新疆烏魯木齊市教育研究中心 (830002) 趙愛華

夸美紐斯的《大教學論》提出教育應遵循自然規(guī)律的觀點，其直指教學中要遵循自然秩序和依據(jù)學生的認知規(guī)律.也就是說通過對數(shù)學教材的選擇、目標的達成、教學環(huán)節(jié)設計等措施能夠準確把握教學要素、有效完成教學任務、提高課堂效率.教學設計要最大化地合乎學生的認知規(guī)律和思維特點,要符合學生原有的數(shù)學知識認知結(jié)構(gòu)的自然發(fā)展過程，使數(shù)學概念的提出和解決數(shù)學問題均能自然地生成符合數(shù)學知識的邏輯思維，讓學生在不自覺中完善自己的邏輯思維，完成學習任務、進行深度學習.深度學習是建立在理解基礎上的一種學習，將已有的知識、經(jīng)驗遷移到新的問題情境中，進而幫助做出決策、解決新問題[1].深度學習能夠引導學生通過深切的體驗、深入的思考，促進學生主動、可持續(xù)發(fā)展的學習，達成對概念的透徹理解，有效克服數(shù)學淺層次的學習，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1 案例分析

眾所周知，直線的性質(zhì)相對于其它曲線要簡單，直線的傾斜角與斜率在現(xiàn)行教材的解析幾何內(nèi)容中，是運用“代數(shù)方法研究幾何問題”的開山之作.我們嘗試借助坐標把直線(幾何)問題轉(zhuǎn)化為方程(代數(shù))問題，進而通過方程(代數(shù))運算研究直線(幾何)的性質(zhì)[2].學生初中學習過一次函數(shù)，畫過具體的一次函數(shù)圖象.本節(jié)課首先要了解直線方程的概念，重難點在理解傾斜角的定義及斜率的定義，領悟直線上任意兩點的坐標、直線的傾斜角、直線的斜率兩者之間的關(guān)系.根據(jù)學生的已有經(jīng)驗，可嘗試將斜率的定義環(huán)節(jié)和已知兩點求直線斜率環(huán)節(jié)進行整合.從知識呈現(xiàn)自然的角度看，初中階段一次函數(shù)的圖像,學生知道其代表一條直線，知b是直線與y軸交點的縱坐標，其中k的幾何含義是什么，學生并不是非常清楚，若b不變k變化時，直線可以看成是繞著點(0,b)旋轉(zhuǎn)，有些同學就會發(fā)現(xiàn)k是表示傾斜程度的量.于是在這里，可以讓學生求一下直線y=kx+b的k，從而建立與傾斜角之間的關(guān)系引出斜率和斜率公式.從問題自然產(chǎn)生來看，直線上的一點以及它的傾斜角可以確定一條直線，兩點也可以確定直線，要探究的問題即為：直線上任意兩點的坐標與直線的傾斜角α有幾何關(guān)系.從方法形成自然來看，已知直線上一點和直線斜率如何畫直線，這樣可以實現(xiàn)初高中的無縫銜接，能把初高中相關(guān)知識整合在一起，構(gòu)建全新的、一致的知識網(wǎng)絡，深化直線知識的理解.

1.1 直線方程概念的初步了解

先出示x-y-2=0，然后分步提問：(1)這個等式叫什么？(2)這個方程的解有多少組并說明為什么是方程的解；(3)方程x-y-2=0所有的解在幾何上表示什么(幾何意義)？ (4)反過來這條直線上任意一點滿足方程x-y-2=0嗎？筆者借助GeoGebra平臺，讓學生觀察直線上任意一點坐標，計算后發(fā)現(xiàn)滿足方程x-y-2=0，由此指出(直線的)方程x-y-2=0與(方程的)直線x-y-2=0的一一對應關(guān)系.接下來分別出示初中不研究的x-1=0,y-1=0加以強調(diào)說明.在此基礎上，歸納出直線方程的概念.讓學生對直線方程有初步的了解.接著，就介紹解析幾何創(chuàng)始人笛卡爾解決問題的理論設想：將任何問題歸納轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，繼而歸納轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，最終通過解決方程問題來求解，這一設想雖未能實現(xiàn)，但笛卡爾成功創(chuàng)立了解析幾何，實現(xiàn)了將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，即在平面直角坐標系中，把點用坐標(x,y)表示，把曲線上動點橫、縱坐標x,y之間的相互依存、相互制約的關(guān)系用方程f(x,y)表示，然后通過研究方程來研究曲線.因為直線是最簡單的曲線我們從研究直線開始[3].從而引出課題“直線的傾斜角與斜率”.

