吳新軍 郭朕 潘冬

[摘 要]概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是本科經(jīng)濟管理專業(yè)學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課，是后續(xù)專業(yè)課程的理論基礎(chǔ)，本文以桂林理工大學(xué)南寧分校經(jīng)濟管理專業(yè)的學(xué)生為對象，首先分析了我校面向經(jīng)濟管理專業(yè)本科學(xué)生開設(shè)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程存在的問題，隨后針對這些問題進行了相應(yīng)的教學(xué)課程改革。

[關(guān)鍵詞]概率論與數(shù)理統(tǒng)計;經(jīng)濟管理類專業(yè);教學(xué)改革

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）10-0125-03

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是理工類本科院校學(xué)生的公共必修課程，尤其是經(jīng)濟管理類本科生必修的一門專業(yè)基礎(chǔ)課。課程一般開設(shè)在大二的第一學(xué)期，是數(shù)學(xué)類課程中的最后一門課程，是在掌握微積分內(nèi)容與線性代數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)上研究生活中隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門學(xué)科。該課程可以幫助學(xué)生運用概率論的相關(guān)知識在生活中甚至在所學(xué)的專業(yè)課程中建立數(shù)學(xué)模型，進而解決問題。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該以學(xué)生為中心，在學(xué)生掌握概率統(tǒng)計的基本方法和理論以后，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模方法解決生活中實際問題的能力。

一、教學(xué)中存在的問題

（一）學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差異

在我國，經(jīng)濟管理專業(yè)是文理兼收的專業(yè)，這就導(dǎo)致一個教學(xué)班中有部分學(xué)生是文科生源，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，部份學(xué)生在高中階段并沒有接觸到概率論與數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)知識，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)的過程中對數(shù)學(xué)類的課程有畏難情緒。概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程又涉及到微積分和線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識，學(xué)生會感覺到課程內(nèi)容復(fù)雜，理解困難。以第一章為例，在講授古典概型的過程中，理科的學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)過排列和組合的知識，并學(xué)習(xí)過古典概型的相關(guān)問題，在學(xué)習(xí)過程中并不覺得困難，甚至有的學(xué)生態(tài)度非常積極;但文科學(xué)生在高中階段對于這部分知識掌握不好的情況下，在學(xué)習(xí)條件概率、全概率公式和貝葉斯公式的過程中就會感覺難度很大。在教學(xué)過程中，如何解決一個教學(xué)班中出現(xiàn)文科理科學(xué)生的基礎(chǔ)差異就成了任課教師授課前優(yōu)先考慮的問題。

（二）課時壓縮嚴重

根據(jù)新的人才培養(yǎng)方案，以本校為例，概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程經(jīng)管類本科專業(yè)一個學(xué)期開設(shè)的課時僅有48課時。概率部分的教學(xué)內(nèi)容從事件關(guān)系一直到大數(shù)定律和中心極限定理，涉及到了一維與二維的離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量，以及數(shù)學(xué)期望、方差與協(xié)方差等相關(guān)內(nèi)容，知識點繁多并且涉及到了微積分與線性代數(shù)部分的相關(guān)知識點。教師為盡可能涉及到每部分的內(nèi)容，只能加快教學(xué)速度，就會導(dǎo)致在授課過程中有部分知識點講解不詳細，加上經(jīng)管類學(xué)生的基礎(chǔ)參差不齊，學(xué)生就會從想學(xué)演化成厭學(xué)。同時，因為課時限制，在課堂教學(xué)中僅僅能對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中定義、定理、性質(zhì)以及相關(guān)的例題進行講解，無法培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想和運用概率論知識解決實際問題的能力。

（三）教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)脫節(jié)

