丁又也，張三軍，尹亞玲

（華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)學(xué)院 物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，上海 200241）

“分光計(jì)的調(diào)節(jié)與三棱鏡折射率的測(cè)量”是高校普通物理實(shí)驗(yàn)中的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)著重訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)分光計(jì)的調(diào)整與使用，以及對(duì)基于實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行基礎(chǔ)的處理，從而理性認(rèn)識(shí)折射率與波長的關(guān)系.常見的分光計(jì)實(shí)驗(yàn)的分光器具為三棱鏡，光源為低壓汞燈光源.低壓汞燈接近白色，各譜線強(qiáng)度相近，通過三棱鏡色散后可以清晰地看到黃色、綠色、紫色的譜線.在該實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生觀察汞燈不同顏色的譜線，并從實(shí)驗(yàn)中求得各色譜線的折射率，定性分析折射率和波長的關(guān)系，直觀形象，但是未深入探究原子譜線的產(chǎn)生機(jī)理［1］.

實(shí)際上，學(xué)生對(duì)于譜線特征的理論分析，更多是以堿金屬原子譜線為案例.經(jīng)典的《原子物理學(xué)》教材［2］，以鋰原子為例介紹四類線系，以鈉原子為例介紹量子缺，以鈉原子3P→3S譜線為例介紹譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂，等等.在近代物理實(shí)驗(yàn)中，“鈉原子光譜實(shí)驗(yàn)”是一個(gè)經(jīng)典實(shí)驗(yàn).其關(guān)于原子性質(zhì)認(rèn)識(shí)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)具有重要的啟發(fā)作用和借鑒意義.學(xué)生利用較為精密的儀器，通過軟件接收并獲得鈉原子譜線的波長和能量數(shù)據(jù)，并以此計(jì)算鈉原子各能級(jí)的量子缺，繪制原子能級(jí)，深入認(rèn)識(shí)原子特性.該實(shí)驗(yàn)中，內(nèi)插法的數(shù)據(jù)處理過程比較復(fù)雜，學(xué)生過去少有接觸，因而不夠熟悉，可以在普通物理實(shí)驗(yàn)課程中先行訓(xùn)練.

由上可知，分光計(jì)對(duì)于光譜的觀察具有直觀性，而鈉原子光譜的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)有效培養(yǎng)了學(xué)生的理論分析和數(shù)據(jù)處理能力.有一些學(xué)者在實(shí)驗(yàn)的拓展上作了研究，例如鄧?yán)蛲卣狗止庥?jì)實(shí)驗(yàn)，將測(cè)量數(shù)據(jù)擬合以柯西公式驗(yàn)證［3］；朱洪玉將汞燈替換為鈉燈，從理論上分析了目視可得的鈉原子光譜的譜線波長［4］；蘆立娟、沈建堯測(cè)量并給出了鈉原子譜線的線系歸屬［5］；藍(lán)發(fā)超、唐宇給出了一種用Matlab計(jì)算鈉原子量子缺的快速方法［6］.但是這些研究都沒有嘗試將兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的思路結(jié)合起來.如果在普通物理實(shí)驗(yàn)中，能有一種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，既能直觀地觀察到原子譜線，又能對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行較為深入的分析，這對(duì)于學(xué)生理解知識(shí)、培養(yǎng)思維以及提高實(shí)驗(yàn)技能，都是大有裨益的.

基于以上想法，我們提出一個(gè)基于分光計(jì)的拓展實(shí)驗(yàn)，利用分光計(jì)觀察和測(cè)量鈉原子的光譜，并利用內(nèi)插法計(jì)算其量子缺.該實(shí)驗(yàn)用普通物理實(shí)驗(yàn)的方法，通過計(jì)算，獲得了近代物理實(shí)驗(yàn)相關(guān)物理量的數(shù)據(jù)，是實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)上的一次創(chuàng)新，同時(shí)激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高其對(duì)于物理直觀和物理圖像的認(rèn)識(shí).

1 實(shí)驗(yàn)原理和思路

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1.1 譜線的產(chǎn)生和量子缺［2］

對(duì)于氫原子，由里德伯公式可得，氫原子譜線的波數(shù):

其中n和n′為主量子數(shù)，該式表示氫原子外層電子由主量子數(shù)為n′的能級(jí)躍遷至n時(shí)，產(chǎn)生的光子的波數(shù).RH為里德伯常量，其大小可由基本物理量算出.若用mA表示原子核質(zhì)量，me表示電子質(zhì)量，則

由于鈉原子譜線主要由最外層電子的躍遷產(chǎn)生，此時(shí)可以看作類氫離子，因而鈉原子譜線的波數(shù)為

其中Z是有效核電荷數(shù).相應(yīng)地

如果把波數(shù)計(jì)算公式的分母改寫，則可以記作

其中的Δ即為某一能級(jí)的量子缺.

