【摘 要】平面向量不管是在數(shù)學(xué)還是科學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，其不僅是連接三角、幾何與代數(shù)的重要橋梁，還是研究力學(xué)、電學(xué)和相關(guān)自然學(xué)科的關(guān)鍵工具。近幾年來(lái)，平面向量已經(jīng)成為數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)考查知識(shí)。筆者就高中數(shù)學(xué)中平面向量的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，旨在探索向量在各種題型解題中的有效應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);平面向量;應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）28-0014-03

平面向量已經(jīng)成為高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)。相關(guān)題型的考查方向主要為平面向量的綜合應(yīng)用，這就為教師日常教學(xué)提供了方向，即要高度重視平面向量的工具性，及其與其他知識(shí)點(diǎn)的交融性。研究平面向量命題規(guī)律的過(guò)程其實(shí)就是探索平面向量綜合應(yīng)用的過(guò)程。

1? ?向量在現(xiàn)代教學(xué)中的重要性

從19世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家就將向量作為了重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容，其被引入中學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)間是20世紀(jì)初，高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中正式引入向量是在1996年，當(dāng)下新課標(biāo)中也反復(fù)強(qiáng)調(diào)了向量教學(xué)的要求。向量知識(shí)的重要性不單單體現(xiàn)于數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，在其他學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用。很多數(shù)學(xué)難題通過(guò)向量都能夠很快地解決，在具體使用過(guò)程中，向量幾乎不受其他因素限制，是重要的代數(shù)運(yùn)算工具與幾何解題工具[1]。除了在數(shù)學(xué)難題計(jì)算上的優(yōu)勢(shì)，向量還能直觀且精準(zhǔn)地表示空間立體圖形體積與幾何法線，甚至還能應(yīng)用到叉乘和點(diǎn)乘方面。物理學(xué)科中將向量稱之為“矢量”，其在具體的公式計(jì)算中往往表示速度、位移和力。

2? ?高中數(shù)學(xué)中向量的應(yīng)用

2.1? 平面向量與平面幾何的綜合應(yīng)用

就幾何角度來(lái)說(shuō)，高中階段的平面向量概念知識(shí)以及平面向量運(yùn)算知識(shí)都有明顯的幾何特征。所以，綜合平面向量和平面幾何屬于常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這類題型一方面能考查學(xué)生對(duì)向量幾何意義的掌握與理解，還能考查學(xué)生靈活運(yùn)用平面向量解決問(wèn)題的能力[2]。

例1：已知?ABC平面中的一個(gè)點(diǎn)O，且該點(diǎn)滿足=，則?ABC為（ ）。

A.等腰三角形? ? B.等邊三角形

C.直角三角形? ? D.等腰直角三角形

解析：此題的解答需要運(yùn)用向量的減法法則，進(jìn)一步簡(jiǎn)化題中的等式，得出=，然后再得出等式=，由此可判斷出，以AB、AC為鄰邊的平行四邊形是矩形，推理出?ABC的形狀是直角三角形，因此選擇C。

點(diǎn)評(píng)：題中給出了向量等式，考查的重點(diǎn)放在了平面向量的減法法則、加法法則以及模的幾何意義上，整個(gè)命題的重點(diǎn)偏向向量和向量運(yùn)算。

2.2? 平面向量與解析幾何的綜合應(yīng)用

平面向量本身還有一個(gè)明顯的坐標(biāo)形式特征，所以在幾何問(wèn)題解析中也適用。很多時(shí)候通過(guò)向量能夠更加簡(jiǎn)潔地表達(dá)幾何問(wèn)題中的條件，將幾何問(wèn)題的解析過(guò)程轉(zhuǎn)換成運(yùn)算向量坐標(biāo)。

例2：已知橢圓C：（a>b>0）的短軸長(zhǎng)等于，的離心率，A、B是分別位于橢圓C上的上、下頂點(diǎn)。

（1）求解橢圓C的方程。

（2）設(shè)P為直線 y=4上不同于點(diǎn)（0，4）的任意一點(diǎn)，若直線AP、BP分別和橢圓相交異于A、B的點(diǎn)M、N，請(qǐng)證明∠MAN為鈍角。

解析：

（1）先根據(jù)已知的條件將有關(guān)a、b、c的方程列出來(lái)，通過(guò)解方程組來(lái)得到橢圓C的方程：。

（2）設(shè)P（t，4）（t≠0），求出=，

，再基于=>0，得出∠PAN為銳角，又因?yàn)椤螹AN與∠PAN屬于互補(bǔ)關(guān)系，因此∠MAN為鈍角。

點(diǎn)評(píng)：就分析本題的題干而言，其中并未有任何向量的標(biāo)記，但是向量夾角計(jì)算公式卻適用于本題，簡(jiǎn)化了解題環(huán)節(jié)，在幾何運(yùn)算中充分體現(xiàn)了向量法的作用與魅力。從本題中不難得知，合理利用向量法能大大減少解析幾何運(yùn)算量。所以一定要在幾何問(wèn)題解析中提高對(duì)向量應(yīng)用的重視度。

