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        “APOS”理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

        2021-10-17 06:59:31卞家海
        關(guān)鍵詞:APOS理論一元二次方程概念教學(xué)

        卞家海

        [摘 要]在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中,數(shù)學(xué)概念是基礎(chǔ)與重點(diǎn).把“APOS”理論運(yùn)用于數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,能夠引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程,提高教學(xué)效率.文章結(jié)合“一元二次方程”的教學(xué),對(duì)“APOS”理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了探索.

        [關(guān)鍵詞]APOS理論;概念教學(xué);一元二次方程

        [中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058(2021)29-0014-02

        著名教育學(xué)家杜賓斯在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程中,架構(gòu)了一種全新的理論模型——AOPS模型.這一模型的基本流程是“活動(dòng)階段—過程階段—對(duì)象階段—圖式階段”.在這四個(gè)階段中,其核心目標(biāo)就是創(chuàng)設(shè)良好的情境,使學(xué)生可以在這一過程中實(shí)現(xiàn)自覺發(fā)現(xiàn)、自主建構(gòu),準(zhǔn)確把握概念的特點(diǎn).這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程.APOS理論認(rèn)為,針對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程,實(shí)際上是學(xué)生的自我心理建構(gòu).在這一過程中,需要學(xué)生積極調(diào)整現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),或者將其與外部認(rèn)知結(jié)構(gòu)相融合,形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu),所以在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,需要教師及時(shí)恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo),使學(xué)生可以親歷思維過程,這樣才能夠在不斷建構(gòu)不斷反思的基礎(chǔ)上,對(duì)概念組成圖示,或者同化,或者順應(yīng).一方面是為了解決現(xiàn)實(shí)問題,而另一方面也是對(duì)當(dāng)前認(rèn)知結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步完善.APOS理論在教學(xué)數(shù)學(xué)概念的過程中具有科學(xué)性和實(shí)用性.下面結(jié)合“一元二次方程”概念的教學(xué)來論述APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的具體應(yīng)用.

        一、基于APOS理論的“一元二次方程”四階段教學(xué)設(shè)計(jì)

        (一)第一階段:活動(dòng)階段

        活動(dòng)1:一塊長(zhǎng)方形鐵皮面積為5 000平方厘米,其中長(zhǎng)為100厘米,列式求出其寬.(學(xué)生列出算式①)

        活動(dòng)2:在這塊鐵皮上的四角,各自切掉一個(gè)正方形,然后將凸出部分折起,由此形成一個(gè)無蓋方形鐵皮盒,假如所形成的鐵皮盒的底面積為3 600平方厘米,求所截去的正方形的邊長(zhǎng).

        針對(duì)這一環(huán)節(jié)可以借助視頻演示的方式帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)整體和打開的過程,引導(dǎo)列式.(學(xué)生列出算式②)

        活動(dòng)3:一座高2米的人體雕像,如果上下部分的高度比等于下部和全部之間的高度比,下部應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少米?

        借助多媒體將題目轉(zhuǎn)化為圖形,引導(dǎo)學(xué)生列出算式③.

        (二)第二階段:過程階段

        針對(duì)上述三個(gè)算式展開仔細(xì)觀察,發(fā)現(xiàn)其中的異同.此時(shí)教師引導(dǎo):判斷算式①是否屬于之前所學(xué)過的方程,由此喚醒學(xué)生的已知概念以及已有經(jīng)驗(yàn).在探尋異同點(diǎn)時(shí),類比一元一次方程的概念,就此探討其中包含幾個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是多少.

        組織學(xué)生討論,引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)在算式①中包含1個(gè)未知數(shù),最高次數(shù)為1,有等號(hào),由此可做出準(zhǔn)確判定.在算式②和③中,雖然都包含有一個(gè)未知數(shù),但是最高次數(shù)為2,有等號(hào),是方程.通過類比概念的方式,可以初步感知這是兩個(gè)一元二次方程,能夠就此掌握其所具有的三個(gè)基本屬性.

        (三)第三階段:對(duì)象階段

        如何使用數(shù)學(xué)語言對(duì)其進(jìn)行描述?顯然對(duì)于學(xué)生而言,這一問題相對(duì)抽象,也是教學(xué)實(shí)踐中的難點(diǎn).可以結(jié)合小組探討的方式,再將其與一元一次方程的描述進(jìn)行類比,完成對(duì)一元二次方程的概念界定.

