王鎧澤，陶小平

（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院，安徽 合肥 230026）

電磁阻尼是法拉第電磁感應(yīng)定律預(yù)言的重要結(jié)果［1，2］，把一個(gè)小圓柱形永磁體沿豎直金屬管軸線的上端放入管口，圓柱直徑小于黃銅管的內(nèi)徑.在磁體沿銅管軸線下落的過(guò)程中，小磁體上方銅管的磁通量減小，下方銅管的磁通量增大，銅管中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流的磁場(chǎng)將對(duì)下落的小磁體產(chǎn)生阻力作用.如銅管足夠長(zhǎng)，磁體下落到管子的一定深度后，速度將達(dá)到某一定值，在銅管中作勻速直線運(yùn)動(dòng).現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)比較完整地探究了帶有電磁阻尼的動(dòng)力學(xué)過(guò)程［3-7］，本文在此基礎(chǔ)上將這種運(yùn)動(dòng)特性用于金屬電導(dǎo)率和小磁體磁矩的測(cè)量上，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案并對(duì)相關(guān)物理參數(shù)進(jìn)行定量測(cè)量.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 磁場(chǎng)對(duì)渦流的作用力

在磁體沿黃銅管軸線下落的過(guò)程中，由于銅管所有部分以相同的速度作切割磁感線運(yùn)動(dòng)，所以銅管的任一部分都相當(dāng)于是電源.如圖1所示，銅管的內(nèi)半徑為 r1，外半徑為 r2，滿足 r2-r1＜＜r1，平均半徑 a＝（r1+r2）/2，當(dāng)銅管與小磁體的相對(duì)速度大小為v時(shí)，銅管中長(zhǎng)度為Δz的任一小段沿圓周繞行一周的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為

圖1 磁場(chǎng)對(duì)渦流的作用

式中Brz是小磁體在銅管上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向分量.

長(zhǎng)為Δz的一段銅管沿圓周繞行一周的電阻為RΔL，電導(dǎo)為 GΔL.離軸心 r處，截面為 Δzdr沿圓周繞行一周的電導(dǎo)為

所以

式中ρ為銅管電阻率.

Δz段的電流為

Δz段的電流受到磁場(chǎng)的作用力

即

1.2 小磁體產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

圖2 銅管與運(yùn)動(dòng)磁體的作用力

小磁體在銅管上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向分量為

所以

1.3 小磁體在金屬管中作勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度

當(dāng)小磁體運(yùn)動(dòng)到銅管中部位置附近時(shí)，銅管所受磁體向下的作用力為

當(dāng) L＞＞a時(shí)，對(duì)式（11）積分并化簡(jiǎn)得

當(dāng)Fz＝m0g時(shí)，小磁體作勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為

式中 m0是小磁體的質(zhì)量，ρ為銅管的電阻率，r1、r2分別為銅管的內(nèi)、外半徑，a為銅管的平均半徑，m為磁體的磁矩，μ0為真空中的磁導(dǎo)率，g為重力加速度.

如果能判斷出小磁體在銅管中部作勻速直線運(yùn)動(dòng)，并測(cè)出其勻速運(yùn)動(dòng)的速度，則根據(jù)式（13）可確定小磁體的磁矩.

2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示.電阻率為ρCu的黃銅管一根，銅管中部附近有一些等間距（間距為1.0 cm）的水平小孔.小圓柱磁體的直徑為 8.0 mm，高度為10.0 mm，質(zhì)量為10.00 g.小磁體在銅管中的下落速度，可用光電門進(jìn)行測(cè)量［8］.

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置

為測(cè)量鋁的電阻率，本實(shí)驗(yàn)還提供一根與銅管幾何尺寸相同的待測(cè)鋁管.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 確定小磁體在黃銅管中勻速下落的速度

小磁鐵在銅管中下落時(shí)會(huì)受到電磁阻力最終達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)態(tài).可以通過(guò)改變光電門的位置，判斷小磁體在銅管中部附近勻速下落的區(qū)間，測(cè)量出小磁體在銅管中勻速下落的速度.本次實(shí)驗(yàn)采取在中部附近打孔，設(shè)置光電門，兩個(gè)光電門相距 l＝10 cm.測(cè)量20次所得的運(yùn)動(dòng)時(shí)間如表1所示.

由表1的測(cè)量數(shù)據(jù)得小磁體平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

所以小磁體在銅管中勻速運(yùn)動(dòng)的速度為

表1 小磁體在銅管中運(yùn)動(dòng)時(shí)間

3.2 測(cè)量圓柱形鋁管的電阻率

測(cè)量出待測(cè)鋁管（與銅管具有相同幾何尺寸）的長(zhǎng)度，內(nèi)、外半徑以及小磁體在鋁管中勻速下落的速度等物理量，在已知銅的電阻率情況下，可以確定圓柱形鋁管的電阻率.

測(cè)量小磁體在鋁管中下落的運(yùn)動(dòng)時(shí)間如表2所示.由表2得到平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

表2 小磁體在鋁管中運(yùn)動(dòng)時(shí)間

所以小磁體在鋁管中勻速運(yùn)動(dòng)的速度為

根據(jù)式（13），得到黃銅管和鋁管的電阻率之比為

3.3 測(cè)量小磁體的磁矩

測(cè)量管的長(zhǎng)度、內(nèi)外半徑以及小磁體在黃銅管中勻速下落的速度，可確定小磁體的磁矩.銅管內(nèi)外半徑的測(cè)量值為:r1＝5.48 mm，r2＝ 7.97 mm，黃銅的電阻率為 ρ＝7.10×10-8Ω·m.由式（13）得

代入求值得

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了在電磁阻尼作用下小磁體在金屬管中的下落運(yùn)動(dòng)特性，設(shè)計(jì)了可以用于測(cè)量金屬電阻率和小磁體磁矩的實(shí)驗(yàn)方案.實(shí)驗(yàn)操作簡(jiǎn)單易行，數(shù)據(jù)測(cè)量具有較高精度，為磁矩和金屬電阻率等物理量的測(cè)量提供了實(shí)驗(yàn)方法.