考慮到每個(gè)主量子數(shù) n都有 n個(gè)軌道角量子數(shù)，記作 l，其取值為 0、1、2、…、n-1，對(duì)應(yīng)的光譜學(xué)標(biāo)記分別為 S、P、D、….躍遷選擇定則要求躍遷前后Δl＝±1，因而對(duì)于鈉原子而言，會(huì)有 nP→3S（主線系），nS→3P（銳線系），nD→3P（漫線系），nF→3D（基線系）等4種線系.一般而言不同的軌道角動(dòng)量對(duì)應(yīng)不同的量子缺數(shù)值，因而相應(yīng)地會(huì)有 Δs、Δp、Δd、Δf等量子缺值.

1.1.2 最小偏向角和折射率［7］

均勻介質(zhì)對(duì)于一定頻率的光而言，有一定的折射率.當(dāng)光通過三棱鏡時(shí)會(huì)發(fā)生折射，入射光線和出射光線有一夾角δ.δ有一最小值，稱為最小偏向角，記作 δmin.如圖1所示，設(shè)三棱鏡的頂角為 α，當(dāng)入射和出射光線的夾角等于最小偏向角時(shí)，可以算出該頻率對(duì)應(yīng)的折射率

圖1 三棱鏡折射光路示意

因而只要測(cè)量出頂角和最小偏向角，即可得到折射率.由柯西色散公式，保留到4次項(xiàng)，有

只要代入已知波長對(duì)應(yīng)的折射率，即可求解得到待定系數(shù).進(jìn)而代入未知波長光譜的折射率，可以反推出光的波長.

1.2 實(shí)驗(yàn)思路

本實(shí)驗(yàn)的核心問題有二，即鈉原子光譜線的波長測(cè)量和基于波長的能級(jí)量子缺的計(jì)算.考慮到分光計(jì)無法直接測(cè)量波長，故可以利用柯西公式過渡.首先，利用分光計(jì)測(cè)量三棱鏡的頂角和汞燈黃、綠、紫譜線的最小偏向角，計(jì)算譜線的折射率；其次，通過數(shù)據(jù)擬合，得到保留4次項(xiàng)的柯西公式；最后，利用鈉燈測(cè)量出的最小偏向角計(jì)算折射率，代入公式反求其波長.這便完成了波長的測(cè)量.在波長測(cè)量的基礎(chǔ)上，通過內(nèi)插法數(shù)據(jù)處理，可以得到鈉原子的能級(jí)量子缺.

2 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和數(shù)據(jù)

2.1 測(cè)量三棱鏡的頂角

利用“二分之一調(diào)節(jié)法”［8］調(diào)節(jié)好分光計(jì)后，利用自準(zhǔn)直法［3］測(cè)量三棱鏡的頂角.旋轉(zhuǎn)望遠(yuǎn)鏡，讀出其分別垂直于三棱鏡兩個(gè)面時(shí)的表盤示數(shù)，獲得數(shù)據(jù)如表1.

表1 三棱鏡兩個(gè)面位置的測(cè)量

三棱鏡的頂角

2.2 汞光譜折射率的測(cè)定

開啟汞燈，恰當(dāng)?shù)財(cái)[放三棱鏡的位置，使靠近望遠(yuǎn)鏡的一面盡量與汞燈的光路垂直［3］.仔細(xì)調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡的位置，直至觀察到視野中有色散譜線，其中有兩條黃色、一條綠色、一條紫色譜線，按從左向右的順序展開.各譜線強(qiáng)度視覺上相近.選定一條譜線后，轉(zhuǎn)動(dòng)小平臺(tái)，使得視野中該譜線先向一側(cè)移動(dòng)、又反向移動(dòng)，反復(fù)幾次找到轉(zhuǎn)折點(diǎn)，轉(zhuǎn)折處對(duì)應(yīng)的角度即為最小偏向角.測(cè)量數(shù)據(jù)在表2—表6中.

表2 汞燈狹縫位置的讀數(shù)

表3 黃色譜線（579.07 nm）位置的讀數(shù)

表4 黃色譜線（576.96 nm）位置的讀數(shù)

表5 綠色譜線（546.07 nm）位置的讀數(shù)

表6 紫色譜線（435.83 nm）位置的讀數(shù)

由

可以算出最小偏向角，進(jìn)而算出折射率.利用平均值的計(jì)算結(jié)果，如表7所示.

表7 汞燈譜線波長和折射率的關(guān)系

依據(jù)柯西公式，擬合出結(jié)果如圖2所示.擬合式為

圖2 折射率-波長擬合示意圖

2.3 鈉光譜的測(cè)定

依照上述方法，將汞燈換為鈉燈，進(jìn)行狹縫和譜線的測(cè)量.可以看見紅色、黃色、綠色三色的譜線.由于鈉燈中黃雙線強(qiáng)度較大，在視野中難以分辨，故取黃線的中部代替兩根黃色譜線分別測(cè)量.測(cè)量結(jié)果如表8—表11.

表8 鈉燈狹縫位置的讀數(shù)

表9 紅色譜線位置的讀數(shù)

表10 黃色譜線位置的讀數(shù)

表11 綠色譜線位置的讀數(shù)

類似地，可以算出最小偏向角，進(jìn)而算出折射率.再將折射率代入柯西公式，即可解出對(duì)應(yīng)的波長，結(jié)果見表12.

