夏明

[摘? 要] 在新課改的影響下，教育更關(guān)注于學(xué)生綜合能力的提升，更重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高. 探索思維能力因其有助于學(xué)生提出、分析和解決問題，有助于學(xué)生看清問題的本質(zhì)和發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，因此，其已成為數(shù)學(xué)的重點(diǎn)研究課題. 文章從知識(shí)的生成過程引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注探究，從“變式”和“一題多解”中感悟探索的樂趣，通過經(jīng)歷錯(cuò)誤和挫折培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，樹立正確的價(jià)值觀.

[關(guān)鍵詞] 綜合能力;數(shù)學(xué)思維能力;價(jià)值觀

在高考中，因探索類問題更具開放性，蘊(yùn)含的知識(shí)量更大，知識(shí)面更廣，更能考查學(xué)生的綜合能力，而得到了考官的青睞. 因此，若想在高考中取得好的成績，就必須培養(yǎng)學(xué)生的探索能力. 同時(shí)，通過探索往往可以使學(xué)生透過特殊發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律，通過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，其為更深入的學(xué)習(xí)方式，顯然這有利于學(xué)生解決問題能力的提升. 另外，通過探索，讓學(xué)生知道通往成功需要經(jīng)歷錯(cuò)誤和挫折，只有不畏艱辛、不畏艱險(xiǎn)才能獲得成功，從而樹立正確的人生觀和價(jià)值觀. 因此，學(xué)生探索思維能力的提升已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，筆者就關(guān)于如何提升學(xué)生的探索思維能力，談了自己的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí).

[?]借知識(shí)的生成過程體驗(yàn)探索的樂趣

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是知識(shí)的傳授過程，還是學(xué)生數(shù)學(xué)思維生成和發(fā)展的過程，因此，在教學(xué)中應(yīng)改變簡單的“灌輸式”教學(xué)模式，讓學(xué)生參與到知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展到生成過程中，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，懂得探索. 但讓學(xué)生可以積極探索，就需要設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生思維的問題情境，讓學(xué)生從一個(gè)被動(dòng)接受者變?yōu)橹鲃?dòng)探究的發(fā)現(xiàn)者，從而培養(yǎng)學(xué)生的探索思維能力.

例1：二面角定義

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)拿出一張紙，將其對(duì)折，這樣會(huì)有幾個(gè)平面呢？

生齊聲答：兩個(gè).

師：兩平面是什么關(guān)系呢？

生1：相交.

師：兩平面相交的交線是什么？

生2：折線.

師：現(xiàn)在下面的面不動(dòng)，將上面的面轉(zhuǎn)動(dòng)，這兩個(gè)面的位置是否發(fā)生變化了呢？

生3：兩個(gè)面的位置不同了.

師：發(fā)生變化后，用什么來區(qū)別其變化程度呢？

生4：面角.

在教學(xué)過程中，教師通過讓學(xué)生動(dòng)手做，得到兩個(gè)平面，接下來用問題一步步地引導(dǎo)，讓學(xué)生關(guān)注兩個(gè)面的變化，從而引出“二面角”. 因?yàn)橛袆?dòng)手的實(shí)驗(yàn)和問題的引領(lǐng)，學(xué)生的參與積極性高漲，思維更加活躍，在不斷地探索中加深了對(duì)概念的理解，讓學(xué)生體驗(yàn)了探索的快樂.

[?]利用例題的演變激發(fā)探索的熱情

課本的例題從本節(jié)或本章內(nèi)容出發(fā)，因此其解題所涉及的知識(shí)點(diǎn)和解決思路相對(duì)比較清晰和集中，因此若在例題中加入探索的內(nèi)容，需要教師仔細(xì)推敲，才能使探索流暢自然，從而潛移默化地激發(fā)學(xué)生的探索熱情.

例2：已知數(shù)列{a}的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，后面的各項(xiàng)為a=a+a（n>2）.

（1）寫出數(shù)列{a}的前5項(xiàng);

（2）利用上面的數(shù)列，通過公式b=構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，試寫出數(shù)列的前5項(xiàng).

師：請(qǐng)大家自主探究一下，前5項(xiàng)的值分別為多少呢？.

生1：分別為1，2，3，5，8.

師：很好，大家有不同的意見嗎？（學(xué)生表示都贊同該答案）

師：若第（1）問改為前9項(xiàng)結(jié)果是多少呢？（教師給學(xué)生足夠的時(shí)間計(jì)算思考）

生2：1，2，3，5，8，13，21，33，54. （有些學(xué)生還在一個(gè)個(gè)計(jì)算，而眼尖的學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，數(shù)列{a}實(shí)為簡單的遞推公式給出的數(shù)列）

師：若將a=a+a（n>2）變?yōu)閍=a+a（n≥2），寫出這個(gè)數(shù)列的前9項(xiàng)，并觀察其規(guī)律寫出數(shù)列的第2021項(xiàng).

生3：通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)其值分別1，2，1，-1，-2，-1，1，2，1，即從第7項(xiàng)開始重復(fù).

師：很好，不僅給出了答案，而且還發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，這與我們之前學(xué)的什么內(nèi)容相似呢？

生4：周期數(shù)列，其周期為6.

規(guī)律發(fā)現(xiàn)后，第2021項(xiàng)也就迎刃而解了. 為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解該知識(shí)，教師又讓學(xué)生改變第1項(xiàng)和第2項(xiàng)的值，通過猜測和計(jì)算發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的性質(zhì). 通過該過程的探索和觀察，讓學(xué)生對(duì)數(shù)列的周期性產(chǎn)生了濃厚的興趣，為日后復(fù)雜內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

[?]憑借“一題多解”增強(qiáng)學(xué)生的探索意識(shí)

一題多解是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的常用手段，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生對(duì)“多解”進(jìn)行探索，從而誘發(fā)學(xué)生對(duì)“一題”進(jìn)行多角度的觀察和思考. 在此過程中，要以學(xué)生為主，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，從而在追求“多解”的過程中形成探索能力.