意圖：從學生熟悉的一次方程出發(fā)，從方程解的幾何意義與一次函數(shù)的關(guān)系等全新的思考角度，最大化激發(fā)了學生的好奇心.作為解析幾何的起始課，抓住“了解”這一契機,能舍得時間在直線方程的概念和數(shù)學史的相關(guān)內(nèi)容上，將數(shù)學文化的理性和創(chuàng)新精神融入其中，為后面學習圓錐曲線方程的概念打下一定的基礎，也符合現(xiàn)行單元設計理念.學生借助笛卡爾坐標這個橋梁，在初中學習函數(shù)圖像的基礎上，對“數(shù)”與“形”的聯(lián)系有了進一步地認識.

1.2 運用角定義傾斜過程

問題1 人教A版必修2第82頁的思考：對于平面直角坐標系內(nèi)的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？(1)過兩點能確定嗎？(2)過一點+傾斜程度(方向)能確定嗎？(3)如果直線過一已知點，這些直線的傾斜程度各不相同，如何刻畫直線傾斜程度？追問對于一條直線而言，哪些角可以刻畫直線的傾斜程度？ (4)如何給選定的角命名？如何用文字語言描述你所選定的角？(5)特殊的直線(不與x軸相交)傾斜程度的角如何規(guī)定？(6)刻畫直線傾斜程度的角的范圍如何規(guī)定？

意圖：從傾斜角定義過程來看，知識的呈現(xiàn)是自然的，絲毫沒有強加給學生.通過對問題串的分析，導出“確定直線傾斜程度的問題”，直接明確本節(jié)課的學習方向.其余問題來源于傾斜角定義中所有規(guī)定的內(nèi)容，需要學生決策，具有一定的挑戰(zhàn)性，其中師生、生生討論的內(nèi)容，已經(jīng)選擇性地在合理的范圍內(nèi)高度融合了知識生成過程，又將其巧妙地規(guī)定在學生的能力范圍之內(nèi)，使學生積極投入到學習中.讓師生不僅在共同經(jīng)歷了傾斜角誕生的全過程中凸顯了知識生成過程的選擇性，更對定義的合理性有了較深認識，深度學習也就自然發(fā)生，學生的思維不會停留在淺層次的，進而得到深層次鍛煉.

1.3 運用兩點定義斜率過程

部分教師依照人教A版必修2第83頁的思考：日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量，隨后這樣表述如果我們使用傾斜角這個概念，那么這里“坡度”實際就是傾斜角α的正切，我們把一條直線的傾斜角α的正切叫做這個直線的斜率，類比“坡度”直接引出“斜率”,然筆者認為這值得深思.“坡度”是學生在學習九年級下冊“解直角三角形”一章時，解決具有實際背景一道習題時所涉及的一個概念，教材直接定義式給出，并未給出進一步說明.筆者曾與部分初中數(shù)學教師溝通“坡度”問題時，大多均表示僅就題而簡單介紹一下“坡度”概念，更多地把視角集中在直角三角形相關(guān)性質(zhì)的研究中，幾乎花過多的時間讓學生做更深層次的思考.比如，對于為什么“坡度”是用“上升高度”與“前進寬度”的比，而不用“上升高度”與“斜面長度”的比表示，這樣的問題教師基本不會有時間讓面臨中考的九年級學生進行深入探究.“坡度”概念學生充其量只知其“表”不知其 “本”，若將“坡度”遷移到新概念(斜率)，其實對“斜率”的理解，還是困難的，也稍顯得不自然，并且，“坡度”解釋“斜率”定義的合理性只能局限在傾斜角為銳角的時候.筆者建議引入“斜率”概念后，可以回顧“坡度”定義解釋其合理性，值得一提的是新教材也大致是這種處理方式.

