包旭苗

[摘? 要] 拋物線中的直線與圓的相切模型有著極高的應(yīng)用價(jià)值，該模型是基于教材常規(guī)問(wèn)題的提煉與總結(jié)，實(shí)現(xiàn)了圓錐曲線知識(shí)與隱圓特性的融合. 開(kāi)展圓錐曲線探究，建議采用猜想驗(yàn)證、總結(jié)拓展的方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過(guò)程，自我形成新知. 文章以拋物線中的相切模型為例，開(kāi)展探究教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 結(jié)論;拋物線;直線;相切;模型

圓錐曲線的問(wèn)題形式十分多樣，深入探究可提煉出一些較為特殊的結(jié)論，合理應(yīng)用結(jié)論則可以顯著提升解題效率. 上述“結(jié)論提煉—總結(jié)驗(yàn)證—應(yīng)用探究”的循環(huán)模式也是數(shù)學(xué)探究所極力倡導(dǎo)的，下面對(duì)拋物線問(wèn)題中直線與圓的相切結(jié)論進(jìn)行探究.

[?]引例問(wèn)題

問(wèn)題：已知拋物線C的解析式為y2=4x，焦點(diǎn)為F，斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)F，與拋物線C相交于點(diǎn)A和B. 若點(diǎn)M（-1，1），且∠AMB=90°，則斜率k的值為_(kāi)_______.

解析：根據(jù)題干條件繪制圖1所示圖像，設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A（x，y）和B（x，y），采用點(diǎn)差法可表示斜率k. 可知y

=4x1，

y

=4x2，整理可得y-y=4x1-4x2，所以k==. 取AB的中點(diǎn)為N（x，y），分別過(guò)點(diǎn)A和B作準(zhǔn)線x=-1的垂線，設(shè)垂足分別為A和B. 因?yàn)椤螦MB=90°，所以MN=AB=·（AF+BF）=（

AA+

BB），點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，則MN與x軸相平行. 又知點(diǎn)M（-1，1），則y=1，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得y+y=2，即k=2.

[?]猜想驗(yàn)證

上述問(wèn)題為拋物線與直線的相交問(wèn)題，其特殊之處有三點(diǎn)：一是直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，二是點(diǎn)M位于拋物線的準(zhǔn)線上，三是交點(diǎn)A，B與點(diǎn)M構(gòu)成了直角三角形，即∠AMB=90°. 問(wèn)題雖然探究直線的斜率，但引入隱形圓則可以挖掘圖像的特殊之處.

1. 推理猜想

線段AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，∠AMB=90°，由“圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角”可知點(diǎn)M位于以AB為直徑的圓上，則可繪制圖2所示圖像. 而點(diǎn)M又在拋物線C的準(zhǔn)線上，則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線為相切關(guān)系.

由此，做出如下猜想：過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)A和B，則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

2. 結(jié)論驗(yàn)證

對(duì)于上述猜想可借助拋物線的定義和幾何知識(shí)來(lái)驗(yàn)證.

設(shè)AF=

AA=a，BF=

BB=b，已知點(diǎn)M和N分別為AB和AB的中點(diǎn)，所以MN=（

AA+

BB）=（a+b），并且MN⊥AB. 設(shè)以AB為直徑的圓的半徑為R，則AB=2R=a+b，所以可得R=MN，即以AB為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線l是相切關(guān)系.

綜上，可得如下結(jié)論：AB是過(guò)拋物線y2=2px（p>0）焦點(diǎn)F的弦（焦點(diǎn)弦），則以AB為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線l相切.

3. 拓展應(yīng)用

分析上述結(jié)論，可知對(duì)于直線有著一定的限制條件，直線必須經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)結(jié)論才成立. 在把握?qǐng)D像特點(diǎn)后則可以利用結(jié)論來(lái)簡(jiǎn)化引例問(wèn)題.

由于直線經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)，并與拋物線相交于點(diǎn)A和B，且∠AMB=90°，則點(diǎn)M是以AB為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的切點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)為N，連接MN，則MN平行于x軸，可推得y=y=1. 設(shè)A（x，y）和B（x，y），可將直線AB的方程設(shè)為x=ty+1，有y=（y+y）=1. 聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程，整理可得y2-4ty-4=0，所以y+y=4t=2，可得t=，可推得k=2.

[?]結(jié)論拓展

上述探究了過(guò)焦點(diǎn)直線與拋物線相交的一個(gè)特殊結(jié)論，對(duì)圖像進(jìn)行深入探究，則可以獲得相應(yīng)的延伸結(jié)論.

1. 拓展結(jié)論

結(jié)論1：AB為拋物線的準(zhǔn)線，若以AB為直徑畫(huà)圓，E為AB的中點(diǎn)，則圓與弦AB為相切關(guān)系，且切點(diǎn)為F，并且有EF2=AA·BB，如圖3所示.

對(duì)于該結(jié)論的證明可從垂直關(guān)系入手，證明AF⊥BF，EF⊥AB即可推導(dǎo)出其中的相切關(guān)系，結(jié)合拋物線定義及幾何關(guān)系即可推導(dǎo)相關(guān)線段關(guān)系.

結(jié)論2：若以AF為直徑畫(huà)圓，則圓與y軸為相切關(guān)系，如圖4所示.

對(duì)于結(jié)論2則可以參考結(jié)論1的證明方式來(lái)推導(dǎo)垂直關(guān)系，進(jìn)而確定圓與y軸相切.