目前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程選用的教材是與一本和二本理工科院校的相同。這類的教材理論性強，內(nèi)容針對范圍廣泛，絕大多數(shù)的本科專業(yè)開設(shè)的概率論概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程都可以使用這類教材進行教學(xué)。教師在使用這類教材進行教學(xué)的過程中，注重基礎(chǔ)概念基本理論。但對于經(jīng)管類的學(xué)生而言，這類的教材內(nèi)容缺乏經(jīng)濟類的相關(guān)知識，在計量經(jīng)濟學(xué)、證券投資等經(jīng)濟管理類學(xué)生的后續(xù)專業(yè)課程仍需要運用概率論的知識，但在這類教材中體現(xiàn)很少。學(xué)生在學(xué)完課程以后，無法將所學(xué)的概率知識運用到相應(yīng)的專業(yè)學(xué)科中。

（四）教學(xué)方法和教學(xué)手段單一

現(xiàn)在學(xué)校的課堂教學(xué)仍然采用傳統(tǒng)講授法教學(xué)方式，教師講解書上定義定理性質(zhì)和的例題，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對定義定理產(chǎn)生的客觀背景不甚了解，更難以發(fā)現(xiàn)定理的思維過程。整個教學(xué)過程中缺乏問題背景教學(xué)。在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，教師仍采用黑板粉筆加多媒體課件，沒有在課堂中運用合理的教學(xué)軟件來進行輔助教學(xué)，整個教學(xué)過程枯燥，難以吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)改革的幾點嘗試

針對以上的一些問題，筆者在所在院校經(jīng)管專業(yè)對其課堂教學(xué)進行了改革，效果良好。

（一）重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容

在經(jīng)管類專業(yè)的教學(xué)中，為了兼顧文理生同在的情況，在完成課程教學(xué)大綱的前提下，重構(gòu)課堂教學(xué)內(nèi)容，擺脫重理論輕應(yīng)用的教學(xué)觀念，多引入與概率論相關(guān)的簡單案例，使文科生可以跟上教學(xué)進度并能通過案例分析掌握課程的基本知識和基本理論。同樣理科生也不會覺得課程太過簡單無聊，對課程始終保有新鮮感。因此，在課堂教學(xué)開始前，應(yīng)提前了解授課班級情況，如文理生的比例，高考數(shù)學(xué)成績等，制定教學(xué)計劃和教學(xué)內(nèi)容。例如在講解事件關(guān)系的運算時，可以引入商品暢銷與滯銷的案例“A表示事件‘甲種商品暢銷，乙種商品滯銷，則其對立事件為（ ）”，讓文科出身的同學(xué)來尋找答案，讓理科出身的同學(xué)來解釋原因。并注重應(yīng)用案例的簡易性，使文科生可以通過案例解答，理解掌握事件關(guān)系運算的知識點，不要從文字字面理解來解釋問題，而是要運用概率論的基本理論自主解決相應(yīng)的案例。文科生可以通過解決問題而對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)習(xí)動機;理科生則通過解決問題來思考解決問題運用的原理，對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程保持求知興趣。同時，將概率的理論與方法和計算機軟件運用相結(jié)合來解決生活中的實際問題。

概率統(tǒng)計本身就是在生活中應(yīng)用廣泛的學(xué)科，因此在課堂教學(xué)中，教師在講解基本概念和基本理論的同時，應(yīng)重視概率統(tǒng)計理論中的實際背景，在講授理論的同時增加理論的背景運用。如在講授等可能概型時引入福利彩票中獎問題，以福彩雙色球和福彩3D對比，運用軟件分析兩類彩票中一等獎的概率。不僅讓文科學(xué)生復(fù)習(xí)了排列與組合的概念，又讓理科學(xué)生熟悉了計算方法，并且運用軟件計算簡化了學(xué)生的計算步驟，使學(xué)生對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程始終保持新鮮感。

