摘要：本文簡要分析自我遞歸結(jié)構(gòu)在埃舍爾幾幅著名作品中的應(yīng)用，以圖形設(shè)計(jì)過程中設(shè)計(jì)靈感的獲取、設(shè)計(jì)程序的敲定、設(shè)計(jì)信息的提煉之間的內(nèi)在聯(lián)系為基礎(chǔ)，對獲取的設(shè)計(jì)元素在圖形視覺形態(tài)上進(jìn)行整合，最終應(yīng)用于圖形設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)實(shí)踐中，為今后的遞歸結(jié)構(gòu)應(yīng)用到圖形設(shè)計(jì)領(lǐng)域以及數(shù)理邏輯與藝術(shù)設(shè)計(jì)領(lǐng)域的結(jié)合提供科學(xué)理論研究與案例參考。

關(guān)鍵詞：哥德爾不完備定理 遞歸函數(shù) 埃舍爾 圖形設(shè)計(jì)

美國作家侯世達(dá)的《哥德爾，艾舍爾，巴赫——集異璧之大成》一書，將哥德爾的數(shù)理邏輯、埃舍爾的版畫、巴赫的音樂貫穿在一起，揭示出三者之間“三位一體”“殊途同歸”的關(guān)系。哥德爾深?yuàn)W的數(shù)理邏輯與埃舍爾的版畫和巴赫的音樂有著相同的“自指遞歸”。埃舍爾用他的版畫表現(xiàn)出視覺藝術(shù)的怪圈，他的名言是“誰敢確定地板不是天花板”;本著自指遞歸的思維，巴赫創(chuàng)造出“合理錯(cuò)位”但結(jié)尾又能回到開頭的《卡農(nóng)》;哥德爾依靠數(shù)理邏輯來推理數(shù)理邏輯本身，從而創(chuàng)造出了哥德爾不完備定理。

一、哥德爾定理簡述

（一）哥德爾不完備定理

作為數(shù)學(xué)界最重要的定理之一，其“不完備定理”的影響已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，尤其是哥德爾的不完備定理在推理過程中使用的原始遞歸函數(shù)如今在元數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、音樂、藝術(shù)設(shè)計(jì)方面也產(chǎn)生重要影響。

哥德爾不完備定理認(rèn)為：在一個(gè)足夠復(fù)雜的公理體系形式系統(tǒng)中（包含皮亞諾算術(shù)公理），都存在一個(gè)命題，它在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)既不能被證明也不能被否定。簡言之，哥德爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)系統(tǒng)是不完備的，并且還是不可完備的。

（二）遞歸函數(shù)與遞歸結(jié)構(gòu)

據(jù)甘迪（Robin Gandy，1919—1995）考證，首先使用“遞歸”術(shù)語的人是形式主義學(xué)派“首領(lǐng)”希爾伯特。原始遞歸函數(shù)是由哥德爾首先提出來的，現(xiàn)如今仍然是計(jì)算機(jī)理論的一個(gè)重要概念。所謂的原始遞歸函數(shù)是指由初始函數(shù)開始，經(jīng)過有限次數(shù)的代入于原始遞歸式而作出的函數(shù)。

不管是哥德爾首先提出的原始遞歸函數(shù)，還是后來提出的一般遞歸函數(shù)，其實(shí)都是一種典型的遞歸結(jié)構(gòu)。遞歸函數(shù)關(guān)系本質(zhì)是一種迭代關(guān)系，而迭代實(shí)質(zhì)上是一個(gè)循環(huán)反饋的過程，即由最初的函數(shù)（或自身）作為“輸入”，由“輸入”通過遞歸得到“輸出”，隨后把得到的“輸出”再作為“輸入”引入函數(shù)，不論是多復(fù)雜的遞歸函數(shù)，都可以看作是一種把“果”又當(dāng)成“因”的循環(huán)迭代過程。這樣一種互為因果、互為輸入與輸出的循環(huán)迭代過程就是遞歸過程或成為遞歸結(jié)構(gòu)。而這種互為因果、互為輸入與輸出的循環(huán)過程在埃舍爾的版畫中體現(xiàn)得淋漓盡致，創(chuàng)造出了許多令人驚奇的圖形設(shè)計(jì)作品。