問題2 初中階段學習過一次函數(shù)的圖象，知道其代表一條直線，兩點可以確定直線或者一點+傾斜程度(方向)確定直線，其中b是直線與y軸交點的縱坐標，(1)當b不變k變化時，直線可以繞著定點(0,b)旋轉(zhuǎn)，k有什么幾何含義?(2)那么k是不是可以刻畫直線的傾斜程度呢？與我們剛學習的直線傾斜角有什么聯(lián)系？(3)我們知兩點確定一條直線，直線確定其傾斜角就確定了，若直線過點(1,0)和點(2,1)，求直線y=kx+b中的k是多少？(4)若直線的上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2)與直線y=kx+b中的k有什么關(guān)聯(lián)呢？(5)與直線的傾斜角α有何聯(lián)系呢？

意圖：問題2直接抓住學生最近發(fā)展區(qū)，從知識的聯(lián)系中、問題的解決過程中使斜率的定義自然出現(xiàn).把直線斜率的定義過程與探索“直線上任意兩點的坐標”與“直線的傾斜角α的關(guān)系過程融為一體”，讓斜率的坐標計算公式成為這個過程的一個自然結(jié)果，并且將特殊問題一般化，在尋找直線上“任意兩點的坐標”與“傾斜角”的數(shù)量關(guān)系的過程中發(fā)現(xiàn)變化中的不變量(tanα),自然引入斜率的概念，讓深度學習自然發(fā)生，將學生始終置與學習的主體地位，充分調(diào)動自身固有經(jīng)驗進行自主地知識遷移，經(jīng)歷概念從不嚴謹?shù)絿乐數(shù)男纬蛇^程，培養(yǎng)且發(fā)展了抽象概括、符號表達、分類討論、數(shù)形結(jié)合、推理論證等能力.

問題3 已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求直線AB、BC的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是什么角？

變式把問題3中的B點坐標改為(3,1)、(a,b)，此時直線AB的斜率和傾斜角是什么角？

意圖：由點求斜率，讓學生進一步兩點求直線斜率和厘清直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系，“形”與“數(shù)”的關(guān)系加深對直線傾斜角、斜率和斜率公式應用和理解.通過變式滲透分類討論的思想.

2 反思與提升

在直線傾斜角與斜率的課后學生訪談中，學生對能用直線上任兩點的坐標刻畫傾斜程度，表現(xiàn)出很強的成就感和自信感，從課堂教學的立意看，我們實現(xiàn)了引言中，“把幾何問題代數(shù)化，用坐標表示點，用方程表示曲線”的這一深遠著眼點，也實現(xiàn)單元教學.從課堂教學的主干看，對主體概念可謂不惜著墨、反復實踐，從具體到抽象，讓學生的認知經(jīng)驗與所學新知不脫節(jié)，知識的生成過程從初中所學習一次函數(shù)中的含義到傾斜角的正切其表達無跳躍，進一步體會知識生成的自然和概念的深度學習，充分體現(xiàn)“坐標法”將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.結(jié)尾時用四句話總結(jié)一節(jié)課所學習知識：確定直線需方向，傾角斜率變化強，正切圖像心中有，數(shù)形結(jié)合更飛揚.以此增強課堂趣味性，讓數(shù)學變得更具詩意性.

教材是教學內(nèi)容的載體和藍本，教師需要在理解教材、理解學生的基礎上，明確用什么教及教什么.更要通讀教材及教學大綱，把握好數(shù)學教學內(nèi)容的整體性和聯(lián)系性，才能在教學素材中不斷提煉數(shù)學教學內(nèi)容和教學目標，反復在課堂中嘗試打磨反思，進而做大膽嘗試去甄別最優(yōu)教學素材，或者因地制宜地適當改造教學素材,在不改變教學素材背景的前提下變換其蘊含的內(nèi)容與思想，節(jié)省學生熟悉教學素材的時間.教師需要特別注重每個教學環(huán)節(jié)之間的過渡，使由多個環(huán)節(jié)組成的課堂，達到最大化簡約原則，真正做到源于教材而又不拘于教材，這樣的課堂深度學習才會發(fā)生，使數(shù)學知識從表層走向深刻，從零散走向系統(tǒng)，高效完成課堂教學內(nèi)容，回歸教學本質(zhì).在此過程中也使學生能夠進行有步驟的高階思維，理解學科本質(zhì)和知識意義，達成核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展.