四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會 張喜安
教師對芝諾悖論對經(jīng)典微積分的極限理論的正確性提出了疑問,為了探索上述問題,下面把與上述疑問密切相關的幾個問題敘述如下:
夏基松和鄭毓信在兩人合著的《西方數(shù)學哲學》一書中認為,對于芝諾悖論,黑格爾曾作過如下的分析:“量是分立(即離散——注)與連續(xù)兩者的單純統(tǒng)一,關于空間、時間、物質等無限可分的爭論或二律背反都可以歸結到這種性質里去。”(黑格爾邏輯學上卷,第199 頁即“這種二律背反完全在于分立和連續(xù)都同樣必須堅持。片面堅持分立,就是以無限的或絕對的已分之物,從而是以一個不可分物為根本,反之,片面堅持連續(xù)則是以無限可分性為根本,這正是芝諾關于阿基里斯的悖論的根源所在?!?(黑格爾邏輯學上卷,第199 頁) “總之,黑格爾關于芝諾悖論的分析是正確的,它既不膚淺,也沒有過時?!?/p>
眾所周知,實數(shù)理論和極限理論是經(jīng)典微積分的理論基礎。在實數(shù)理論中,連續(xù)性是實數(shù)理論的重要性質。實數(shù)的這種連續(xù)性被看作是絕對的,即實數(shù)不可能在具有連續(xù)性的同時還具有分立性,或者離散性。但是如果我們根據(jù)上面夏基松和鄭毓信關于芝諾悖論的觀點,實數(shù)的連續(xù)性和分立性必須同時承認,否則就是片面的,違背辯證法的觀點。因此在芝諾悖論中,用實數(shù)表示距離的時候,就是因為只承認距離的連續(xù)性而不承認距離同時也具有分立性才,產(chǎn)生了芝諾悖論。
如果按照夏基松和鄭毓信的觀點,從芝諾悖論和無窮小量的極限定義的關系來看,根據(jù)極限理論定義的無窮小量的定義存在悖論則是完全可以理解的。如果我們認為夏基松和鄭毓信關于芝諾悖論的看法是正確的,則經(jīng)典微積分關于實數(shù)理論的連續(xù)性觀點就是片面的,這樣,不僅根據(jù)極限理論定義的無窮小量的定義存在悖論,而且導數(shù)的定義也存在問題了。也就是說,根據(jù)夏基松和鄭毓信關于芝諾悖論的觀點,經(jīng)典微積分理論就有了疑問。
歐拉是歷史上成果最多的數(shù)學家,生前發(fā)表的著作和論文560 余種。美國數(shù)學家塞蒙斯提出:自1748 年以來,所有的微積分教材基本上都是抄襲歐拉的。
歐拉拒絕無窮小的概念,這里所謂的無窮小是指非零而又小于任何指定大小的量(即經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無窮小量)。在他1755 年的“原理”中提出:毫無疑問,任何一個量可以減小到完全消失得無影無蹤的程度,而一個無窮小量無非是一個正在消失的量,因而它本身就等于0。這與無窮小量的定義也是協(xié)調的,按照無窮小量的定義,它應小于任意指定的量;它無疑應當就是無,因為除非它等于0,否則總能給它指定一個和它相等的量,而這是與假設矛盾的。
歐拉上面的論述最可貴的地方是,他指出了經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無窮小量是自相矛盾的。如果根據(jù)歐拉的觀點,經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無窮小量是一個自相矛盾的命題,那么經(jīng)典微積分使用極限理論定義的無窮小量本身就是一個悖論。
有一些經(jīng)典微積分的教科書把莊子的一句話“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”作為經(jīng)典微積分的無窮小量的典型例子,但是不管取100 次、1000 次還是10000 次,每一次所得到的數(shù)都是一個有限的數(shù),雖然數(shù)變得越來越小,但是本質上沒有變。對于這一點,黑格爾指出:“亞里士多德所引芝諾的話說得好,對于某物,只說一次,與永遠說它,都是一樣的。”黑格爾又說,這樣的無限進展并不是真正的無限,因為它仍然停留在有限之中。針對無限物,黑格爾認為,有限物超出自身,否定其否定,變?yōu)闊o限,仍是有限物的本性。對此,黑格爾給出了無限小量的定義:量的質的量的規(guī)定性就是無限小量。黑格爾關于無限小量的這個定義,充分體現(xiàn)了上述黑格爾關于無限物的觀點,雖然對于熟悉辯證法的人來說,上述黑格爾的無限小量的定義是可以理解的,但是要把這個定義清楚,并且應用它把微積分的理論表示出來,卻是一件很困難的事情。我的一篇即將發(fā)表的論文“從黑格爾的無限小定義看微積分存在的問題”對黑格爾的上述定義給出一些個人的理解與說明,感興趣的同志可以查閱,并歡迎批評指正。