例3：已知S是等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，若a=a（a>0）且S=S，試求S的最大值及此時(shí)n的值.

題目分析：由題意可知等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S是n的二次函數(shù). 方法（1），學(xué)生首先想到的是根據(jù)“配方法”而求得其基本量d=-<0，從而寫出S的解析式，結(jié)合定義域進(jìn)行求解. 方法（2），教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行過程的回顧和反思，并引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)單調(diào)性的角度進(jìn)行思考，通過對(duì)數(shù)列最后一個(gè)非負(fù)項(xiàng)的探究進(jìn)行求解. 方法（3），由方法（1）引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)稱軸的思路進(jìn)行繼續(xù)探索，從而根據(jù)S=S，求得其對(duì)稱軸為x=，以此思路進(jìn)行求解. 方法（4），教師引導(dǎo)學(xué)生在方法（2）的基礎(chǔ)上，利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行探索，從而發(fā)現(xiàn)a+a=0，而a>0，a<0，這樣也可以得到答案.

通過多種解法的應(yīng)用，學(xué)生對(duì)關(guān)于等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S的最值問題有了全面的認(rèn)識(shí)，掌握了解決此類問題的解題思路和解題技巧，其有利于學(xué)生解題能力和探索能力的提升.

[?]在錯(cuò)誤中感悟探索的魅力，在糾錯(cuò)中提升探索能力

學(xué)習(xí)中都會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，而對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)和利用可以很好地考查學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度. 有部分學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤就僅簡單地進(jìn)行糾錯(cuò)處理，缺乏對(duì)錯(cuò)誤的再思考，從而使得后期出現(xiàn)“一錯(cuò)再錯(cuò)”的情況;也有部分學(xué)生，對(duì)錯(cuò)誤消極對(duì)待，聽之任之，致使沒有將錯(cuò)誤變成再學(xué)習(xí)的寶貴資源，這兩種對(duì)錯(cuò)誤的態(tài)度都是不可取的，那么如何來面對(duì)錯(cuò)誤呢？筆者認(rèn)為，當(dāng)出現(xiàn)錯(cuò)誤后，學(xué)生需要冷靜思考，查找真正的錯(cuò)因，進(jìn)行自我糾錯(cuò)、自我探究，從而不僅加深了對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，也提升了學(xué)生探索的信心.

例4：已知a+b+c=1，證明：a2+b2+c2≥.

錯(cuò)解：設(shè)a=-t，b=-2t，c=+3t（t∈R），則將其代入得a2+b2+c2=

-t

+

-2t

+

+3t

=+14t2≥. （即當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立）

該解法從表面上看無可挑剔，但深思后發(fā)現(xiàn)其犯了一個(gè)致命的錯(cuò)誤. 教師讓學(xué)生們一起探究交流，從而發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)因源于假設(shè). a=-t，b=-2t，c=+3t（t∈R）與a+b+c=1并非代表同一個(gè)已知，因?yàn)樵摷僭O(shè)法實(shí)為在原已知上添加了t=-a=-=-的條件.

根據(jù)錯(cuò)誤，學(xué)生知道只有設(shè)得等價(jià)，才不會(huì)犯錯(cuò)，因此要糾正此錯(cuò)誤需在設(shè)上下功夫，可設(shè)a=+t，b=+t，c=-（t+t）（t，t∈R），之后的證明過程與上面的相同.

對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)及對(duì)正解的探究都需要發(fā)揚(yáng)學(xué)生的探索精神，因此，教學(xué)中不能忽視對(duì)探索思維和探索意識(shí)的培養(yǎng).

[?]通過經(jīng)歷挫折感受探索的魅力

在探索的過程中往往會(huì)遇到挫折，因此，在教學(xué)中，要讓學(xué)生摒除畏難情緒和畏難心理，養(yǎng)成知難而進(jìn)的探索精神. 可以通過引入一些數(shù)學(xué)故事，讓學(xué)生懂得任何一項(xiàng)數(shù)學(xué)研究都需要不斷探索，生活亦是如此，不可能隨便就成功，從而引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成正確的數(shù)學(xué)觀和價(jià)值觀.

例5：已知S是正項(xiàng)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，若2S=a+，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式，并加以證明.

探索1：從原遞推公式中消去S，試圖通過探索特殊數(shù)列而得出結(jié)論. 探究后發(fā)現(xiàn)a+

a+

a-1=0（n≥2），探索失敗.

探索2：根據(jù)探索1的結(jié)論，將其看成關(guān)于a的方程，即求得a=

-

a+

+

，探索又失敗了.

在探索意識(shí)的作用下，學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行探究，將a=1代入a中，即得a=-1，繼續(xù)代入，得a=-，……，通過堅(jiān)持不懈地探究從而發(fā)現(xiàn)a=-. 通項(xiàng)公式得出后，證明也就水到渠成了.

問題得以迎刃而解，但學(xué)生對(duì)特殊數(shù)列的探索并沒有終止，學(xué)生嘗試從原遞推公式中消去a，從而驚喜地發(fā)現(xiàn)S-S=1，{S}為等差數(shù)列，該結(jié)論的得出無疑為學(xué)生增添了探索的信心和勇氣.

總之，探索不僅是一種思維方法，也是一種學(xué)習(xí)能力和勇攀高峰的決心，通過不斷努力，不僅可以找到解決問題的方法，也可以在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)真理. 因此，在教學(xué)中，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索，這不僅是學(xué)習(xí)的需要，也是培養(yǎng)新型人才的需要.