張忠

摘 要：有效的數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)主要包括問(wèn)題情境、建構(gòu)活動(dòng)、數(shù)學(xué)化認(rèn)識(shí)、基礎(chǔ)訓(xùn)練和拓展延伸五個(gè)部分。我們數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注全體學(xué)生在“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本經(jīng)驗(yàn)”方面發(fā)展的前提下，還要精心設(shè)計(jì)“拓展延伸”教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生的思維活動(dòng)，拓展他們的思維空間，進(jìn)而提高他們的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。恰當(dāng)、適度地拓展延伸教學(xué)內(nèi)容，往往就來(lái)源于教材文本，本文結(jié)合相關(guān)案例從不同視角闡述對(duì)“拓展延伸”設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：拓展延伸;挖掘教材;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！币虼?，數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)真研讀《標(biāo)準(zhǔn)》和教材，明確每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，從中挖掘出相關(guān)素材進(jìn)行有效設(shè)計(jì)、優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)。下面，筆者結(jié)合相關(guān)案例從不同視角闡述對(duì)“拓展延伸”設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)。

一、數(shù)學(xué)思想方法的橫向拓展

1.案例1

由于三角形全等是三角形相似的特殊情況，所以在設(shè)計(jì)蘇科版教材九年級(jí)下《6.4探索三角形相似的條件》教學(xué)時(shí)，我沒(méi)有完全按照教材的體系進(jìn)行教學(xué)，而是把教學(xué)目標(biāo)由“課時(shí)目標(biāo)”調(diào)整為“單元目標(biāo)”，即類比三角形全等的定義和判定方法的探索進(jìn)程，將教材內(nèi)容進(jìn)行整合，在第一課時(shí)就先搭建起“探索三角形相似的條件”的框架，然后在后續(xù)的課上再對(duì)每一種判定方法進(jìn)行推理說(shuō)明、應(yīng)用，從而使學(xué)生對(duì)本單元的研究與探索有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)。于是，在第一節(jié)課我設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生思考或討論：

問(wèn)題1.回憶相似三角形的定義。

問(wèn)題2.回憶全等三角形的定義，并與相似三角形定義比較有何異同。

問(wèn)題3.回憶全等三角形的判定方法，由此猜想兩個(gè)三角形相似需要具備哪些條件？

然后引導(dǎo)學(xué)生猜想并畫(huà)出三角形相似與全等之間的結(jié)構(gòu)圖（如圖1）。

2.有效性分析

本案例運(yùn)用類比的思想方法，很容易引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)起上述的知識(shí)體系，同時(shí)能感悟到對(duì)于三角形全等或相似的判定，定義是最基本的方法，而從定義到一般的判定方法的猜想與探索就是一個(gè)條件弱化、減少的過(guò)程;而對(duì)于直角三角形全等的判定，不僅可用一般三角形全等的判定方法也有它自身的特殊方法;類似地，直角三角形相似的判定是否也有更簡(jiǎn)單的方法呢？筆者留了一個(gè)問(wèn)號(hào)，讓有興趣的同學(xué)在本單元的學(xué)習(xí)結(jié)束后繼續(xù)去猜想、探索，以此培養(yǎng)學(xué)生要注重新知識(shí)的探索方法與形成過(guò)程，而不是簡(jiǎn)單的結(jié)果，這種通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法的橫向拓展訓(xùn)練，可最大化地提高課堂教學(xué)效益，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)思考，開(kāi)闊他們的數(shù)學(xué)視野。

二、數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的縱向拓展

1. 案例2

在四邊形的探索研究中，我們得到結(jié)論“依次連結(jié)一個(gè)任意四邊形各邊中點(diǎn)，所得到的四邊形一定是平行四邊形”，即：如圖2，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形。這里綜合地考察了“三角形中位線性質(zhì)定理”和“平行四邊形的判定定理”。

圖中四邊形EFGH一般稱作“中點(diǎn)四邊形”，它的形狀只與四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的數(shù)量、位置有關(guān);同時(shí)，它的面積與四邊形ABCD的面積也有關(guān)系。因此，在上述基礎(chǔ)上，我們作如下的再探索和思考。

探索一：

如圖3，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，四邊形EFGH一般稱作“中點(diǎn)四邊形”。連結(jié)AC、BD，容易證明：中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形。

（1）如果改變?cè)倪呅蜛BCD的形狀，那么中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀也隨之改變，通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是菱形;

當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足? ? ? ? ?時(shí)，四邊形EFGH是矩形;

當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足? ? ? ? ?時(shí)，四邊形EFGH是正方形;

（2）探索△AEH、△CFG與四邊形ABCD的面積之間的等量關(guān)系，請(qǐng)寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論并加以證明;

（3）如果四邊形ABCD的面積為2，那么中點(diǎn)四邊形EFGH的面積為多少？

探索二：

如圖4，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DE的中點(diǎn)，EG與FH相交于O點(diǎn)。

（1）猜想EG與FH有怎樣的關(guān)系？并證明你的結(jié)論。

（2）請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件? ? ? ? ? ? ? ?，使得EG與FH互相垂直。（3）若四邊形AEOH、BEOF、CFOG的面積分別為15、17、16，求四邊形DGOH的面積;若四邊形AEOH、四邊形BEOF、四邊形CFOG、四邊形DGOH的面積分別為S1、S2、S3、S4，利用（3）的計(jì)算結(jié)果;直接寫出S1、S2、S3、S4它們之間的關(guān)系。