哥德爾當(dāng)時(shí)所說的一般遞歸函數(shù)，可根據(jù)它本身的定義理解為“在有限證明步驟內(nèi)可以計(jì)算的函數(shù)”。如今數(shù)學(xué)界已經(jīng)證明：可以從初始函數(shù)開始以有限步驟計(jì)算出的函數(shù)都是遞歸函數(shù)。在《哥德爾，艾舍爾，巴赫——集異璧之大成中》，作者通過自指遞歸思維將哥德爾不完備定理，埃舍爾自相纏繞的版畫，巴赫循環(huán)上升最終又回到起點(diǎn)的音樂三者緊密聯(lián)系在一起。本文重點(diǎn)探討遞歸結(jié)構(gòu)在埃舍爾版畫中的應(yīng)用以及與圖形創(chuàng)新設(shè)計(jì)的結(jié)合。

二、遞歸結(jié)構(gòu)在埃舍爾版畫中的應(yīng)用

作為20世紀(jì)荷蘭著名版畫家的埃舍爾，他的畫作因包含大量的數(shù)學(xué)性、物理性以及哲學(xué)性被許多數(shù)學(xué)家、畫家所喜愛。埃舍爾將二維空間里視覺元素以及遞歸過程描繪在三維空間的真實(shí)場景中，并且畫面沒有一絲違和感，其中自相纏繞的怪圈或自指遞歸過程經(jīng)常作為主體出現(xiàn)在他的畫中。

1960年，英國數(shù)學(xué)家莫比烏斯勸埃舍爾創(chuàng)作一幅表現(xiàn)莫比烏斯帶的版畫，隨后埃舍爾在充分了解莫比烏斯帶后創(chuàng)作出一系列優(yōu)秀的拓?fù)鋵W(xué)版畫，例如《莫比烏斯帶II》（圖1）?！赌葹跛箮I》中的這只螞蟻沿著莫比烏斯帶走了一整圈最后又回到原位，沒有跳躍，也沒有跨越什么邊界，無可辯駁地證明這個(gè)結(jié)構(gòu)只有一個(gè)面。螞蟻的行走路徑陷入了一個(gè)無限循環(huán)的怪圈，以自身為初始函數(shù)開始計(jì)算完成了一個(gè)簡單的遞歸過程。

《手畫手》（圖2）是埃舍爾一生中最有名的作品之一，畫中一只右手正在畫左手的袖子，同時(shí)左手也在執(zhí)筆畫右手，此時(shí)正好處在快要結(jié)束的位置，達(dá)到了一種平衡。這是一種循環(huán)，就像前面的遞歸結(jié)構(gòu)，從一個(gè)層次進(jìn)入了另一個(gè)層次，然后又返回到原來的層次，進(jìn)行了一種無限的循環(huán)。這幅畫的空間由于手的形態(tài)，在一個(gè)二維畫面中創(chuàng)造了一個(gè)三維立體世界。

《畫廊》（圖3），畫廊里左下角是畫廊的入口，畫廊內(nèi)正在進(jìn)行展覽。我們看到一個(gè)男青年站在一幅畫前看畫，其畫上是一座水城，有很多樓房，有一艘船在水面行駛，最右角有一棟角樓，角樓是一間畫廊的入口，畫廊內(nèi)正在進(jìn)行展覽，男青年站在那里看畫……畫面將整個(gè)畫廊、水城樓房、看畫男青年放在了一個(gè)平面中，形成了一個(gè)遞歸循環(huán)的怪圈。這個(gè)遞歸循環(huán)過程可以如圖4那樣抽象地表達(dá)出來。

埃舍爾創(chuàng)造出許多充滿矛盾卻令人驚嘆的作品，在他的許多作品中，都通過分割、對稱、循環(huán)、連續(xù)、遞歸等方法，把許多三維物體在二維平面上表現(xiàn)出來。其中的某一個(gè)設(shè)計(jì)元素，在同一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)循環(huán)上升或者循環(huán)下降，這個(gè)設(shè)計(jì)元素又回到了原來開始的地方。這是一個(gè)循環(huán)怪圈，也是一個(gè)自指遞歸的過程。

三、遞歸結(jié)構(gòu)在圖形設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

筆者從埃舍爾版畫中的循環(huán)怪圈、自指遞歸結(jié)構(gòu)中受到啟發(fā)，探究其在圖形設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。

首先在埃舍爾版畫中進(jìn)行設(shè)計(jì)靈感的獲取，埃舍爾版畫中使用了大量的球面來表示反射和透視的圖，比如《陽臺》（圖5），以陽臺和盆栽為中心進(jìn)行突出顯示，整個(gè)建筑物呈球形膨脹起來。而進(jìn)行循環(huán)遞歸的圖形設(shè)計(jì)創(chuàng)作，球體是最好實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)模型。