表12 鈉燈譜線折射率和波長的關(guān)系

將求算出的波長與理論分析得到的譜線值對(duì)照可知［5］，紅色為 5S→3P的譜線，屬于銳線系；黃色為3P→3S的譜線，屬于主線系；綠色為6S→3P的譜線，也屬于銳線系.

3 鈉原子量子缺的計(jì)算

3.1 鈉原子s能級(jí)的量子缺

考慮每一組線系中相鄰譜線的波數(shù)差

為計(jì)算方便起見，可以令

其中m為整數(shù)，a為正的小數(shù).這樣

為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，我們選用內(nèi)插法，通過對(duì)里德伯表的查詢，獲得未知量m和a.內(nèi)插法的基本思路如下:依據(jù)里德伯表的標(biāo)準(zhǔn)［9］，這里取RNa＝109 737.31 cm-1.求出的波數(shù)差 Δ介于表中波數(shù)差Δ和Δ之間，可以從表中讀出這兩個(gè)波數(shù)差對(duì)應(yīng)的m值，記表中兩個(gè)波數(shù)差對(duì)應(yīng)的a值分別為a1和a2，則由內(nèi)插法可得實(shí)際的a值應(yīng)當(dāng)為

然后依據(jù)代換關(guān)系，可以計(jì)算出量子缺:

利用銳線系的兩條譜線即可算出s能級(jí)的量子缺.經(jīng)過計(jì)算，可得Δν?＝3 158.10 cm-1.從表中可知，對(duì)應(yīng)“34”，即 m＝3；其對(duì)應(yīng)兩側(cè) a1＝0.66，a2＝0.64，Δν?1＝3 138.66 cm-1，Δν?2＝3 185.27 cm-1，于是由公式可得 a＝0.652，因此 Δs＝n-（m+a）＝ 1.348.

3.2 鈉原子p能級(jí)的量子缺

由于沒有多組主線系的譜線數(shù)據(jù)，所以不能用上述方法計(jì)算p能級(jí)的量子缺.但是可以從線系限的角度考慮.考慮到銳線系固定項(xiàng)

可以直接利用已知的光譜數(shù)據(jù)求算，將該數(shù)值代入里德伯表，按內(nèi)插法可以求出p能級(jí)的量子缺.

4 分析討論

由擬合結(jié)果可知，對(duì)于參數(shù) A的擬合較好，但是參數(shù)B的不確定度較大.由作圖可知，汞的黃雙線測(cè)量和擬合結(jié)果偏差較多，主要是兩根黃雙線較為接近、不易分辨，且目鏡存在視差，導(dǎo)致測(cè)量不夠精確.

依照測(cè)量出的最小偏向角反求鈉光的波長，并求算其量子缺的結(jié)果，與文獻(xiàn)［6］中的精確計(jì)算值符合得較好，說明該方法是可以正確得到鈉原子的譜線數(shù)據(jù)和量子缺的.由計(jì)算可知，s能級(jí)的量子缺比p能級(jí)要大，這可以用軌道貫穿和實(shí)極化解釋.如果考慮經(jīng)典的電子軌道，隨著角量子數(shù)l的增大，軌道越接近正圓，也即越接近玻爾模型，有效電荷 Z較小，這樣量子缺就較??；相反，如果l較小，則軌道偏心率較大，可能會(huì)穿過原子實(shí)，此時(shí)受到原子實(shí)的吸引會(huì)比外側(cè)軌道更強(qiáng)，因而有效電荷 Z更多，這樣量子缺就更大.

當(dāng)然，由于本實(shí)驗(yàn)的觀察和測(cè)量手段限制，只能得到鈉原子光譜可見光區(qū)的有限三條譜線，對(duì)于量子缺的計(jì)算是比較粗略的.但該實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)于分光計(jì)的使用，同時(shí)介紹并訓(xùn)練了內(nèi)插法的處理思路，為近代物理實(shí)驗(yàn)中鈉原子光譜的精細(xì)實(shí)驗(yàn)打下了基礎(chǔ).

5 結(jié)束語

本實(shí)驗(yàn)將普通物理和近代物理兩個(gè)經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，從定性直觀的角度觀察汞原子和鈉原子光譜，從定量理性的角度導(dǎo)出折射率的公式、求出鈉原子譜線的波長，進(jìn)而利用內(nèi)插法計(jì)算鈉原子譜線的波長和量子缺.在整個(gè)過程中，既有實(shí)驗(yàn)的操作，又有仔細(xì)的數(shù)據(jù)分析，達(dá)到了實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新訓(xùn)練的目的.基于這樣的思路，還可設(shè)計(jì)其他結(jié)合拓展實(shí)驗(yàn)，在普通物理實(shí)驗(yàn)中有近代物理實(shí)驗(yàn)的思維，讓近代物理的理論學(xué)習(xí)直接指向可見、可做的普通物理實(shí)驗(yàn).