戚樂華， 劉保華， 闞光明,3

(1.中國海洋大學海洋地球科學學院，山東 青島 266100； 2.青島海洋科學與技術(shù)試點國家實驗室，山東 青島 266237；3.自然資源部第一海洋研究所海洋沉積與環(huán)境地質(zhì)重點實驗室，山東 青島 266061)

海面聲散射是水下目標探測和識別時混響背景的主要來源，是限制水下聲吶和通訊系統(tǒng)表現(xiàn)的重要因素之一[1-2]。盡管對于海面聲散射的散射機制和特性還沒有完全弄清楚，但是經(jīng)過七十多年的研究，已經(jīng)發(fā)展形成了多種聲散射模型、理論及計算方法，并達成許多重要的共識。一般來說，海面聲散射可分為粗糙散射和氣泡散射兩部分，其中氣泡散射主要在小掠射角和大風速條件下產(chǎn)生重要影響，由海面上下起伏引起的粗糙散射在中高掠射角占主導[3-4]。

目前，對于粗糙散射的研究已經(jīng)形成多種成熟的理論和近似計算方法，其中許多方法同時應用于聲散射和電磁散射領(lǐng)域[5]，如Kirchhoff近似、小粗糙微擾近似、小斜率近似、復合粗糙理論等。上述這些方法均采用了相應的近似模型，是特定條件下的近似結(jié)果，因此只有在特定條件下才具有較好的預測精度。而積分方程法[6]在物理上沒有做任何的近似，同時還考慮了界面的多重散射現(xiàn)象和影區(qū)作用，在物理上是嚴格精確的，因此該方法常作為衡量其他粗糙散射近似方法有效性和準確性的標準。其它粗糙散射近似計算方法還有全波法、相位微擾法、算子展開法、統(tǒng)一微擾法等，但是這些方法存在適用范圍太窄、計算比較困難等缺點，在實際應用中沒有得到推廣[7]。

一般來說，Kirchhoff近似在雙基地前向散射方向，特別是鏡面反射方向準確度較好，而微擾理論在遠離鏡面反射方向的預測精度較高[8-10]。Thorsos和Jackson等[8]對微擾近似在高斯粗糙譜下有效性進行了研究，在kh<0.6,kL<2條件下最低階微擾理論就具有較高的預測精度。當計算至更高階微擾理論時，具有相同精度的相關(guān)長度范圍進一步擴大。Thorsos還研究了高斯粗糙譜下Kirchhoff近似的有效范圍，認為表面相關(guān)長度是影響其準確性的最重要參數(shù)[11]，當kL>6時Kirchhoff近似精度優(yōu)于1 dB。結(jié)合上述兩種方法的特點，形成了復合粗糙理論[12]將粗糙面人為的劃分成大尺度和小尺度兩個部分。海面散射主要由小尺度粗糙引起，大尺度粗糙則改變散射掠射角。該方法非常依賴區(qū)分大小尺度的截止波數(shù)的選擇，如果截止波數(shù)選擇的不合理，會導致理論預測與真實值出現(xiàn)較大偏差。而且復合粗糙理論的初衷之一是為了提高計算效率，目前計算機的計算能力已經(jīng)能夠滿足高精度的小斜率近似等的計算需求[10]，因此本文未對該方法開展有效性研究。Broschat和Thorsos研究了小斜率近似，發(fā)現(xiàn)其在特定條件下可以分別簡化為Kirchhoff近似和微擾近似，因而具有上述兩種方法共同的優(yōu)點[7,13]。此外，上述研究結(jié)果大多都是基于高斯粗糙譜獲得的，實際海面粗糙起伏并不是高斯分布的，常用實際海面粗糙譜多采用“Pierson-Moskowitz”(PM)海浪譜。而且其研究頻率主要集中在幾百赫茲的低頻段，沒有考慮1 kHz以上的中高頻段。

本文回顧了幾種經(jīng)典粗糙散射理論，利用積分方程法研究了在中頻PM海浪譜壓力釋放邊界條件下單基地后向散射的準確性，比較這些方法的有效范圍和差異，并利用實測結(jié)果驗證上述粗糙散射理論在中頻頻段(1～20 kHz)的有效性和可行性。