2.有效性分析

本案例是對(duì)教材文本內(nèi)容的再思考、再探索，深層次地進(jìn)行了“挖掘”，并與相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)穆?lián)系，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的縱向拓展。這個(gè)問(wèn)題有較強(qiáng)的探究性，思維要求較高，故對(duì)不同的學(xué)生應(yīng)加以分層要求，可以放到課后讓學(xué)生思考、探究，甚至合作完成，這樣即有助于學(xué)生對(duì)“中點(diǎn)四邊形”的全面理解，起到舉一反三、觸類旁通的效果，又能引導(dǎo)學(xué)生形成動(dòng)態(tài)、全面地思考認(rèn)識(shí)問(wèn)題的習(xí)慣，教師平時(shí)應(yīng)該多引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行這樣的總結(jié)和反思，反思題目的條件與結(jié)論之間的關(guān)系及分析思路、結(jié)論是否能推廣，反思如何引導(dǎo)學(xué)生從中進(jìn)行創(chuàng)造性思維的活動(dòng)、多角度思考問(wèn)題及多種方法解決問(wèn)題，從而提高學(xué)生的思維能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

三、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的橫向拓展

1.案例3

在蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)我們學(xué)習(xí)了分式的基本性質(zhì)： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不改變，即 =，=（其中B≠0，M為整式且M≠0）。

勤學(xué)善思的小明同學(xué)對(duì)此性質(zhì)產(chǎn)生了疑問(wèn)： 分式的分子和分母都加上（或減去）同一個(gè)不等于0的整式 ，分式的值會(huì)怎樣呢？即? = （其中B≠0，M為整式且M≠0）成立嗎？

我們先來(lái)解決一個(gè)身邊的問(wèn)題：

一般地，在水中加入的糖越多，糖全部溶解后糖水就越甜。將A克白糖加水配制成B克糖水（B>A>0），此時(shí)糖水中的含糖量為;若再加入M克白糖（M >0），待全部溶解后糖水中的含糖量變?yōu)?。根?jù)生活經(jīng)驗(yàn)，我們可以得到一個(gè)不等式： < ，你能說(shuō)明其中的道理嗎？

實(shí)際上， - = = ，因?yàn)锽>A>0，M>0，則>0，即 <，由此可知，一般地 ≠（其中B≠0，M為整式且M≠0）。

2.有效性分析

上述案例是對(duì)分式性質(zhì)的再思考，所產(chǎn)生的問(wèn)題是對(duì)學(xué)生原有的數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)橫向拓展，部分學(xué)生很自然產(chǎn)生一個(gè)疑問(wèn)。而問(wèn)題的探索與解決，則先是在生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上去思考，然后主要通過(guò)“作差”、分式的運(yùn)算來(lái)比較分式值的大小，其中的“作差”、分式的運(yùn)算是學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這樣較直觀地用所學(xué)的知識(shí)解決了小明的疑問(wèn)，從而對(duì)分式的性質(zhì)有了更深的理解。這種有效性設(shè)計(jì)，就是讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能只停留在對(duì)教材的理解和掌握上，而應(yīng)有更開(kāi)闊的視野和認(rèn)識(shí)。

利用上述結(jié)論，我們還可以解決下面的問(wèn)題。

如圖5，矩形草坪的長(zhǎng)為a米，寬為b米（a>b>0），沿草坪四周外圍有條寬為x米（x>0）的環(huán)行小路。

（1）草坪的寬與長(zhǎng)的比值m=? ? ? ? ，外圍寬與長(zhǎng)的比值n=? ? ? ? ? ?（用含有a、b、x的代數(shù)式表示）;

（2）請(qǐng)比較m與n的大小;

（3）圖中的兩個(gè)矩形相似嗎？為什么？

分析：（1）m=，n=;

（2）由上述材料可知：<即m < n;

（3）圖中兩個(gè)矩形不相似，理由：雖然這兩個(gè)矩形的4個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等（都是直角），但由<可知，它們的4條邊不對(duì)應(yīng)成比例，所以它們不相似。

以上是從三個(gè)不同方面簡(jiǎn)要地介紹了從教材文本中挖掘素材進(jìn)行有效的拓展延伸設(shè)計(jì)，這些只是有效教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)環(huán)節(jié)。其實(shí)有效的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)還有很多課題值得研究，我們數(shù)學(xué)教師要認(rèn)真鉆研教材，創(chuàng)造性地運(yùn)用教材，把握教材的編寫意圖及結(jié)構(gòu)框架，讓教學(xué)設(shè)計(jì)逐漸完善、有效，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加主動(dòng)、富有個(gè)性化，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)是拓展延伸的集散地，這就要求我們?cè)跀?shù)學(xué)本質(zhì)上聚焦教學(xué)活動(dòng)[2]，從而實(shí)現(xiàn)人人都有不同的發(fā)展，最終會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，提高綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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[2]卜以樓.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)：卜以樓初中數(shù)學(xué)教學(xué)主張[M] .西安：陜西師范大學(xué)出版社.2018.137