陳俊風,謝蔚鑫,王 鑫,劉全慧
(湖南大學 物理與微電子科學學院 理論物理研究所,湖南 長沙 410082)
磁性的一個本性是旋轉(zhuǎn)性,但這一點并不容易理解.例如,麥克斯韋利用渦管構(gòu)造了磁場的力學模型[1],很多名家解讀過麥克斯韋的渦管模型[1-3].較為容易理解的事實是,旋轉(zhuǎn)參考系中的很多物理現(xiàn)象,可以類比于磁場并借用磁場的理論進行處理[4,5].關(guān)于旋轉(zhuǎn)運動的力學,近十年來有一個獨立的研究進展.對于約束在超球面上的運動粒子,粒子動量不同分量間的泊松括號或者對易關(guān)系不為零,而是正比于角動量的一個分量[參見下文中的式(9)].本文把粒子動量不同分量間的泊松括號或?qū)σ钻P(guān)系都稱為不對易性,而且磁場為穩(wěn)恒場,但不要求空間分布均勻.
于是,一方面,粒子局限在球面上的自由運動,旋轉(zhuǎn)是其本性;另一方面,“磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性”(英文原文:magnetism was essentially rotational in nature.這一觀點的歷史源頭及其在認識磁性中的意義,參見文獻[1]及其參考文獻).由于旋轉(zhuǎn)性是它們二者的一個共性,應(yīng)該有類似的描述[6,7].注意到,磁場中荷電粒子動量不同分量間不對易,球面上運動粒子動量不同分量間也不對易[8,9],不過這兩個不對易性相差很大.本文的主要結(jié)果是,二者可以統(tǒng)一到一個表達式里.
其中 q 為粒子的電荷,pi和 Bi(i= 1,2,3)為粒子和磁場的三個空間分量.在量子力學中通過將對應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為量子力學對易關(guān)系或者量子條件[9].如果式等號的右邊可以改寫為依賴于角動量的形式,則可以從另外一個角度給出“磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性”的明顯形式.
第1節(jié)中,將證明式等號的右邊可以改寫為依賴于角動量的形式,但是這個角動量是瞬時角動量.第2節(jié)中,將討論這個角動量是否滿足角動量的量子力學定義.第3節(jié)是結(jié)論.
考慮到荷電粒子在磁場中受到的洛倫茲力
洛倫茲力公式認為力學動量p的大小不會改變,僅僅改變方向.把洛倫茲力式(2)和拉莫爾旋進動公式比較,立即發(fā)現(xiàn)粒子的角速度為
角速度的大小也被稱為拉莫爾頻率.
注意到粒子角速度是一個和參考系無關(guān)的性質(zhì),但是速度是一個和參考系有關(guān)的量.這個參考系中,磁場不含時間.也就是說,粒子速度v必須相對于一個固定參考系,參考圖1.由于磁場在空間的分布和時間無關(guān),粒子的角速度ω也將是空間點的函數(shù).粒子每時刻在空間的不同點,也就是每個瞬時的角速度互不相同.因此,每個時刻粒子都在一個獨自的瞬時平面和瞬時圓周(實際軌跡可能只是圓周的一小段)上.設(shè)瞬時圓周的半徑為 ρ=r-R,則如下關(guān)
圖1 固定參考系中的瞬時平面和瞬時圓周
從洛倫茲力公式也可以解出速度v(或者由初始條件決定),這樣從式(6)就可以解出ρ.
把這個結(jié)果代入式(1),即得
其中Lk為粒子角動量的三個分量,ρ為粒子瞬時轉(zhuǎn)動平面中的瞬時半徑.這和二維球面上運動粒子動量不同分量間的經(jīng)典括號的關(guān)系完全一樣[6,7],不過,在球面上,泊松括號必須換成狄拉克括號.
在經(jīng)典力學中,粒子的力學角動量可以針對空間中的任意參考點來定義:
這個定義,不僅僅適用于力學角動量,也適用于正則角動量.
在量子力學中,角動量必須滿足對易關(guān)系[Li,Lj]=i??ijkLk,也就是在經(jīng)典力學中必須滿足經(jīng)典對易關(guān)系[Li,Lj]=?ijkLk.在經(jīng)典和量子力學中,這個關(guān)系和定義式(10)是否相容,需要細究.
首先,計算如下泊松括號[Li,Lj],結(jié)果是
把 r=ρ+R 代入,立即發(fā)現(xiàn),當且僅當 r=ρ,[Li,Lj]=?ijkLk.即經(jīng)典力學中,僅僅對轉(zhuǎn)動瞬心定義的力學角動量是合適的.
第二,經(jīng)典力學關(guān)系中式(9)中暗含了經(jīng)典力學運動方程的解式(5)或者式(8).一般而言,這些關(guān)系在量子力學中,只在期待值意義上才成立.
一個細致的問題如下.在量子力學中,如果對瞬心力學角動量,首先必須定義瞬心.問題是,對于穩(wěn)恒均勻的磁場中的荷電粒子,轉(zhuǎn)動瞬心的坐標的不同分量不對易[9].因此,量子力學中是否能定義力學角動量,不容易有個清晰的結(jié)論.同時很容易發(fā)現(xiàn),量子力學中,定義角動量的一個恰當方式是定義正則角動量.因此,在量子力學中,正確的步驟是先定義正則角動量,然后再看其他角動量的存在性及其意義.
磁場中荷電粒子動量分量間具有不對易性是一個熟知的事實,磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性也是一個熟知的事實.本文認為,把磁場中荷電粒子動量分量間具有不對易性和角動量聯(lián)系起來,可以給磁性本質(zhì)上是旋轉(zhuǎn)性這個定性事實一個定量的表達式.這個結(jié)果,在經(jīng)典力學中總能成立,但在量子力學中,僅僅在一些波包上求期待值的時候,才能成立.