把數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)課程，是現(xiàn)如今大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的一個重要方向。概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程就是以解決生活中的實際問題出發(fā)，通過數(shù)學(xué)建模的方法，運用數(shù)學(xué)原理來分析和解決問題，學(xué)會合理的建立數(shù)學(xué)模型在教學(xué)中就變得尤其重要。在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中經(jīng)常有涉及經(jīng)管類專業(yè)的題目，比如2020年的C題“中小微企業(yè)的信貸決策”，2017年的B題“牌照賺錢的任務(wù)定價”，以及2002年的B題“彩票中的數(shù)學(xué)”等。這需要參賽學(xué)生有一定的概率統(tǒng)計知識并對相應(yīng)的經(jīng)濟管理專業(yè)知識有一定的了解，將概率統(tǒng)計知識與專業(yè)知識融合，運用數(shù)學(xué)建模的思想，對題目中的數(shù)據(jù)進行分析并給出相應(yīng)合理的方案。所以在日常教學(xué)過程中，應(yīng)該注重學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)，將數(shù)學(xué)建模問題引入到課程中讓學(xué)生參與及討論，鍛煉學(xué)生運用概率論知識解決實際問題的能力。

（二）改變教學(xué)方法

根據(jù)我校實際情況，概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程實際課時較少，經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，可以在簡化基礎(chǔ)理論的同時，運用信息化技術(shù)開展多元化的課堂教學(xué)。通過數(shù)學(xué)軟件來簡化概率論中繁瑣的計算，運用數(shù)學(xué)軟件的數(shù)學(xué)運算、分析和圖像展現(xiàn)的特點，讓概率論中抽象的案例以具象化的形式得以展示。并且因為數(shù)學(xué)軟件的運用，讓文科生擺脫煩瑣的數(shù)學(xué)計算，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如運用SPSS軟件求解隨機變量的分布函數(shù)，不僅簡化了計算過程，也讓學(xué)生了解到SPSS軟件的實用性。將傳統(tǒng)教學(xué)和實驗教學(xué)相結(jié)合，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。

在課堂中引入實驗。設(shè)計合適的案例，通過對案例進行實驗，讓學(xué)生切身體驗，對概率的基本概念和基本理論有形象的理解。例如在講解概率的基本定義時，如果按照教材直接講解定義，只是一段文字性的描述：“在大量重復(fù)試驗中，若事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一個常數(shù)p附近擺動，則稱該常數(shù)p為事件A的概率?！倍x中出現(xiàn)了頻率這個名詞，僅僅通過文字的描述學(xué)生無法理解如何用頻率來定義概率。教材中運用蒲豐和皮爾遜等人投擲硬幣的實驗結(jié)果來解釋頻率與概率之間的關(guān)系，但以表格形式的展示學(xué)生沒有切身體驗，理解不夠深刻。因此，引入拋硬幣模擬軟件，在課堂上模擬演示拋硬幣過程，由學(xué)生設(shè)計實驗次數(shù)，節(jié)省了在課堂上親自動手實驗所需要的時間，又增加了學(xué)生的互動，通過實驗讓學(xué)生切身體會到頻率與概率之間的聯(lián)系。

在課堂中通過學(xué)生身邊真實的案例引入新理論。例如以2020年新冠肺炎為例。新冠肺炎是冠狀病毒感染引發(fā)的肺部疾病，患者以發(fā)熱、乏力、干咳為主要表現(xiàn)癥狀，那是否發(fā)熱就意味著已經(jīng)感染新型冠狀病毒呢？通過問題導(dǎo)入，讓同學(xué)們用概率的知識來解答這個問題，進而引入全概率公式和貝葉斯公式。這樣不僅可以讓學(xué)生對兩個公式的印象深刻，同時也可以運用計算結(jié)果向同學(xué)們說明：即使發(fā)燒也有很大的概率沒有感染到新冠病毒。在以后遇到類似的問題的時候，可以不必過分緊張，認真進行復(fù)查，積極面對疾病。

（三）課堂教學(xué)案例的呈現(xiàn)

第一個系統(tǒng)描述概率的人是16世紀的Cardano，他發(fā)表的《論賭博游戲》被認為是第一部概率論著作。里面的文章有很多都是給賭徒的建議，如《誰，在什么時候應(yīng)該賭博》《為什么亞里士多德譴責賭博》等。然而，首次系統(tǒng)研究概率問題的是從帕斯卡和費馬通信開始的。最初，由法國作家Antoine Gombaud提出了一個問題：假設(shè)有2個玩家同意參加一定數(shù)量的游戲，例如11局6勝制，并且在游戲完成之前被打斷。若一個人贏了5場比賽，另一個人贏了4場比賽，這時要如何分配賭注？他委托了Mersenne沙龍來解決它，帕斯卡和費馬接受了挑戰(zhàn)。在帕斯卡與費馬的通信中，解決了這個問題，于是人們公認他們解決的“點數(shù)問題”標志著概率論這門學(xué)課的誕生，并把他們通訊的那一天——1654年7月29日定為概率論的誕生日。