1 海面粗糙譜和粗糙面的模擬

1.1 PM海浪譜

海面粗糙散射的計算有賴于海面粗糙起伏特征的準確描述，粗糙度譜W(K)是絕大多數(shù)聲散射模型和方法的重要輸入?yún)?shù)，它與粗糙面相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換對，利用其可以計算得到海面的均方高度、均方斜率等。

(1)

(2)

式中：h2為均方高度；δ2s為均方斜率；K為空間波數(shù)。根據(jù)Bragg散射理論，只有與入射聲波波長相當?shù)拇植诙忍卣鞑攀且鹇暽⑸涞闹饕?，較大尺度的起伏則會引起掠射角的改變。

一些研究中采用了高斯譜研究了粗糙散射理論的有效性[8,11]，但是其并不符合實際海面的粗糙起伏特征。目前海洋學家已經(jīng)對海面粗糙起伏進行了深入的研究，并形成了多種海浪譜模型，如PM海浪譜、Fung海浪譜、JONSWAP海浪譜等。其中PM海浪譜是一種穩(wěn)態(tài)海浪譜，具有形式簡單、輸入?yún)?shù)較少、應用廣泛等特點。PM海浪譜描述的是風持續(xù)足夠長時間，海浪已經(jīng)完全成長的情況。此時海浪譜只與風速有關(guān)。PM海浪譜的空間域形式為：

(3)

式中：參數(shù)α=8.1×10-3；β=0.74，K是空間波數(shù)；g為重力加速度，一般取g=9.81 m/s2；U19.5為距海面19.5 m高度處的風速，單位m/s。

根據(jù)式(1)可以計算得到海面起伏的均方波高：

(4)

譜峰值對應的波數(shù)為：

(5)

可見海面均方根高度與風速的二次方成正比，隨著風速的增加海面的均方根高度越大，同時譜峰值對應的波數(shù)減小。本文海面散射的研究均是在PM海浪譜條件下進行的。

1.2 線性濾波法模擬粗糙面

一些粗糙散射理論需要根據(jù)實際的粗糙面進行計算。如積分方程法、蒙特卡洛Kirchhoff近似、蒙特卡洛小粗糙微擾近似等[8-9,11]。模擬粗糙面的方法稱為蒙特卡洛法，有時又被稱為線性濾波法。它的基本思想是將隨機粗糙面看作是一系列頻率諧波疊加的形式，而每個諧波的振幅都是獨立的高斯隨機變量，其方差正比于對應波數(shù)的功率譜。模擬一維粗糙面的公式為：

。(6)

(7)

式中N(0,1)表示均值為0，方差為1的正態(tài)分布的隨機數(shù)。

圖1所示為模擬不同風速下的PM海浪譜海面，可以看到風速越大，海面的起伏越大，對應的波長也越長，這與實際的海面情況是相符合的。

圖1 模擬不同風速PM海浪譜海面Fig. 1 Surface realization with PM spectrum of different wind speeds

2 粗糙散射理論

2.1 小粗糙微擾理論

小粗糙微擾理論最早基于Rayleigh假設，后來又發(fā)展了基于消光定理的小粗糙微擾方法。但是Jackson等[14]研究發(fā)現(xiàn)，上述兩種微擾方法至少對于前五階kh是相等的。需要注意的是基于Rayleigh假設的微擾理論的一階散射截面并不包含多重散射效應。小粗糙微擾理論適用于粗糙面均方根高度遠小于聲波波長時的情況。一般來說其需要滿足kh?1，其中k是聲波波數(shù)，h是粗糙面均方根高度。鑒于實際海浪的高度和頻率與聲波波長的關(guān)系，該方法多用于低頻的聲散射研究。Thorsos研究了小粗糙微擾近似在高斯粗糙譜和PM海浪譜低頻雙基地情況下的有效性，發(fā)現(xiàn)在高斯譜下的誤差小于1 dB的條件是kh<0.6，在PM海浪譜下相應的kh可增大至1.79[8-9]。

小粗糙微擾近似的基本思想是利用入射平面波和傳輸T矩陣來表示散射聲場，對于海氣界面總聲場滿足壓力釋放邊界條件。將T矩陣和垂直方向的指數(shù)項分別在kh處展開為冪級數(shù)形式，然后對每一階kh的表達式分別應用壓力釋放邊界條件，從而可以獲得不同階的傳輸矩陣，并進一步求解不同kh階數(shù)的散射截面，其中kh的奇數(shù)階項為零。詳細理論介紹可參見Thorsos等[8]的研究。對應(kh)2的散射截面：

