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        利用三維球性質(zhì)直觀地推導(dǎo)麥克斯韋速度分布率

        2021-12-12 09:48:00孫宇辰張兆龍
        大學(xué)物理 2021年12期
        關(guān)鍵詞:方向

        孫宇辰,張兆龍

        (北京大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100871)

        現(xiàn)有大學(xué)熱學(xué)教材,都會(huì)涉及麥克斯韋速度分布律.然而現(xiàn)有教材與論文均未給出一個(gè)直觀同時(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法.大部分教材或直接給出結(jié)果且僅證明結(jié)果符合要求[1],或在列出方程 f(vx,vy,vz)= g(vx)g(vy)g(vz)后直接用“試探解”給出結(jié)果[2].部分文獻(xiàn)通過(guò)解偏微分方程得到結(jié)果或給出解的唯一性證明,但這樣就會(huì)拘泥于數(shù)學(xué)公式而喪失了物理的直觀.筆者在課后思索并與同學(xué)討論后發(fā)現(xiàn)了一種較為幾何直觀且不用解偏微分方程的證明方法,這樣可以用大多數(shù)學(xué)生能理解的方法嚴(yán)謹(jǐn)直觀地證明麥克斯韋速度分布律,并使學(xué)生能更好地理解麥克斯韋速率分布與某方向上速度分布的關(guān)系并了解三維球的一個(gè)重要性質(zhì).

        這篇文章的結(jié)構(gòu)如下:在第二節(jié)引入了球坐標(biāo)系及球臺(tái)側(cè)面積公式,在第三節(jié)用速率分布函數(shù)表示了速度分布函數(shù),第四節(jié)通過(guò)常微分方程求解麥克斯韋速度分布函數(shù),第五節(jié)為結(jié)束語(yǔ).

        1 關(guān)于三維球的性質(zhì)

        為了后文的證明,本節(jié)引入球臺(tái)側(cè)面積公式.如圖1所示,設(shè)三維球的半徑為 r,選定某一特定方向?yàn)閤軸(圖中選取水平方向),球面上某一點(diǎn)與x軸夾角為 θ.下面求出單位 x軸上對(duì)應(yīng)的球臺(tái)側(cè)面積:

        圖1 dS為球臺(tái)側(cè)面積,θ為球面上某一點(diǎn)與x軸的夾角

        故三維球?qū)?yīng)于單位坐標(biāo)軸的面積與x選擇無(wú)關(guān).

        2 由速率分布函數(shù)推出某方向速度分布函數(shù)

        根據(jù)上文結(jié)論,容易得到

        根據(jù)定義,有

        該式得到了 g(vx)的用 f(v)表示的表達(dá)式.

        3 求解

        在大多數(shù)教科書(shū)中,均有[3]

        將式(4)代入式(3),有

        由于空間對(duì)稱(chēng)性,g(vx)= g(-vx),vg(v)為奇函數(shù),故有

        所以式(5)積分下界的絕對(duì)值可以去掉,即

        左右對(duì)vx求導(dǎo),移項(xiàng),得

        這是 g(vx)的一階線(xiàn)性齊次常微分方程,代入g(0),得

        下面確定g(0)的值.由溫度定義可知

        故有

        代入式(4)、(8),得

        式(13)、(14)即麥克斯韋速率分布函數(shù)與某方向麥克斯韋速度分布函數(shù).

        4 結(jié)語(yǔ)

        致謝:本文撰寫(xiě)過(guò)程中得到了北京大學(xué)物理學(xué)院全海濤教授的指導(dǎo),再次表示衷心感謝.

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