2.3? 平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

教材必修4中不僅包含了函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，也涉及很多平面向量?jī)?nèi)容，關(guān)于兩角和余弦公式的推導(dǎo)就借助了平面向量運(yùn)算。由此可以看出三角函數(shù)和平面向量之間有著密切的聯(lián)系[3]。這兩者之間的關(guān)系在歷年高考中都是以解答題的形式考查的，往往還會(huì)延伸性地涉及三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變、平面向量運(yùn)算以及解三角形的知識(shí)點(diǎn)，屬于綜合性較高的解答題題型。

例3：已知A、B、C是?ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量=（cosB，sinB?2sinC），=（2cosC+cosB，sinB），且

⊥。

（1）求A。

（2）若BC=，求AB+AC的取值范圍。

解析：

（1）由⊥，得出·=0，

則cosB（2cosC+cosB）+（sinB?2sinC）sinB=0，

則2（cosBcosC?sinBsinC）+（cos2B+sin2B）=0，

即2cos（B+C）+1=0，故cos（B+C）=?。

又B+C∈（0，π），所以B+C=，所以A=。

（2）由于A=，BC=，因此通過(guò)正弦定理可得出===2。

所以AB=2sinC，AC=2sinB=2sin（?C）。

所以AB+AC=2sinC+2sin（?C）

=2sinC+2（cosC+sinC）

=3sinC+cosC

=（sinC+cosC）

=（C+）。

其中C∈（0，），則C+∈（，），

所以sin（C+）∈（，1]，sin（C+）∈（，]。

所以AB+AC的取值范圍是（，]。

點(diǎn)評(píng)：該題的解題背景主要是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角形綜合問(wèn)題、正弦定理、向量垂直條件、三角函數(shù)性質(zhì)等。就本質(zhì)而言，解三角形、三角函數(shù)和平面向量這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間存在緊密的聯(lián)系[4]。這類題型只是將平面向量用作一種“外包裝”，其考查重點(diǎn)還是三角問(wèn)題。

2.4? 向量在不等式證明中的應(yīng)用

不等式證明一直以來(lái)就是高中數(shù)學(xué)中有一定難度的基礎(chǔ)性知識(shí)，常常讓很多學(xué)生感到頭疼。如若將向量知識(shí)巧妙引入其中進(jìn)行輔助證明，就可以化難為簡(jiǎn)。

例4：假設(shè)a、b、c、d∈R，求證（a3c+b3）2<（a6+b6）（c2+d2）。

證明過(guò)程如下：

首先設(shè)向量和，其中=（a3+b3），=（c，d），再將和這兩個(gè)向量的夾角設(shè)為θ，

則（·）2

=[（a3+b3）·（c，d）]2

=（a3c+b3d）2

=（）2<（）2

=

=[（a3）2+（b3）2][（c2+d2）]，

即可表明（a3c+b3）2<（a6+b6）（c2+d2）。

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于不等式的證明，常用的解題技巧包含了綜合法、分析法和作差法等，相對(duì)而言證明過(guò)程復(fù)雜[5]。向量中數(shù)量積定義的合理應(yīng)用即可有效簡(jiǎn)化整個(gè)證明過(guò)程，大大提高解題效率。

2.5? 平面向量在最值中的應(yīng)用

幾何與代數(shù)之間重要的聯(lián)系紐帶就是向量坐標(biāo)，這是平面向量中最為關(guān)鍵的要素，在求解函數(shù)最值問(wèn)題中以向量坐標(biāo)來(lái)表示具體內(nèi)容會(huì)取得意想不到的效果[6]。

例5：有函數(shù)，求其最大值。

解析：設(shè)置向量和，其分別為（3，4）和（，）。

·

=3+4≤

=

=5。

取等號(hào)的情況存在且只存在于與平行時(shí)，即=（k>0）

由此解得x==4.36（滿足4≤x≤5）。

因此這一函數(shù)的最大值為5。

點(diǎn)評(píng)：針對(duì)本題的解答，如若使用三角函數(shù)設(shè)元或者柯西不等式等傳統(tǒng)且常規(guī)的方法，其實(shí)是不適用于全體學(xué)生的，尤其是對(duì)一些基礎(chǔ)水平相對(duì)較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)難度較大。但易懂、易上手的向量坐標(biāo)法就能讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了，從而讓學(xué)生快速得出答案。

作為一種探索和解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具，平面向量的有效應(yīng)用能讓很多數(shù)學(xué)問(wèn)題得以簡(jiǎn)化處理。本文通過(guò)總結(jié)平面向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，展示解題思路的形成過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生一步步地掌握解題方法，提升學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張?chǎng)?，于興江.探究式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用研究——以一道平面向量數(shù)量積試題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，

2019（4）.

[2]金貴燕，劉詠梅.基于“學(xué)—思—行”的高中平面向量教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2019（1）.

[3]李煒，張玉輝.平面向量等和線在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)教育，2019（5）.

[4]王建宇.高中數(shù)學(xué)解題中平面向量方法的應(yīng)用分析[J].當(dāng)代家庭教育，2019（18）.

[5]姚洪兵.高中數(shù)學(xué)解題中平面向量方法運(yùn)用探究[J].名師在線，2020（11）.

[6]方志平.數(shù)學(xué)競(jìng)賽中含雙參數(shù)的平面向量問(wèn)題求解策略[J].數(shù)學(xué)通訊，2019（3）.

【作者簡(jiǎn)介】

劉兆磊（1987～），男，漢族，山東淄博人，本科，初級(jí)教師。研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。