(8)

對應(kh)4的散射截面有兩項分別是：

(9)

(10)

其中

(11)

式中：k是聲波波數(shù)；下標i和s分別代表入射和散射方向，其不同方向的分量分別用下標x和z來表示；h是粗糙面均方根高度；σ(2)=σ11稱為二階散射截面，四階散射截面σ(4)為：

σ(4)=σ11+σ22+σ13。

(12)

散射截面與散射強度S的關(guān)系為S=10log10σ。

2.2 Kirchhoff近似

Kirchhoff近似認為聲波在海面上處處發(fā)生鏡面反射，因此又被稱為切平面近似。適用于表面曲率半徑遠大于入射波長的情況，一般在高頻和大粗糙起伏時才符合這種假設。該方法沒有考慮影區(qū)遮蔽的影響，中小掠射角精度較差，在鏡面反射方向附近則具有較好的準確性。根據(jù)Thorsos等[9，11,15]的總結(jié)，有Kirchhoff近似的海面非相干散射截面如下：

(13)

其中

(14)

C(x)是表面相關(guān)函數(shù)，

(15)

式中：v=ki-ks是入射波矢量和散射波矢量的差；vx和vz分別是對應方向的波數(shù)分量。

2.3 小斜率近似

小斜率近似最早于1985年由Voronovich提出，該理論利用廣義表面斜率系統(tǒng)的闡述了界面散射機制和方法。傳輸矩陣T在小粗糙表面情況下可以簡化為小粗糙微擾理論的標準形式，在鏡面反射方向小斜率近似又會趨近于Kirchhoff近似。與小粗糙微擾近似相類似，通過將小斜率方法展開到更高的階次，可以獲得更高精度的計算結(jié)果。一般情況下，僅使用最低階小斜率近似就能夠獲得比傳統(tǒng)粗糙散射理論更好的效果，因為它僅使用一個近似就可以完全涵蓋所有的入射和散射角度，而且?guī)缀鯖]有精度上的損失[10]。Thorsos和Broschat從理論和數(shù)值模擬方法上研究了小斜率近似方法的準確性，發(fā)現(xiàn)小斜率近似方法的準確性主要與粗糙面均方根斜率角、表面相關(guān)長度和入射掠射角有關(guān)[13]。根據(jù)Broschat、Thorsos等[5,7,13]的研究，二階小斜率近似散射截面表達式：

(16)

式中J和v的定義與Kirchhoff近似方法中的定義相同。此外，可以發(fā)現(xiàn)二階小斜率近似與Kirchhoff近似有如下關(guān)系：

(17)

其中

(18)

特殊的在鏡面反射方向上μ2=1，此時二階小斜率近似與Kirchhoff近似完全相等。

2.4 積分方程法

積分方程法基于亥姆霍茲積分方程，其在物理上沒有做任何的近似，包括了界面的影區(qū)遮蔽、多重散射和衍射散射作用，因此常作為其它近似方法的檢驗標準。積分方程有兩種形式，利用海氣界面邊界條件可以得到一類線性積分方程為：

(19)

(20)

兩種積分方程的計算方法和結(jié)果基本相同。下面以一類線性積分方程為例，簡要介紹其計算方法。首先將積分方程在海面處離散化：

(21)

上式可化為矩陣方程的形式。

(22)

其中

(23)

(24)

為了避免有限表面長度導致的邊緣效應，入射聲場可采用錐形平面波形式:

(25)

式中ρ是錐形化參數(shù)，一般取ρ=L/4。通過矩陣運算可以計算得到未知的聲壓法向?qū)?shù)。將聲壓法向?qū)?shù)帶入到(19)式可以計算散射聲場和散射強度。積分方程還可以通過粗糙面的周期延拓來計算[16-17]，但是有學者研究發(fā)現(xiàn)在較大表面斜率情況下，部分拓展方法是病態(tài)的[18]。由于積分方程法需要利用實際的粗糙面計算，而模擬粗糙面的長度和數(shù)量有限，導致最終計算結(jié)果會出現(xiàn)一定波動，通過增加粗糙面的次數(shù)和長度可以減小計算結(jié)果的起伏，但相應的計算量也會大幅增加。

