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        從芝諾悖論看極限理論存在的問題

        2021-12-04 16:31:16四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì)張喜安
        數(shù)學(xué)大世界 2021年1期
        關(guān)鍵詞:芝諾微積分悖論

        四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì) 張喜安

        教師對(duì)芝諾悖論對(duì)經(jīng)典微積分的極限理論的正確性提出了疑問,為了探索上述問題,下面把與上述疑問密切相關(guān)的幾個(gè)問題敘述如下:

        一、 芝諾悖論產(chǎn)生的原因

        夏基松和鄭毓信在兩人合著的《西方數(shù)學(xué)哲學(xué)》一書中認(rèn)為,對(duì)于芝諾悖論,黑格爾曾作過如下的分析:“量是分立(即離散——注)與連續(xù)兩者的單純統(tǒng)一,關(guān)于空間、時(shí)間、物質(zhì)等無限可分的爭(zhēng)論或二律背反都可以歸結(jié)到這種性質(zhì)里去?!保ê诟駹栠壿媽W(xué)上卷,第199 頁(yè)即“這種二律背反完全在于分立和連續(xù)都同樣必須堅(jiān)持。片面堅(jiān)持分立,就是以無限的或絕對(duì)的已分之物,從而是以一個(gè)不可分物為根本,反之,片面堅(jiān)持連續(xù)則是以無限可分性為根本,這正是芝諾關(guān)于阿基里斯的悖論的根源所在?!?(黑格爾邏輯學(xué)上卷,第199 頁(yè)) “總之,黑格爾關(guān)于芝諾悖論的分析是正確的,它既不膚淺,也沒有過時(shí)?!?/p>

        眾所周知,實(shí)數(shù)理論和極限理論是經(jīng)典微積分的理論基礎(chǔ)。在實(shí)數(shù)理論中,連續(xù)性是實(shí)數(shù)理論的重要性質(zhì)。實(shí)數(shù)的這種連續(xù)性被看作是絕對(duì)的,即實(shí)數(shù)不可能在具有連續(xù)性的同時(shí)還具有分立性,或者離散性。但是如果我們根據(jù)上面夏基松和鄭毓信關(guān)于芝諾悖論的觀點(diǎn),實(shí)數(shù)的連續(xù)性和分立性必須同時(shí)承認(rèn),否則就是片面的,違背辯證法的觀點(diǎn)。因此在芝諾悖論中,用實(shí)數(shù)表示距離的時(shí)候,就是因?yàn)橹怀姓J(rèn)距離的連續(xù)性而不承認(rèn)距離同時(shí)也具有分立性才,產(chǎn)生了芝諾悖論。

        如果按照夏基松和鄭毓信的觀點(diǎn),從芝諾悖論和無窮小量的極限定義的關(guān)系來看,根據(jù)極限理論定義的無窮小量的定義存在悖論則是完全可以理解的。如果我們認(rèn)為夏基松和鄭毓信關(guān)于芝諾悖論的看法是正確的,則經(jīng)典微積分關(guān)于實(shí)數(shù)理論的連續(xù)性觀點(diǎn)就是片面的,這樣,不僅根據(jù)極限理論定義的無窮小量的定義存在悖論,而且導(dǎo)數(shù)的定義也存在問題了。也就是說,根據(jù)夏基松和鄭毓信關(guān)于芝諾悖論的觀點(diǎn),經(jīng)典微積分理論就有了疑問。

        二、歐拉對(duì)經(jīng)典微積分的無窮小量定義的否定

        歐拉是歷史上成果最多的數(shù)學(xué)家,生前發(fā)表的著作和論文560 余種。美國(guó)數(shù)學(xué)家塞蒙斯提出:自1748 年以來,所有的微積分教材基本上都是抄襲歐拉的。

        歐拉拒絕無窮小的概念,這里所謂的無窮小是指非零而又小于任何指定大小的量(即經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無窮小量)。在他1755 年的“原理”中提出:毫無疑問,任何一個(gè)量可以減小到完全消失得無影無蹤的程度,而一個(gè)無窮小量無非是一個(gè)正在消失的量,因而它本身就等于0。這與無窮小量的定義也是協(xié)調(diào)的,按照無窮小量的定義,它應(yīng)小于任意指定的量;它無疑應(yīng)當(dāng)就是無,因?yàn)槌撬扔?,否則總能給它指定一個(gè)和它相等的量,而這是與假設(shè)矛盾的。

        歐拉上面的論述最可貴的地方是,他指出了經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無窮小量是自相矛盾的。如果根據(jù)歐拉的觀點(diǎn),經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無窮小量是一個(gè)自相矛盾的命題,那么經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無窮小量本身就是一個(gè)悖論。

        三、黑格爾對(duì)經(jīng)典微積分的無窮小量定義的否定

        有一些經(jīng)典微積分的教科書把莊子的一句話“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”作為經(jīng)典微積分的無窮小量的典型例子,但是不管取100 次、1000 次還是10000 次,每一次所得到的數(shù)都是一個(gè)有限的數(shù),雖然數(shù)變得越來越小,但是本質(zhì)上沒有變。對(duì)于這一點(diǎn),黑格爾指出:“亞里士多德所引芝諾的話說得好,對(duì)于某物,只說一次,與永遠(yuǎn)說它,都是一樣的?!焙诟駹栍终f,這樣的無限進(jìn)展并不是真正的無限,因?yàn)樗匀煌A粼谟邢拗?。針?duì)無限物,黑格爾認(rèn)為,有限物超出自身,否定其否定,變?yōu)闊o限,仍是有限物的本性。對(duì)此,黑格爾給出了無限小量的定義:量的質(zhì)的量的規(guī)定性就是無限小量。黑格爾關(guān)于無限小量的這個(gè)定義,充分體現(xiàn)了上述黑格爾關(guān)于無限物的觀點(diǎn),雖然對(duì)于熟悉辯證法的人來說,上述黑格爾的無限小量的定義是可以理解的,但是要把這個(gè)定義清楚,并且應(yīng)用它把微積分的理論表示出來,卻是一件很困難的事情。我的一篇即將發(fā)表的論文“從黑格爾的無限小定義看微積分存在的問題”對(duì)黑格爾的上述定義給出一些個(gè)人的理解與說明,感興趣的同志可以查閱,并歡迎批評(píng)指正。

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