        1.分組討論,理解概念

        小組1:根據(jù)算式②與③,將其中的數(shù)字替換成字母,由此得到[(a-bx)(c-dx)=m]或者[a-bx=cx?].很顯然,通過學(xué)生的這一回答,可以發(fā)現(xiàn)他們并沒有真正掌握一元二次方程的本質(zhì),因此不能借助本質(zhì)屬性完成對(duì)概念的數(shù)學(xué)描述.

        小組2:類比一元一次方程[ax+b=0],得出[ax2+bx=0],在這一過程中.有學(xué)生提出算式②與③與這一形式并不吻合,除了包含[ax2+bx]后面還增加了一個(gè)常數(shù),因此很多學(xué)生認(rèn)為不能不算是正確的一般式.

        小組3:在經(jīng)歷了之前兩組學(xué)生的展示之后,一部分思維能力較高的學(xué)生認(rèn)為,一元二次方程的一般形式應(yīng)當(dāng)為[ax2+bx+c=0].此時(shí)可以要求學(xué)生將算式②與③轉(zhuǎn)化為這一形式,然后說一說在這個(gè)一般式中包含了幾個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)又是多少,是不是方程.在充分考慮這些問題之后,很多學(xué)生都認(rèn)為這一表達(dá)是正確的,但是并未涉及其中是否存在限定條件.

        2.深入反思,深化概念

        問題1:a是否可以為0?

        如果a為0,這個(gè)方程就沒有了二次的項(xiàng).要牢記[a≠0]這一限制條件.

        問題2:b、c是否可以為0?

        再次強(qiáng)調(diào)一元二次方程的三個(gè)本質(zhì)屬性,此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn),b或者c可以為0,由此得到[ax2+bx=0],[ax2+c=0],這是其特殊式.

        問題3:等號(hào)可以換成大于號(hào)、小于號(hào)或者不等于號(hào)嗎?

        學(xué)生根據(jù)方程的定義能夠了解,只有等式才能稱為方程,所以“=”不能替代為其他符號(hào).此時(shí),教師可以對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展,如果轉(zhuǎn)換為其他符號(hào),所得到的式子稱為一元二次不等式.

        3.歸納總結(jié),內(nèi)化概念

        基于上述探究活動(dòng),促使學(xué)生進(jìn)行自主歸納.

        (1)只包含1個(gè)未知數(shù),其中未知數(shù)最高次數(shù)為2,二次項(xiàng)系數(shù)不為0,

        (2)一般情況下,對(duì)于任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,在經(jīng)過整理之后,能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為[ax2+bx+c=0(a≠0)],因此稱為一元二次方程的一般式.

        (四)第四階段“圖式階段”

        基于一元二次方程的概念組織學(xué)生進(jìn)行練習(xí).

        (1)將方程[5x(x-1)=4(x+2)]轉(zhuǎn)化為一般式.

        (2)方程[(2a-4)x2-2x+a=0],在怎樣的條件下為一元二次方程?在怎樣的條件下為一元一次方程?

        (3)一扇長(zhǎng)方形的門,高比寬長(zhǎng)六尺八寸.對(duì)角線為一丈,求高和寬各是多少?

        (4)根據(jù)方程[(16-2x)(10-2x)=112],聯(lián)系實(shí)際自主編寫一道應(yīng)用題.

        二、基于APOS理論的“一元二次方程”四階段教學(xué)反思

        在APOS理論的指導(dǎo)下,在教學(xué)“一元二次方程”這一概念的過程中,嚴(yán)格遵循四個(gè)階段組織概念教學(xué),既實(shí)現(xiàn)了循序漸進(jìn),也帶領(lǐng)學(xué)生親歷具體的概念形成過程,體驗(yàn)生動(dòng)多維的思維活動(dòng),深化對(duì)概念的認(rèn)知和了解,順利實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的建構(gòu).