3 中頻后向散射仿真比較

本文基于PM海浪譜海面，通過積分方程法來檢驗其在中頻后向散射的有效性，其中積分方程法是通過50次模擬海面計算得到。根據(jù)積分方程法計算近海面聲場如圖 2所示，粗糙面利用5 m/s風速PM海浪譜模擬得到，此時海面均方根高度h為0.133 m。圖2(a)頻率為400 Hz，對應聲波波長約3.75 m，圖2(b)頻率為10 kHz，對應聲波波長約0.15 m?？梢钥吹?，400 Hz的聲波波長遠大于海面的粗糙起伏，散射聲能量主要集中在鏡面反射方向。而10 kHz的聲波波長與海面粗糙起伏相當，聲能量被散射到非常寬的角度范圍。同時需要注意的是近海面聲場存在較強的干涉效應，此處的聲場不穩(wěn)定，因此在實際海面散射強度測量時，需要滿足遠場條件。

(風速為5 m/s，入射掠射角30°。Wind speed is 5 m/s and incident grazing angle is 30°.)

圖3所示為利用積分方程法計算海面雙基地散射強度，可以看到在中頻條件下，絕大部分掠射角范圍，總散射強度與非相干散射幾乎完全相等(圖中兩條曲線幾乎完全重合)。相干散射強度遠小于非相干散射強度，非相干散射平均強約20 dB。只在小風速(3 m/s)的鏡面反射方向(150°)相干散射才會占主導?？傮w來看，在鏡面散射方向附近散射強度最強，而后向散射方向散射強度較小。

(頻率8 kHz，入射掠射角30°。Frequency is 8 kHz, Grazing angle is 30°. )

圖 4為不同風速下二階和四階粗糙微擾單基地后向散射截面與積分方程法比較的結(jié)果。其中σ11代表二階粗糙微擾近似散射強度，σ11+σ22+σ13代表四階粗糙微擾近似結(jié)果。計算聲頻率為8 kHz，對應聲波波長約0.188 m。3 m/s時海面均方根高度為0.048 m，此時kh=1.61，在小粗糙情況下二階散射截面就具有相對較高的預測準確性。隨著風速的增加海面的粗糙起伏越來越大，二階散射截面的準確性逐漸降低，而四階散射截面則仍然具有較好的預測精度，總體來看小粗糙微擾近似在中小掠射角范圍的準確性最好。在近垂直入射(掠射角大于80°)時，后向散射方向接近鏡面反射方向，此時小粗糙微擾近似的結(jié)果明顯偏高。此外，在大粗糙(10 m/s)掠射角小于10°的極小掠射角范圍，小粗糙微擾近似的準確性也偏低。

圖4 不同風速小粗糙微擾近似與積分方程法比較(頻率8 kHz)Fig.4 Comparison between small roughness perturbation approximation and integral equation method at different wind speeds (Frequency is 8 kHz)

對于不同頻率來說，如圖5所示，相同風速下，較低頻率的kh值較小，更接近小粗糙微擾近似的適用條件，因此其預測準確性也較好。隨著頻率的增加kh值增大，二階散射截面預測結(jié)果偏低，此時四階散射截面仍然具有一定的準確性。

圖5 不同頻率小粗糙微擾近似散射強度(風速5 m/s)Fig.5 Scattering strength of small roughness perturbation approximation at different frequencies (Wind speed is 5 m/s)

圖 6為小粗糙微擾近似與頻率的關(guān)系，二階散射強度幾乎不隨頻率的變化而變化，而同一掠射角的四階散射強度與log10f近似成正比，表1是1～25 kHz散射強度與頻率線性擬合的結(jié)果，散射強度隨頻率變化的斜率以45°掠射角為中心呈對稱變化。即靠近45°時頻率依賴性最小，隨著掠射角的增大或減小，頻率依賴性越來越大。在20°～70°中等掠射角情況下，頻率對四階小粗糙微擾近似后向散射的影響不超過2 dB，在極小和極大掠射角情況下頻率的影響會迅速增大。

圖6 小粗糙微擾近似散射強度與頻率的關(guān)系Fig. 6 Dependence of perturbation approximation on frequency

表1 四階小粗糙微擾散射強度與log10f線性擬合結(jié)果(風速5 m/s)Table 1 Linear regression relationship between scattering strength using 4th orderperturbation approximation and log10f

