黎超 韋金愛(ài) 陸龍燕

摘要：數(shù)學(xué)建模是中職數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，是培養(yǎng)中職學(xué)生利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的重要思維方式.函數(shù)是描述客觀世界運(yùn)動(dòng)變化的是數(shù)學(xué)模型，函數(shù)是中職數(shù)學(xué)教學(xué)重要的內(nèi)容，函數(shù)模型是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要載體.通過(guò)三角函數(shù)模型的教學(xué)，使學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，理解模型，為利用模型解決專業(yè)學(xué)習(xí)或者生活中的問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：任意角三角函數(shù);中職數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程.數(shù)學(xué)建模思想是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的基本思維方式之一，也是解決生產(chǎn)、生活中的有關(guān)問(wèn)題的有力武器.根據(jù)中職學(xué)生的知識(shí)水平，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的教學(xué)主要有兩個(gè)內(nèi)容：一是數(shù)學(xué)模型的含義，掌握數(shù)學(xué)模型;二是數(shù)學(xué)模型在社會(huì)生活、專業(yè)課程學(xué)習(xí)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

函數(shù)是描述客觀世界運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)模型，函數(shù)是中職學(xué)生數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，函數(shù)模型是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的載體，本節(jié)是中職《數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)模塊上冊(cè)第五章第3節(jié)的內(nèi)容.三角函數(shù)是重要基本的初等函數(shù)之一，也是描述周期性現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。

一、教材地位與作用

本章的第1節(jié)和第2節(jié)分別是角的概念推廣和弧度制，這是為三角函數(shù)引入做鋪墊，為函數(shù)的三要素之一的定義域做好準(zhǔn)備，將角度化為弧度，即為實(shí)數(shù).第3節(jié)通過(guò)角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)“比值”來(lái)定義，構(gòu)建三角函數(shù)模型。第4節(jié)、第5節(jié)都是基于三角函數(shù)的定義得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式;第6節(jié)研究三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，第7節(jié)已知三角函數(shù)值求角。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)模型，利用直角三角形的邊長(zhǎng)比來(lái)刻畫的，角的范圍只限于銳角，模型的應(yīng)用具有局限性.本節(jié)在初中已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上構(gòu)建邏輯思維起點(diǎn)，通過(guò)類比推理、演繹論證得出任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義，得出應(yīng)用范圍更廣的數(shù)學(xué)模型。

三、教學(xué)過(guò)程分析

（一）三角函數(shù)發(fā)展史引入教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

三角學(xué)這門學(xué)科是從研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系開始的，最初的目的是為了改善天文學(xué)中的計(jì)算.古代三角學(xué)的萌芽可以說(shuō)是源于古希臘哲學(xué)家泰利斯的相似理論.古希臘天文學(xué)家帕恰斯，曾著有三角學(xué)12卷，可以說(shuō)是古代三角學(xué)的創(chuàng)始人.到15世紀(jì)，德國(guó)的雷格蒙塔努斯的《論各種三角形》一書，書中提出了解三角形邊長(zhǎng)的代數(shù)解法，討論了球面三角形的正余弦定理，標(biāo)志著古代三角學(xué)正式成為獨(dú)立的學(xué)科，這是幾何的三角.到16世紀(jì)，哥白尼的學(xué)生雷蒂斯的《三角形準(zhǔn)則》首次給出了六種三角函數(shù)表，重新定義了三角函數(shù)，即為三角形邊與邊的比，并指出此比與角度有關(guān)，不過(guò)僅限于銳角三角形，目的在于解三角形和三角計(jì)算，這是代數(shù)的三角.18世紀(jì)，歐拉建立了三角函數(shù)嚴(yán)格解析理論，三角函數(shù)從原先靜態(tài)研究三角形的解法解脫出來(lái)，成為反映現(xiàn)實(shí)世界中某些運(yùn)動(dòng)和變化的一門具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)特征的學(xué)科，這是解析的三角。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生了解三角函數(shù)的發(fā)展史，感受概念形成的曲折經(jīng)歷，滲透數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

（二）問(wèn)題導(dǎo)學(xué)，逐層探究

問(wèn)題1 初中銳角三角函數(shù)是如何定義的？

教師利用GeoGebra軟件演示如圖三角形，學(xué)生回答，再展示答案：

，，.

即銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量，以邊的比值為函數(shù)值的函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】任意三角函數(shù)函數(shù)定義以初中銳角三角函數(shù)為探究起點(diǎn)，讓新知識(shí)的構(gòu)建打下基礎(chǔ)。

問(wèn)題2? 為了討論方便怎樣將Rt△OMP中的∠POM放入直角坐標(biāo)系？如何表示銳角α終邊上點(diǎn)P的坐標(biāo)？

頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，角的始邊OM與x軸的非負(fù)半軸重合，PM⊥x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，b）。

問(wèn)題3? 你能用直角坐標(biāo)系中角α終邊上的點(diǎn)P的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎？

點(diǎn)P縱坐標(biāo)b是角α對(duì)邊長(zhǎng)，橫坐標(biāo)a是角α鄰邊長(zhǎng)，P到原點(diǎn)的距離|OP|為斜邊長(zhǎng)，學(xué)生容易得出結(jié)論。

問(wèn)題4? 改變角α中邊上點(diǎn)P的位置，銳角α的三角函數(shù)改變嗎？能否說(shuō)明理由？

教師先讓學(xué)生思考，做出主觀判斷，教師使用動(dòng)態(tài)幾何畫板GeoGebra演示，當(dāng)點(diǎn)P的位置改變時(shí)，討論點(diǎn)P坐標(biāo)的變化及對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值.結(jié)論：當(dāng)角α確定時(shí)，α的三角函數(shù)值不隨點(diǎn)P位置改變而變化。

教師引導(dǎo)學(xué)生看圖，點(diǎn)P改變時(shí)，得到兩個(gè)三角形相似，比值不變.

問(wèn)題5? 銳角α變化時(shí)，比值改變嗎？比值是角的函數(shù)嗎？

教師讓學(xué)生想象思考，做出判斷，教師再用動(dòng)態(tài)幾何畫板GeoGebra演示，同時(shí)做出解釋.當(dāng)α為銳角時(shí)，三個(gè)比值隨著α的變化而變化;當(dāng)α確定時(shí)，三個(gè)比值是確定的.因此，三個(gè)比值是以α為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】角是幾何圖形，將角放入坐標(biāo)系，通過(guò)終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)，搭建由行到數(shù)的橋梁，PM⊥x軸于點(diǎn)M，構(gòu)造問(wèn)題2中的RtΔOMP，將坐標(biāo)系中銳角三角函數(shù)的表示化為初中直角三角形中的銳角三角函數(shù)的表示，類比實(shí)現(xiàn)了解析化.通過(guò)問(wèn)題4與5，比值隨著角的改變而改變，角定則比值唯一，解釋了銳角三角函數(shù)表示的合理性。

（三）類比、歸納，建立模型

問(wèn)題6? 能將銳角三角函數(shù)的比值情形推廣到任意角α的情況嗎？

對(duì)于任意角，它的終邊位置包括兩類：終邊分別在四個(gè)象限和終邊在四個(gè)半軸上，共8中情形，類比得出正弦、余弦、正切的表示，當(dāng)（k∈Z）時(shí)，有x=0，則無(wú)意義。

追問(wèn)：當(dāng)α變化時(shí)，正弦、余弦、正切對(duì)應(yīng)的比值變化嗎？當(dāng)不變，情況又如何？

讓學(xué)生思考，做出判斷，再用動(dòng)態(tài)幾何畫板GeoGebra演示，結(jié)論是各比值隨α變化而變化.再引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形的知識(shí)，探索發(fā)現(xiàn)：對(duì)于α的每一個(gè)確定的值，比值不變，再用動(dòng)態(tài)幾何畫板演示。

【設(shè)計(jì)意圖】從銳角三角函數(shù)類比到任意角的兩類8中情況，再歸納共性，得到任意角三角函數(shù)定義，即三角函數(shù)模型。

綜上探究，我們得到任意角三角函數(shù)的定義：?? 設(shè)在任意角α終邊上取一點(diǎn)P（x，y），，

比值叫做α的正弦，記作sinα，即;

比值叫做α的余弦，記作cosα，即;

比值叫做α的正切，記作tanα，即.

在比值存在的情況下，對(duì)角α的每一個(gè)確定的值，按照相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，角α的正弦、余弦、正切、都分別有唯一的比值與之對(duì)應(yīng)，它們都是以角α為自變量的函數(shù)，分別叫做正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)。

（四）例題講解，模型應(yīng)用

例 如圖，已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-3，4），求角α的三角函數(shù)值.

分析：，，，需求x、y、r，由題意知，x=-3，y=4，把x、y帶人即可求r.

解：由x=-3，y=4得，

，，.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)具體實(shí)例的講解，使學(xué)生進(jìn)一步對(duì)模型的理解。

（五）當(dāng)堂檢測(cè)，鞏固提升

已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-5，12），求角θ的三角函數(shù)值。

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的重要方法，如何將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用已有知識(shí)解決問(wèn)題是有難度的.通過(guò)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)，積累一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為數(shù)學(xué)建模打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以在一些常用的數(shù)學(xué)模型的教學(xué)中要精心設(shè)計(jì)，充分在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上構(gòu)建模型，利用信息化手段理解模型。

參考文獻(xiàn)：

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項(xiàng)目基金：2021年度廣西桂林農(nóng)業(yè)學(xué)校職業(yè)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目《基于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)培養(yǎng)的中職數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)研究》立項(xiàng)文（桂林農(nóng)校發(fā)【2021】3號(hào)）