陳俊風(fēng),謝蔚鑫,王 鑫,劉全慧
(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所,湖南 長(zhǎng)沙 410082)
磁性的一個(gè)本性是旋轉(zhuǎn)性,但這一點(diǎn)并不容易理解.例如,麥克斯韋利用渦管構(gòu)造了磁場(chǎng)的力學(xué)模型[1],很多名家解讀過(guò)麥克斯韋的渦管模型[1-3].較為容易理解的事實(shí)是,旋轉(zhuǎn)參考系中的很多物理現(xiàn)象,可以類(lèi)比于磁場(chǎng)并借用磁場(chǎng)的理論進(jìn)行處理[4,5].關(guān)于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的力學(xué),近十年來(lái)有一個(gè)獨(dú)立的研究進(jìn)展.對(duì)于約束在超球面上的運(yùn)動(dòng)粒子,粒子動(dòng)量不同分量間的泊松括號(hào)或者對(duì)易關(guān)系不為零,而是正比于角動(dòng)量的一個(gè)分量[參見(jiàn)下文中的式(9)].本文把粒子動(dòng)量不同分量間的泊松括號(hào)或?qū)σ钻P(guān)系都稱為不對(duì)易性,而且磁場(chǎng)為穩(wěn)恒場(chǎng),但不要求空間分布均勻.
于是,一方面,粒子局限在球面上的自由運(yùn)動(dòng),旋轉(zhuǎn)是其本性;另一方面,“磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性”(英文原文:magnetism was essentially rotational in nature.這一觀點(diǎn)的歷史源頭及其在認(rèn)識(shí)磁性中的意義,參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]及其參考文獻(xiàn)).由于旋轉(zhuǎn)性是它們二者的一個(gè)共性,應(yīng)該有類(lèi)似的描述[6,7].注意到,磁場(chǎng)中荷電粒子動(dòng)量不同分量間不對(duì)易,球面上運(yùn)動(dòng)粒子動(dòng)量不同分量間也不對(duì)易[8,9],不過(guò)這兩個(gè)不對(duì)易性相差很大.本文的主要結(jié)果是,二者可以統(tǒng)一到一個(gè)表達(dá)式里.
其中 q 為粒子的電荷,pi和 Bi(i= 1,2,3)為粒子和磁場(chǎng)的三個(gè)空間分量.在量子力學(xué)中通過(guò)將對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為量子力學(xué)對(duì)易關(guān)系或者量子條件[9].如果式等號(hào)的右邊可以改寫(xiě)為依賴于角動(dòng)量的形式,則可以從另外一個(gè)角度給出“磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性”的明顯形式.
第1節(jié)中,將證明式等號(hào)的右邊可以改寫(xiě)為依賴于角動(dòng)量的形式,但是這個(gè)角動(dòng)量是瞬時(shí)角動(dòng)量.第2節(jié)中,將討論這個(gè)角動(dòng)量是否滿足角動(dòng)量的量子力學(xué)定義.第3節(jié)是結(jié)論.
考慮到荷電粒子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力
洛倫茲力公式認(rèn)為力學(xué)動(dòng)量p的大小不會(huì)改變,僅僅改變方向.把洛倫茲力式(2)和拉莫爾旋進(jìn)動(dòng)公式比較,立即發(fā)現(xiàn)粒子的角速度為
角速度的大小也被稱為拉莫爾頻率.
注意到粒子角速度是一個(gè)和參考系無(wú)關(guān)的性質(zhì),但是速度是一個(gè)和參考系有關(guān)的量.這個(gè)參考系中,磁場(chǎng)不含時(shí)間.也就是說(shuō),粒子速度v必須相對(duì)于一個(gè)固定參考系,參考圖1.由于磁場(chǎng)在空間的分布和時(shí)間無(wú)關(guān),粒子的角速度ω也將是空間點(diǎn)的函數(shù).粒子每時(shí)刻在空間的不同點(diǎn),也就是每個(gè)瞬時(shí)的角速度互不相同.因此,每個(gè)時(shí)刻粒子都在一個(gè)獨(dú)自的瞬時(shí)平面和瞬時(shí)圓周(實(shí)際軌跡可能只是圓周的一小段)上.設(shè)瞬時(shí)圓周的半徑為 ρ=r-R,則如下關(guān)
圖1 固定參考系中的瞬時(shí)平面和瞬時(shí)圓周
從洛倫茲力公式也可以解出速度v(或者由初始條件決定),這樣從式(6)就可以解出ρ.
把這個(gè)結(jié)果代入式(1),即得
其中Lk為粒子角動(dòng)量的三個(gè)分量,ρ為粒子瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)平面中的瞬時(shí)半徑.這和二維球面上運(yùn)動(dòng)粒子動(dòng)量不同分量間的經(jīng)典括號(hào)的關(guān)系完全一樣[6,7],不過(guò),在球面上,泊松括號(hào)必須換成狄拉克括號(hào).
在經(jīng)典力學(xué)中,粒子的力學(xué)角動(dòng)量可以針對(duì)空間中的任意參考點(diǎn)來(lái)定義:
這個(gè)定義,不僅僅適用于力學(xué)角動(dòng)量,也適用于正則角動(dòng)量.
在量子力學(xué)中,角動(dòng)量必須滿足對(duì)易關(guān)系[Li,Lj]=i??ijkLk,也就是在經(jīng)典力學(xué)中必須滿足經(jīng)典對(duì)易關(guān)系[Li,Lj]=?ijkLk.在經(jīng)典和量子力學(xué)中,這個(gè)關(guān)系和定義式(10)是否相容,需要細(xì)究.
首先,計(jì)算如下泊松括號(hào)[Li,Lj],結(jié)果是
把 r=ρ+R 代入,立即發(fā)現(xiàn),當(dāng)且僅當(dāng) r=ρ,[Li,Lj]=?ijkLk.即經(jīng)典力學(xué)中,僅僅對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心定義的力學(xué)角動(dòng)量是合適的.
第二,經(jīng)典力學(xué)關(guān)系中式(9)中暗含了經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程的解式(5)或者式(8).一般而言,這些關(guān)系在量子力學(xué)中,只在期待值意義上才成立.
一個(gè)細(xì)致的問(wèn)題如下.在量子力學(xué)中,如果對(duì)瞬心力學(xué)角動(dòng)量,首先必須定義瞬心.問(wèn)題是,對(duì)于穩(wěn)恒均勻的磁場(chǎng)中的荷電粒子,轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的坐標(biāo)的不同分量不對(duì)易[9].因此,量子力學(xué)中是否能定義力學(xué)角動(dòng)量,不容易有個(gè)清晰的結(jié)論.同時(shí)很容易發(fā)現(xiàn),量子力學(xué)中,定義角動(dòng)量的一個(gè)恰當(dāng)方式是定義正則角動(dòng)量.因此,在量子力學(xué)中,正確的步驟是先定義正則角動(dòng)量,然后再看其他角動(dòng)量的存在性及其意義.
磁場(chǎng)中荷電粒子動(dòng)量分量間具有不對(duì)易性是一個(gè)熟知的事實(shí),磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性也是一個(gè)熟知的事實(shí).本文認(rèn)為,把磁場(chǎng)中荷電粒子動(dòng)量分量間具有不對(duì)易性和角動(dòng)量聯(lián)系起來(lái),可以給磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性這個(gè)定性事實(shí)一個(gè)定量的表達(dá)式.這個(gè)結(jié)果,在經(jīng)典力學(xué)中總能成立,但在量子力學(xué)中,僅僅在一些波包上求期待值的時(shí)候,才能成立.