此外比較中頻中等風速條件下，不同粗糙散射理論后向散射預報結(jié)果(見圖 7)。Kirchhoff方法只在近垂直入射時(即近鏡面反射方向)準確度較高，在中小掠射角均過高的預報了海面后向散射強度。四階粗糙微擾近似在除近垂直入射以外的所有掠射角都具有較高的準確度。小斜率近似兼具小粗糙微擾近似和Kirchhoff近似的優(yōu)點，小掠射角與二階小粗糙微擾近似一致，大掠射角與Kirchhoff近似相同，在中高掠射角的準確性最好。

圖7(a)中二階小斜率近似在掠射角大于16°時與積分方程法相差不超過2 dB，四階微擾近似在3°～80°掠射角范圍誤差小于2 dB。在頻率15 kHz 風速10 m/s條件下，二階小斜率近似與積分方程法相差小于2 dB的范圍縮小至掠射角大于24°。而對應四階小粗糙微擾近似的掠射角范圍約為9°～64°，64°～77°范圍內(nèi)的誤差超過2 dB但小于4 dB，80°掠射角以上的計算誤差則迅速增大。

圖 7 不同粗糙散射理論比較Fig. 7 Comparison between different roughness scattering theories

圖8為采用全向性換能器測量實際海面后向散射強度與不同粗糙散射理論的對比結(jié)果，測量時平均風速為4.5 m/s。需要注意的是上述理論分析是在一維粗糙面條件下進行的，而實際海面是二維粗糙面。根據(jù)Thorsos的研究，在不同海浪方向性條件下二維散射強度比一維散射強度偏低5～8 dB[9]。假設海面起伏是各向同性的，那么近似有：

(26)

此時二維比一維粗糙散射小約8 dB。在圖8中可以看到在中高掠射角(9 kHz為30°～80°，17 kHz為45°～80°)，實驗結(jié)果與小斜率近似和積分方程法一致性較好。二階小粗糙微擾近似只在45°掠射角附近有較好的預測準確性，其余角度的預測結(jié)果偏低。當計算至四階粗糙微擾近似時，預測準確性有明顯的提高。在近垂直入射時(80°掠射角以上)，小粗糙微擾近似明顯偏高。在小掠射角范圍，實驗測量結(jié)果明顯比理論預測值偏高，這是因為小掠射角海面散射受到氣泡散射的影響，導致總散射強度遠超粗糙散射理論的預測結(jié)果。

圖8 測量結(jié)果與理論模型比較(風速4.5 m/s)Fig. 8 Comparison between theoretical model and measured results(Wind speed is 4.5 m/s.)

4 結(jié)語

本文利用積分方程法對Kirchhoff近似、小粗糙微擾近似和小斜率近似等方法在中頻頻段的有效性進行了研究，并利用實測結(jié)果對理論預測進行了驗證。研究結(jié)果表明：1～20 kHz中頻范圍內(nèi)非相干散射遠高于相干散射，平均高約20 dB。在15 kHz風速小于10 m/s的情況下，24°掠射角以上小斜率近似和9°～64°掠射角四階小粗糙微擾近似的預測誤差不超過2 dB，而二階微擾近似的預測結(jié)果明顯偏低。在近垂直入射方向(80°以上)，小粗糙微擾近似過高的預報了海面散射強度，小掠射角時四階小粗糙近似的準確性更好。Kirchhoff近似則只在近垂直入射時有較好的精度，其余掠射角的結(jié)果偏高。在實際應用中可以根據(jù)具體的掠射角范圍以及頻率和風速等條件選擇使用適當?shù)拇植谏⑸浞椒āＭ瑫r，由于海面散射強度是統(tǒng)計平均的概念，只有獲得足夠多的測量樣本，測量結(jié)果才會相對穩(wěn)定。而且受測量誤差、系統(tǒng)誤差及計算誤差等的影響，實際測量結(jié)果的誤差一般不小于2 dB。因此小斜率近似和四階小粗糙微擾近似對于中頻頻段海面散射的預測具有較強的可行性。此外，考慮到實際海上情況的復雜性，海面散射還會受到波浪破碎產(chǎn)生氣泡散射的影響，特別是在小掠射角，此時氣泡等體積散射較強，實際測量結(jié)果可能會高于粗糙散射理論的預測。