摘 要：文章針對以往數(shù)學教學中利用復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義解決問題，學生得分率不高的現(xiàn)象引發(fā)思考，嘗試利用學習共同體合作學習模式突破教學瓶頸。在筆者任教的兩個平行班中就一個典型習題進行同課異構(gòu)，對比教學效果，從而驗證核心素養(yǎng)下學習共同體合作學習模式對于提高學生數(shù)學成績和數(shù)學核心素養(yǎng)的有效性。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);學習共同體;復(fù)數(shù)及其運算幾何意義;同課異構(gòu)

一、 問題提出

王尚志教授講述過一個發(fā)人深省的例子：一所“985”高校，學生的高考數(shù)學平均分在125以上，入學后的10月組織學生考做過的高考題目，平均分降到100;到同一年的12月再考一次同樣的題目，平均分只有及格。這說明很多題目學生做過就忘了，雖然曾經(jīng)考得高分，可是學生的能力并沒有得到真實的提高。著名教育家朱小蔓說：“人們在掌握知識時，如果沒有理解意義，那么，在知識被淡忘以后，它就很難留下什么;如果人們在學習知識時理解了它對生命的意義，即使知識已被遺忘，這種意義定可以永遠地融合在生命之中。”新一輪課改對數(shù)學教學提出了更為明確的培養(yǎng)目標，“用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言描述世界”。中學數(shù)學教學就應(yīng)該把數(shù)學本身的學科意義滲透到學生的素養(yǎng)思維品質(zhì)、實踐操作和認知情感中，進而提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

二、 核心素養(yǎng)下高中數(shù)學學習共同體課堂“復(fù)數(shù)及其運算幾何意義的應(yīng)用”的實踐探索

著名數(shù)學教育家王光明認為，數(shù)學學習是指學生獲取數(shù)學知識，形成數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，提高數(shù)學學習能力，發(fā)展個性品質(zhì)，并由此伴隨著精神、意識的變化。而數(shù)學核心素養(yǎng)的培育必須貫穿整個數(shù)學學習活動中，只有由認知主體積極自我建構(gòu)知識的過程才能實現(xiàn)理性思維達到對數(shù)學知識的實質(zhì)性理解，才能真正實現(xiàn)學生數(shù)學素養(yǎng)的提高。

以往的數(shù)學教學中，利用復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義解決問題的題目，學生總得分率不高，而且很容易遺忘，學生對于這種題型做錯甚至是無從下手的屢見不鮮。今年，又到了復(fù)數(shù)這一章的學習，筆者嘗試借助學習共同體協(xié)作學習模式，期望能有效提高關(guān)于“復(fù)數(shù)及其幾何意義的應(yīng)用”這類題型的得分率，降低遺忘率，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

為了驗證學習共同體協(xié)作學習模式的學習效果，筆者分別在任教的兩個平行班利用兩種不同的教學模式進行同課異構(gòu)。

教材：普通高中教科書人教A版數(shù)學必修第二冊第81頁習題7.2 綜合運用第5題

題目：ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A、B、C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i、-i、2+i，求點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)。

實驗對象：2020年9月入學的高一（5）班和高一（6）班，兩個班級是平行分班，數(shù)學學習基礎(chǔ)及學習習慣均無顯著性差異。隨機確定高一（6）班為實驗班，高一（5）班為對照班。

下面是“復(fù)數(shù)及其運算幾何意義的應(yīng)用”一節(jié)習題課同課異構(gòu)的課堂實錄：

在實驗班中，筆者給出題目，大多數(shù)學生一時無從下手?！叭齻€臭皮匠，勝過一個諸葛亮。”筆者鼓勵學生在學習團隊中交流互啟互助，引導學生數(shù)形結(jié)合，從幾何意義出發(fā)去探討解題方法。

兩分鐘過去了，“遠志組”上來匯報了第一種解法：

解法1：在平行四邊形ABCD中，A、B、C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i、-i、2+i，于是A、B、C三點對應(yīng)的坐標為（1，3）、（0，-1）、（2，1）。