其次在設(shè)計(jì)元素提取上，采用解構(gòu)式球形、藍(lán)色海浪、帆船構(gòu)成循環(huán)遞歸，設(shè)計(jì)程序使用5W1H模型。

Why：根據(jù)數(shù)學(xué)原理中的遞歸結(jié)構(gòu)與圖形進(jìn)行結(jié)合進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)。

What：（1）在哥德爾定理中提取遞歸結(jié)構(gòu)模型;（2）探究遞歸結(jié)構(gòu)在埃舍爾版畫中的應(yīng)用;（3）將遞歸結(jié)構(gòu)用于圖形設(shè)計(jì)實(shí)踐中做出一個(gè)創(chuàng)意圖形。

Where：用于創(chuàng)意圖形設(shè)計(jì)。

Who：1人。

When：2020年第二學(xué)期。

How：（1）色彩定位：外部海浪天藍(lán)色，內(nèi)部采用深藍(lán)色，帆船采用褐色與紅色;（2）元素定位：解構(gòu)球體模型，海浪漩渦以及帆船;（3）特點(diǎn)定位：通過圖形體現(xiàn)遞歸結(jié)構(gòu)在其中的應(yīng)用。

最后在確定設(shè)計(jì)元素、主題顏色、設(shè)計(jì)程序后進(jìn)行設(shè)計(jì)，如圖6所示，從最底部來看帆船從漩渦開始，帆船沿海浪循環(huán)上升，最終到達(dá)最頂部的漩渦，隨后又循環(huán)下降回到最底部的漩渦之中，從而形成一個(gè)遞歸循環(huán)的怪圈，圖形也體現(xiàn)了漁民出海與歸來的路徑情景。

四、結(jié)語

本文以哥德爾不完備定理為指導(dǎo)，借助其推理過程中的遞歸函數(shù)，總結(jié)出遞歸結(jié)構(gòu)與模型，以遞歸結(jié)構(gòu)在埃舍爾版畫中的應(yīng)用作為理論支撐，探究其在圖形設(shè)計(jì)中的具體應(yīng)用。

遞歸結(jié)構(gòu)能夠作為一種有效的設(shè)計(jì)思維方法應(yīng)用在圖形、造型創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)實(shí)踐之中，從而形成一個(gè)靈活有趣、富有深意的創(chuàng)意圖形。同時(shí)，遞歸結(jié)構(gòu)（包含自我遞歸結(jié)構(gòu)）能夠完全融入藝術(shù)設(shè)計(jì)領(lǐng)域之中，特別是在圖形、造型設(shè)計(jì)之中，進(jìn)而促進(jìn)藝術(shù)設(shè)計(jì)跨學(xué)科設(shè)計(jì)思維的發(fā)展。遞歸結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)有部分相似性，是一種“大遞歸中套小遞歸”的層次嵌套結(jié)構(gòu)和過程，且當(dāng)前的遞歸結(jié)構(gòu)只能滿足我們當(dāng)前的需求或設(shè)計(jì)需求，隨著認(rèn)知需求和設(shè)計(jì)需求的不斷更新，遞歸結(jié)構(gòu)也會(huì)被更新優(yōu)化，應(yīng)用在圖形、造型設(shè)計(jì)中也會(huì)創(chuàng)新優(yōu)化，從而產(chǎn)生符合這個(gè)時(shí)代需求的創(chuàng)意圖形。

本文只是就遞歸結(jié)構(gòu)對圖形進(jìn)行創(chuàng)意設(shè)計(jì)，更細(xì)致的內(nèi)容還有待于思考探究，但筆者相信，遞歸結(jié)構(gòu)融入藝術(shù)設(shè)計(jì)領(lǐng)域中，能夠?yàn)樵O(shè)計(jì)師從事設(shè)計(jì)實(shí)踐工作時(shí)提供靈感，無論是藝術(shù)設(shè)計(jì)，還是遞歸結(jié)構(gòu)，都能夠在創(chuàng)新、批駁、再創(chuàng)新、再批駁的過程中不斷走向科學(xué)與成熟。

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（作者簡介：董天碩，男，碩士研究生在讀，曲阜師范大學(xué)美術(shù)學(xué)院，研究方向：視覺傳達(dá)設(shè)計(jì)）

（責(zé)任編輯 劉月嬌）