甘肅省靖遠縣第一中學(xué) (730600) 唐旭堯

雙變量或多變量關(guān)系條件下的代數(shù)式最值問題的求解，是近年高考中一個非常熟悉的“面孔”，經(jīng)常在高考試卷中出現(xiàn).此類問題變量眾多，問題背景設(shè)置創(chuàng)新新穎，隨著變量的系數(shù)、次數(shù)、符號、代數(shù)表達式等的變化，面目全非，變化多端，可以有效交匯不等式、函數(shù)或方程、導(dǎo)數(shù)以及其他相關(guān)的知識，融合數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)能力等，能很好考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，具有很好的選拔性與區(qū)分度，倍受命題者青睞.

1.問題呈現(xiàn)

問題(清華大學(xué)中學(xué)生標準學(xué)術(shù)能力診斷性測試2021年3月測試理科數(shù)學(xué)試卷·12)已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，則a3+b3+c3的最小值是( ).

此題以“三元之和為1”與“三元平方和為1”為已知條件，進而確定“三元立方和的最小值”，創(chuàng)新新穎，問題背景具有漸進性、層次性，極具美感.破解問題的關(guān)鍵是巧妙借助對應(yīng)公式的變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及由函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值等知識的應(yīng)用，巧妙融合，合理交匯，綜合應(yīng)用.

2.問題破解

點評：合理通過代數(shù)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，巧妙配湊，把三元立方和轉(zhuǎn)化為三元乘積，再通過關(guān)系式的變形，調(diào)配系數(shù)，利用三元均值不等式來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進而得以確定對應(yīng)的最值問題.不等式問題利用不等式思維來處理，是破解問題的常見思維，但對代數(shù)關(guān)系式的變形與配湊技巧性非常強，要求具備非常高的代數(shù)運算技巧與能力.

點評：極端思維方法處理，是借助多變元函數(shù)取最值時一般滿足的條件來特殊情況切入，是一種逆推思維方式，有時不具有完備性.在解答選擇題時可以結(jié)合選項的結(jié)論有選擇性應(yīng)用，而填空題等問題時要注意慎用.

3.變式拓展

探究1保留題目條件，改求“a+b的取值范圍”，降低題目難度，得到以下變式問題.

變式1 已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，則a+b的取值范圍是( ).

A.[-1，1] B.[-，0] C.[0，] D.[0，2]

探究2保留題目條件，改求“a3+b3+c3的最大值”問題，得到以下變式問題.

變式2 已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，則a3+b3+c3的最大值是( ).

4.解后反思

破解雙變量或多變量的關(guān)系條件下的代數(shù)式最值問題，關(guān)鍵是借助已知條件中的關(guān)系式，合理恒等變形，巧妙運算轉(zhuǎn)化，充分深入理解，挖掘本質(zhì)，合理整合，巧妙應(yīng)用，結(jié)合不等式、函數(shù)或方程、導(dǎo)數(shù)以及其他相關(guān)的知識來分析與處理.同時，對于此類問題，要合理挖掘其豐富內(nèi)涵，不斷探究反思，舉一反三，靈活變通，學(xué)會變式拓展，探究提升，真正達到融會貫通，從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維等層面融合，形成數(shù)學(xué)知識體系，轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)能力，有效應(yīng)用于相應(yīng)的數(shù)學(xué)解題，真正形成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，有效提高數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).