根據(jù)平行四邊形對邊相等，則：

|AB|=|CD||AD|=|BC|。

設(shè)D的坐標為（x，y），則：

（1-0）2+（3+1）2=（2-x）2+（1-y）2，（1-x）2+（3-y）2=（2-0）2+（1+1）2，

解得x=3，y=5，于是點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+5i。

聽了“遠志組”的匯報，“希望組”的代表站起來了，我們有更快的方法——觀察法。

解法2：通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)B（0，-1）和C（2，1）的橫坐標和縱坐標都相差2，

即B（0，-1）橫坐標+2縱坐標+2C（2，1）

于是，點D的坐標應(yīng)該也是點A的橫坐標和縱坐標均加2就能得到，

即A（1，3）橫坐標+2縱坐標+2D（3，5）

于是，點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+5i。

接著，“亮劍組”“機智組”和“青蘋果組”分別介紹了解法3～5。

解法3：（利用向量相等的方法）

在平行四邊形ABCD中，AB=DC，

則（-1，-4）=（2-x，1-y）。

于是，2-x=-1，1-y=-4，解得x=3，y=5，于是點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+5i。

解法4：（利用向量加法的平行四邊形法則）

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，

BD=BA+BC，

（x，y+1）=（1，4）+（2，2），

于是，x=1+2，y+1=4+2，

解得x=3，y=5，于是點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+5i。

解法5：（利用中點坐標公式）

取AC的中點E32，2，

因為ABCD是平行四邊形，所以BD必定過點E且E也為BD的中點，

于是，x+02=32，y-12=2，

解得x=3，y=5，于是點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+5i。

每位同學在聽完小組代表對這五種解法的講解后得到啟發(fā)，自主選擇一種解法寫在當天的作業(yè)本上，用時16分鐘。

在對照班中，筆者前面做法一樣，先板演題目，大多數(shù)學生沒有思路。接下來，我提示學生考慮復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義，再復(fù)習了向量的知識，在教師的指導下，筆者把上述5種解法也一一向?qū)W生介紹了。用時15分鐘。

兩種課堂學習處理方式用時差不多，但是此后學生對相應(yīng)題型掌握的程度卻相差較大。

一周后，在小測中，筆者給出題目：

已知ABCD是平行四邊形，A、B、C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2+i、-2i、1+2i，則點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)是。

實驗班（34人）答對率100%，比上一屆高二學生（44人）同期的70.45%高出近30%;對照班（30人）答對率70%，與上一屆高二學生同期效果相差不多，比實驗班低了30%。

兩周后，在小測中，筆者給出題目：

4. 在復(fù)平面上復(fù)數(shù)i，1，4+2i所對應(yīng)的點分別是A、B、C，則平行四邊形ABCD的對角線BD的長為（? ）

A. 5B. 13C. 15D. 17

13. 在復(fù)平面內(nèi)，O是原點，OA，OC，AB表示的復(fù)數(shù)分別為-2+i，3+2i，1+5i，那么BC表示的復(fù)數(shù)為。

17. 在復(fù)平面內(nèi)，正方形ABCD的兩個頂點A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+i，2-3i，則另外兩個頂點C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù)。

學生作答效果如下：

每道小題5分，這三道題滿分15分，用spss軟件對兩個班得分情況進行差異性分析，統(tǒng)計如下：

從表2看，兩個班相應(yīng)題目得分情況雙側(cè)T檢驗，t=-7.22，P=0.000，差異顯著。提取兩個班的前10名答卷，發(fā)現(xiàn)實驗班和對照班的前10名學生這兩題均全對，差異主要出現(xiàn)在中等生和一般生。中等生和一般生由于基礎(chǔ)較薄弱，集中聽講的效果可能會比優(yōu)秀生差，所以更需要利用學習共同體學習團隊的互動交流，以此改善學生的學習效果。

三、 結(jié)語

通過對“復(fù)數(shù)及其運算幾何意義的應(yīng)用”進行同課異構(gòu)的課堂教學實驗對比研究，不難發(fā)現(xiàn)，學習共同體下學生合作交流的學習模式對于提高學生的數(shù)學成績，降低學生對抽象數(shù)學知識的遺忘率有明顯的優(yōu)勢。通過學生的自主探究，能有效地提高中等生和一般生的課堂參與程度，從而達到改善教學效果，普遍提高中學生的數(shù)學績效，進而實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的培育。

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作者簡介：

范曉絢，廣東省廣州市，廣州市嶺南畫派紀念中學。