粒子在磁場中受到的洛倫茲力

洛倫茲力公式認為力學(xué)動量p的大小不會改變，僅僅改變方向.把洛倫茲力式（2）和拉莫爾旋進動公式比較，立即發(fā)現(xiàn)粒子的角速度為

角速度的大小也被稱為拉莫爾頻率.

注意到粒子角速度是一個和參考系無關(guān)的性質(zhì)，但是速度是一個和參考系有關(guān)的量.這個參考系中，磁場不含時間.也就是說，粒子速度v必須相對于一個固定參考系，參考圖1.由于磁場在空間的分布和時間無關(guān)，粒子的角速度ω也將是空間點的函數(shù).粒子每時刻在空間的不同點，也就是每個瞬時的角速度互不相同.因此，每個時刻粒子都在一個獨自的瞬時平面和瞬時圓周（實際軌跡可能只是圓周的一小段）上.設(shè)瞬時圓周的半徑為 ρ＝r-R，則如下關(guān)

圖1 固定參考系中的瞬時平面和瞬時圓周

從洛倫茲力公式也可以解出速度v（或者由初始條件決定），這樣從式（6）就可以解出ρ.

把這個結(jié)果代入式（1），即得

其中Lk為粒子角動量的三個分量，ρ為粒子瞬時轉(zhuǎn)動平面中的瞬時半徑.這和二維球面上運動粒子動量不同分量間的經(jīng)典括號的關(guān)系完全一樣［6，7］，不過，在球面上，泊松括號必須換成狄拉克括號.

2 力學(xué)角動量的經(jīng)典和量子力學(xué)

在經(jīng)典力學(xué)中，粒子的力學(xué)角動量可以針對空間中的任意參考點來定義:

這個定義，不僅僅適用于力學(xué)角動量，也適用于正則角動量.

在量子力學(xué)中，角動量必須滿足對易關(guān)系［Li，Lj］＝i??ijkLk，也就是在經(jīng)典力學(xué)中必須滿足經(jīng)典對易關(guān)系［Li，Lj］＝?ijkLk.在經(jīng)典和量子力學(xué)中，這個關(guān)系和定義式（10）是否相容，需要細究.

首先，計算如下泊松括號［Li，Lj］，結(jié)果是

把 r＝ρ+R 代入，立即發(fā)現(xiàn)，當且僅當 r＝ρ，［Li，Lj］＝?ijkLk.即經(jīng)典力學(xué)中，僅僅對轉(zhuǎn)動瞬心定義的力學(xué)角動量是合適的.

第二，經(jīng)典力學(xué)關(guān)系中式（9）中暗含了經(jīng)典力學(xué)運動方程的解式（5）或者式（8）.一般而言，這些關(guān)系在量子力學(xué)中，只在期待值意義上才成立.

一個細致的問題如下.在量子力學(xué)中，如果對瞬心力學(xué)角動量，首先必須定義瞬心.問題是，對于穩(wěn)恒均勻的磁場中的荷電粒子，轉(zhuǎn)動瞬心的坐標的不同分量不對易［9］.因此，量子力學(xué)中是否能定義力學(xué)角動量，不容易有個清晰的結(jié)論.同時很容易發(fā)現(xiàn)，量子力學(xué)中，定義角動量的一個恰當方式是定義正則角動量.因此，在量子力學(xué)中，正確的步驟是先定義正則角動量，然后再看其他角動量的存在性及其意義.

3 結(jié)論

磁場中荷電粒子動量分量間具有不對易性是一個熟知的事實，磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性也是一個熟知的事實.本文認為，把磁場中荷電粒子動量分量間具有不對易性和角動量聯(lián)系起來，可以給磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性這個定性事實一個定量的表達式.這個結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)中總能成立，但在量子力學(xué)中，僅僅在一些波包上求期待值的時候，才能成立.