        在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中,抽象是其中一個(gè)最為關(guān)鍵的特點(diǎn),形象化的表述方式更突顯了這一特質(zhì),所以對(duì)于師生而言都需要經(jīng)受抽象的考驗(yàn),如果不能有效解決這一問題,很顯然不能完全理解數(shù)學(xué)知識(shí),但是如果以此為由,抹去原本的現(xiàn)實(shí)背景,實(shí)際上這也是片面認(rèn)知.因此,不僅要為學(xué)生搭建良好的平臺(tái),使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)生以及發(fā)展過程,也應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)合理真實(shí)的情境,這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才不會(huì)僅停留于活動(dòng)層面,才不會(huì)放棄對(duì)抽象數(shù)學(xué)的追求,體會(huì)其獨(dú)有的美感.

        1.基于問題情境,設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)

        針對(duì)學(xué)生活動(dòng)的設(shè)計(jì),需要配以相應(yīng)的問題情境,而這一情境,既要能夠揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景,也要能夠展現(xiàn)具體的形成過程,更要能夠與學(xué)生現(xiàn)階段的學(xué)習(xí)水平以及心理建構(gòu)能力相吻合,只有學(xué)生在活動(dòng)過程中擁有充足的體驗(yàn),才能夠激發(fā)其主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣.

        2.關(guān)注概念形成,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

        在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中,數(shù)學(xué)思維方法是揭示知識(shí)產(chǎn)生的關(guān)鍵所在,同時(shí)也是促進(jìn)思維架構(gòu)概念的關(guān)鍵主線,需要教師基于學(xué)生的學(xué)習(xí)過程給予相應(yīng)的提示和建議,引導(dǎo)學(xué)生在總結(jié)中完成歸納,通過巧妙靈活的設(shè)計(jì)能夠就此激發(fā)學(xué)生的反思,使學(xué)生可以順利完成,由活動(dòng)、過程向?qū)ο筮@一階段的過渡.

        3.堅(jiān)持循序漸進(jìn),提升創(chuàng)新能力

        對(duì)于任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念而言,從過程發(fā)展到對(duì)象,其間需要經(jīng)過多次反復(fù),需要經(jīng)歷一個(gè)漫長(zhǎng)的循序漸進(jìn)的過程.在建立對(duì)象時(shí),必須要保障簡(jiǎn)練的語言形式以及符號(hào)表達(dá),這樣才有助于學(xué)生架構(gòu)直觀的結(jié)構(gòu)形象.當(dāng)然對(duì)于這一理論而言,也不需要在一堂概念教學(xué)中展現(xiàn)所有的階段,也并非需要經(jīng)歷所有階段.

        APOS理論是依托于數(shù)學(xué)概念而建構(gòu)的教學(xué)理論,基于教學(xué)實(shí)踐,讓我深刻地體會(huì)到自身角色以及任務(wù)的轉(zhuǎn)變.在這一過程中,教師不是獨(dú)奏者,也不是知識(shí)的傳授者,而是為學(xué)生搭建平臺(tái),引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn),主動(dòng)學(xué)習(xí),師生共建伙伴關(guān)系,能夠營造輕松愉悅的學(xué)習(xí)氛圍,能夠表達(dá)個(gè)性、放飛自我,從而促進(jìn)創(chuàng)新能力的進(jìn)一步提升.

        總之,基于教學(xué)本課的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),我深刻地體會(huì)到了教師這一身份的轉(zhuǎn)變,同時(shí)轉(zhuǎn)變的還有教學(xué)任務(wù),我們教師是學(xué)生學(xué)習(xí)平臺(tái)的搭建者,是學(xué)生思維的引領(lǐng)者,是學(xué)生學(xué)習(xí)的最佳伙伴.希望在教師的引領(lǐng)下,能夠營造愉悅的氛圍,能夠促使學(xué)生展現(xiàn)自我、發(fā)展個(gè)性,促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力進(jìn)一步提升.

        [? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

        [1]? 佟亮亮.APOS理論視角下數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的探究[D].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué),2013.

        [2]? 喬連全.APOS:一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論[J]. 全球教育展望,2001(3):16-18.

        [3]? 王學(xué)沛,李尚瑩.數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中實(shí)施素質(zhì)教育的問題及其解決[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2003(4):59-62.

        [4]? 劉兼,黃翔,張丹.數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2003.

        (責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān))

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