在帕斯卡和費馬的通信中，兩個人分別采用了不同的方法來解決這個問題。在1657年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯在帕斯卡與費馬工作的基礎(chǔ)上，引入了數(shù)學(xué)期望的概念，更合理的解釋了這個問題。

我們來分析帕斯卡的做法。他優(yōu)先考慮了簡單的題目，一個5局3勝制的游戲。假設(shè)甲乙兩個賭徒各有32枚金幣拿來做賭注，這時游戲已經(jīng)進行3局，甲賭徒已經(jīng)勝了2局，乙賭徒勝了1局。那么，如果繼續(xù)比下去，而甲賭徒又勝了1局，那么甲賭徒就可以獲得全部的64枚金幣;但若是乙賭徒獲勝，則雙方各自贏得2局，打成平手，那么游戲在這時結(jié)束，雙方只能各自拿回自己的32枚金幣。如果雙方不打算進行第4局，僅依據(jù)3局的結(jié)果來分配賭金的話，甲賭徒認為如果進行第4局的話，即使輸?shù)粢仓皇请p方平分賭金，至少也能獲得32枚金幣，那么剩下的32枚金幣雙方應(yīng)該都有機會得到。因此帕斯卡認為應(yīng)該是在甲賭徒自己獲得32枚金幣的基礎(chǔ)上再和乙賭徒平分剩下的32枚金幣，即甲賭徒獲得48枚金幣，乙賭徒獲得16枚金幣。如果這時游戲僅進行了2局，甲賭徒贏了2局而乙賭徒?jīng)]贏過，如果繼續(xù)進行第3局，而甲賭徒贏了將獲得全部的64枚金幣;如果乙賭徒贏了，又是之前剛剛討論過的甲贏2局乙贏1局的結(jié)果。如果雙方不打算繼續(xù)進行第3局的比賽的話，那么這時帕斯卡認為甲賭徒應(yīng)該先獲得48枚金幣以后，再和乙賭徒平分剩下的16枚金幣，這時甲賭徒獲得56枚金幣，乙賭徒獲得8枚金幣。繼續(xù)推理的話，如果甲賭徒贏了1局而乙賭徒1局沒贏，繼續(xù)第2局的話，如果甲賭徒贏了，情況與上述問題相同;如果甲賭徒輸了，則二人平分賭金。帕斯卡認為，如果從第2局就終止比賽的話，這時應(yīng)該從56枚金幣中減去甲賭徒已經(jīng)贏得的32枚金幣，將剩余的24枚金幣二人再次平分，這時甲賭徒應(yīng)該獲得44枚金幣，乙賭徒獲得20枚金幣。所以，根據(jù)這種推斷，可以得出，如果甲賭徒贏了第1局，將從乙賭徒的賭金中贏得12枚金幣;如果再贏1局，將再次從乙賭徒處贏得12枚金幣;如果贏得3局，將贏得乙賭徒手中最后的8枚硬幣。帕斯卡運用這個方法，來解決最開始的問題：如果甲賭徒贏了5次，乙賭徒贏了4次的話，這時終止比賽，甲賭徒獲得的金幣數(shù)應(yīng)該就是32+16=48枚金幣。這個方法雖然繁瑣，但是條理清晰，在學(xué)習(xí)概率的初期，通過歷史故事提出問題，并讓學(xué)生自行思考解決問題，可以更好的提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

