■武興亮 張啟兆

冪函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,是在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念與性質(zhì)之后研究的一種特殊函數(shù)。下面舉例說明冪函數(shù)的常見題型。

一、冪函數(shù)的圖像

例1圖1 中C1,C2,C3為三個(gè)冪函數(shù)y=xα在第一象限內(nèi)的圖像,則解析式中指數(shù)α的值依次可以是()。

圖1

解:由冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖像知,圖中C1對應(yīng)的α<0,C2對應(yīng)的0<α<1,C3對應(yīng)的α>1。故指數(shù)α的值依次可以是-1,。應(yīng)選D。

評注:認(rèn)識冪函數(shù)的圖像的關(guān)鍵是抓住第一象限的特征。①當(dāng)α>1時(shí),過點(diǎn)(0,0),(1,1)的拋物線型,且下凸遞增;②當(dāng)α=1時(shí),過點(diǎn)(0,0),(1,1)的射線;③當(dāng)0<α<1時(shí),過點(diǎn)(0,0),(1,1)的拋物線型,且上凸遞增;④當(dāng)α=0時(shí),即y=1(x≠0),平行于x軸的射線;⑤當(dāng)α<0時(shí),過點(diǎn)(1,1)的反比例函數(shù),在第一象限內(nèi)遞減,與兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸無限接近。

二、冪函數(shù)的性質(zhì)

例2(多選題)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中,常用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)。下列函數(shù)中,在(0,+∞)上單調(diào)遞增且圖像關(guān)于y軸對稱的是()。

A.f(x)=x3B.f(x)=x2

C.y=x-2D.f(x)=|x|

解:f(x)=x3的定義域?yàn)镽,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,但f(-x)=-x3≠f(x),即f(x)=x3不是偶函數(shù),其圖像不關(guān)于y軸對稱,A排除。f(x)=x2的定義域?yàn)镽,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),即f(x)=x2是偶函數(shù),圖像關(guān)于y軸對稱,B正確。y=x-2的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),在(0,+∞)上單調(diào)遞減,C排除。f(x)=|x|的定義域?yàn)镽,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(-x)=|-x|=|x|=f(x),即f(x)=|x|是偶函數(shù),圖像關(guān)于y軸對稱,D正確。應(yīng)選B,D。

評注:理解y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1這五個(gè)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

三、求參數(shù)的取值范圍

例3已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上是增函數(shù),函數(shù)g(x)=2kx+2。

(1)求m的值。

(2)對任意x1∈[-1,2],總存在x2∈[1,2],使g(x1)=f(x2),求k的取值范圍。

解:(1)由題意可得解得m=0。

(2)由(1)知f(x)=x2。記A={y|y=f(x),x∈[1,2]},B={y=g(x),x∈[-1,2]}。容易求得A=[1,4]。由題意得B?A,所以即k∈。

評注:第(1)問是利用冪函數(shù)的概念及單調(diào)性求解的,第(2)問是將問題轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系求解的。