2. 應(yīng)用探究

問(wèn)題：已知拋物線C的解析式為y2=2x，且焦點(diǎn)為F，直線l和l均平行于x軸，分別與拋物線C相交于點(diǎn)A和B，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)P和Q. 若點(diǎn)F位于線段AB上，點(diǎn)R是PQ的中點(diǎn)，試探究AR與FQ的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解析：本題目的解法很多，利用過(guò)焦點(diǎn)直線與拋物線的相關(guān)結(jié)論可構(gòu)建特殊模型，運(yùn)用模型特點(diǎn)可直接推導(dǎo)幾何關(guān)系，可極大地降低問(wèn)題的思維難度.

連接RF和PF，如圖5所示，由拋物線的定義可知AP=AF，BQ=BF，結(jié)合AP∥BQ可推知∠AFP+∠BFQ=∠PFQ. 直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，則以PQ為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)F，由圓周角性質(zhì)可得∠PFQ=90°.

點(diǎn)R為PQ的中點(diǎn)，點(diǎn)F，P和Q位于以PQ為直徑的圓上，則可得RF=RP=RQ，推理可證△PAR≌△FAR，可得∠PAR=∠FAR. 又知∠BQF+∠BFQ=180°-∠QBF=∠PAF=2∠PAR，所以∠BFQ=∠RAF，從而可得AR∥FQ.

評(píng)析：本題解析兩線段的位置關(guān)系，直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，故符合拋物線中的相切模型特點(diǎn)，從而可構(gòu)建以PQ為直徑的圓與直線AB相切，由相切模型推導(dǎo)出了兩大核心條件：∠PFQ=90°，RF=RP=RQ，后續(xù)的分析則變得更為順暢.

[?]解題總結(jié)

直線與拋物線的位置關(guān)系是圓錐曲線探究的重點(diǎn)，引入隱形圓，構(gòu)建圓類模型則有利于幾何關(guān)系的分析，上述探究了拋物線中直線與圓相切的三類模型，總結(jié)了對(duì)應(yīng)的幾何結(jié)論. 而在實(shí)際分析問(wèn)題時(shí)建議按照如下步驟分步突破.

第一步，關(guān)注直線與拋物線的位置特點(diǎn)，判斷直線是否經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若直線過(guò)焦點(diǎn)且與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則符合本文模型;

第二步，判斷關(guān)鍵點(diǎn)的位置，確定模型類型，繪制隱形圓;

第三步，根據(jù)圓周角定理推導(dǎo)幾何條件，主要包括兩類：一是線段等長(zhǎng)（圓半徑相等），二是直角條件（直徑所對(duì)的圓周角為直角）;

第四步，結(jié)合推理?xiàng)l件進(jìn)行思路構(gòu)建，推導(dǎo)點(diǎn)坐標(biāo)、線段長(zhǎng)、直線方程等.

拋物線中的圓與直線相切模型可用于多類型問(wèn)題的求解，除了上述求直線的斜率、幾何關(guān)系外，還可以用于分析直線過(guò)定點(diǎn)、線段最值等. 實(shí)際探究時(shí)可參考如下轉(zhuǎn)化思路：由模型中的平行線確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，由模型的等線段長(zhǎng)構(gòu)建全等三角形，由模型的直角構(gòu)建直角三角形. 同時(shí)可逆向利用模型來(lái)分析直線與圓的位置關(guān)系.

[?]教學(xué)反思

上述圍繞拋物線背景中圓與直線的相切模型進(jìn)行了深入探究，總結(jié)了三類模型的相切特點(diǎn)，從模型特點(diǎn)來(lái)看可視為是隱形圓的解題應(yīng)用，整個(gè)探究過(guò)程按照“引例解析→猜想驗(yàn)證→結(jié)論拓展→解題總結(jié)”思路循序深入，下面提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 深剖教材重點(diǎn)，挖掘模型結(jié)論

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)重視對(duì)教材內(nèi)容的探究剖析，課本的例題均是精心挑選，具有代表性的母題，深剖問(wèn)題，提煉模型有利于把握問(wèn)題本質(zhì)，形成的模型結(jié)論可有效提升解題效率. 以上述所探究的相切模型為例，拋物線中過(guò)焦點(diǎn)弦問(wèn)題十分常見(jiàn)，常規(guī)思路是聯(lián)立方程，通過(guò)設(shè)而不求的方式來(lái)轉(zhuǎn)化求解，但相對(duì)解題效率低下. 提煉切線模型，通用隱圓性質(zhì)則可以直接推導(dǎo)關(guān)鍵條件. 實(shí)際教學(xué)需引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注例題的特征結(jié)論，追根溯源，總結(jié)模型結(jié)論.

2. 注重探究過(guò)程，發(fā)展核心素養(yǎng)

結(jié)論探究建議采用過(guò)程突破的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思維過(guò)程，通過(guò)自主探究形成相應(yīng)的解題策略. 以模型結(jié)論的探究教學(xué)為例，要注重模型的提煉過(guò)程、結(jié)論的驗(yàn)證過(guò)程，可設(shè)計(jì)具有針對(duì)性的教學(xué)活動(dòng)，通過(guò)圖像辨析讓學(xué)生提煉特殊模型，從特殊問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論. 同時(shí)給學(xué)生留足思考空間，提供開(kāi)放的探究平臺(tái)來(lái)拓展模型，形成系統(tǒng)的知識(shí)模型. 探究過(guò)程要注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，提升學(xué)生的建模水平和猜想推理能力.