在后續(xù)的課程中，可以繼續(xù)用這個案例加以解釋二項分布公式，向?qū)W生呈現(xiàn)概率的發(fā)展歷史。因為甲乙兩名賭徒獲勝的機會是相等的，可以用拋硬幣來替代比賽。拋擲一枚硬幣，連續(xù)拋6次，屬于貝努利試驗。因為甲賭徒已經(jīng)贏了5次，乙賭徒贏了4次，只需要再擲兩次硬幣，只要至少有一次出現(xiàn)正面則甲賭徒可以獲勝。設(shè)隨機變量X表示2次中正面出現(xiàn)的次數(shù)，那么X服從二項分布B（2;[12]），即[PX=k=Ck212k（12）2-k]，（k=0，1，2）根據(jù)甲賭徒已經(jīng)贏了5次，我們可以判定：甲賭徒在接下來的2次拋硬幣的過程中，只要出現(xiàn)1次正面或者是2次都是正面的情況，則甲賭徒贏得整個比賽。由此我們可以計算得[PX=k=k=12Ck212k（12）2-k=34]，即這時如果終止比賽的話，甲乙兩名賭徒應(yīng)該按照3：1的比例來分配整個賭金，即甲賭徒分得48枚金幣，乙賭徒分得16枚金幣。這種方法計算的結(jié)果與上一種算術(shù)的辦法得到的結(jié)果相同，但是這種方法是運用數(shù)學(xué)公式演繹推導(dǎo)得出的，更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯嚴謹性。運用這種方法解釋同樣的問題，不僅能讓學(xué)生領(lǐng)會公式的用途，更能讓學(xué)生體會到概率論的發(fā)展歷程。

在講解數(shù)學(xué)期望的時候，仍可以繼續(xù)采用這個案例來進行講解。我們已知在接下來的賭局中甲乙兩名賭徒獲勝的概率是相等的，在甲賭徒贏了5局，乙賭徒贏了4局的前提下，如果下一局是甲賭徒贏，則他可以獲得全部的64枚金幣，而甲賭徒輸?shù)舻脑拕t只能獲得自己的32枚金幣。因為甲賭徒贏和輸?shù)母怕矢鳛閇12]，則甲賭徒希望獲得的賭金為：[64×12+32×12=48]枚金幣。顯然，通過數(shù)學(xué)期望的定義，我們可以更快的計算出結(jié)果。

運用三種不同的方法，我們可以得到相同的結(jié)論，而且讓學(xué)生們跟隨數(shù)學(xué)家的思維去思考問題，讓學(xué)生了解到概率論的歷史，并從歷史的角度將案例和知識潛移默化的傳授給學(xué)生。

三、結(jié)束語

我校的概率論數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)改革，本著以社會需求為導(dǎo)向，以學(xué)生全面發(fā)展為根本任務(wù)，以培養(yǎng)學(xué)生能力為本位，以經(jīng)管專業(yè)學(xué)生的學(xué)生特色為切入點，改革教學(xué)方法，培養(yǎng)高素質(zhì)技術(shù)應(yīng)用人才。希望通過此次教學(xué)改革，讓經(jīng)濟管理專業(yè)的學(xué)生對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程產(chǎn)生興趣，通過學(xué)習(xí)本門課程掌握基本的概率知識和建模方法，將其運用到后續(xù)所學(xué)的專業(yè)課程中，為國家和社會培養(yǎng)專業(yè)的經(jīng)濟管理類人才。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 高躍偉，令狐雨薇.案例教學(xué)法應(yīng)用于概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)的探索性研究：以師范類高校課教學(xué)為例[J].貴州師范學(xué)院學(xué)報，2017（9）：64-69.

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[責任編輯：林志恒]

[收稿時間]2020-06-15

[基金項目]桂林理工大學(xué)校級教學(xué)改革項目（項目編號：2017B56）。廣西職業(yè)教育教學(xué)改革研究項目（項目編號：GXGZJG2020B153）。

[作者簡介]吳新軍（1965-），女，湖北宜昌人，本科，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)。郭聯(lián)（1985-），男，黑龍江人，博士研究生，研究方向：工商管理。通信作者信息：潘冬（1983-），男，黑龍江人，碩士研究生，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。