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        教材中一道課后習(xí)題的“開枝散葉”

        2021-10-11 02:51:58許紅沙
        天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年4期
        關(guān)鍵詞:北師大版課后習(xí)題變式

        許紅沙

        摘 要:筆者對北師版九年級上冊《正方形的性質(zhì)與判定》兩道課后習(xí)題進(jìn)行分析、變式和總結(jié)歸納,旨在教學(xué)工作中培養(yǎng)自己鉆研教材、潛心分析的能力,以提升教學(xué)專業(yè)能力。

        關(guān)鍵詞:教材;北師大版;初中數(shù)學(xué);課后習(xí)題;變式

        數(shù)學(xué)教科書是數(shù)學(xué)教師進(jìn)行教學(xué)的重要載體,是師生之間的紐帶,教師對教科書的使用水平直接影響著教師教學(xué)的質(zhì)量和學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。[1]

        一、兩道教材母題

        【母題1】(第22頁第4題)在一個正方形的花壇上,欲修建兩條直的小路,使得兩條直的小路將花壇分成大小、形狀完全相同的四部分(不考慮道路的寬度).你有幾種方法?(至少三種)

        在已有知識基礎(chǔ)上,學(xué)生能夠想到由正方形兩條對角線或者正方形對邊的中垂線可以達(dá)成題目要求。如下圖:

        題中要求至少給出三種方法,教師要引導(dǎo)學(xué)生找出第三種或更多方法。結(jié)合上述兩種方法,教師可以啟發(fā)學(xué)生找共同點——兩條線都過正方形中心且互相垂直,那么任意兩條交于正方形中心、互相垂直的直線能否把正方形分成大小、面積相等的四部分?可以讓學(xué)生嘗試進(jìn)行推理、驗證,充分發(fā)揮教師主導(dǎo)作用、學(xué)生主體作用。本題有助于學(xué)生更好地認(rèn)識正方形對的對稱性。

        去掉“兩條直的小路”條件,分割方法還可一般化:過對稱中心與正方形邊上一點的任意一條線,繞對稱中心按同一方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)三次,每次旋轉(zhuǎn)90°,這四條線將正方形分成大小、形狀完全相同的四部分。

        【母題2】(第41頁第4題)如圖,正方形ABCD對角線交于點O,正方形A`B`C`O與正方形ABCD邊長相等。在正方形A`B`C`O繞點O旋轉(zhuǎn)過程中,兩個正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有何關(guān)系?

        在課堂上要給足學(xué)生證明這一猜想的時間。結(jié)合學(xué)生的思維特點,進(jìn)行相應(yīng)的引導(dǎo)。

        正方形既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形,它的中心在內(nèi)角的角平分線上,在中心處也有直角的形成(∠AOB=∠BOC =∠COD=∠AOD=90°)。方法一:點O在∠ABC的平分線上,自然聯(lián)想到角平分線上的點到角兩邊的距離相等:

        方法二:

        兩題在方法上是共通的。教師在循循善誘、步步深入解決母題1的前提下,母題2的解決就易如反掌;在授課時,也可以先解決母題2的問題,然后弱化條件,提煉本質(zhì),帶著母題2的啟發(fā)再去解決母題1的問題。

        兩題考查的是正方形的性質(zhì)與判定。母題1放在課后練習(xí)中的“問題解決”部分,既是回歸生活實際的體現(xiàn),對學(xué)生問題解決能力要求也比較高,母題2放在課后練習(xí)中的“聯(lián)系拓廣”,有一定的難度。

        兩題解決過程滲透了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

        二、母題變式

        1.變條件

        將“正方形A`B`C`O與正方形ABCD的邊長相等”改成

        ①“等腰直角三角形A`C`O”

        ②“直角三角形A`C`O”

        ③“矩形A`B`C`O與矩形ABCD的長寬分別相等”

        ④“菱形A`B`C`O與菱形ABCD的邊長相等”

        以上結(jié)論是否變化?

        一步步弱化條件、探究結(jié)論是否變化的過程中,更容易清楚問題的本質(zhì)。無論是變式①還是變式②,母題2中的全等依然成立,仍可將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為原正方形面積的四分之一。但是變式③和④(題中矩形或菱形非正方形),則顯然不成立。也就發(fā)現(xiàn),問題解決的關(guān)鍵是全等,實現(xiàn)面積轉(zhuǎn)化。

        三、變化中的“關(guān)鍵”

        在母題和變式中,求面積關(guān)系、線段關(guān)系,又或者是涉及特殊位置、最值問題,可以發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵在于實現(xiàn)量的轉(zhuǎn)化。而量的轉(zhuǎn)化依托的是三角形的全等。所以解決此類問題的關(guān)鍵就是找全等、轉(zhuǎn)化關(guān)系。即變式時,減弱條件、結(jié)論成立的前提是全等的成立。

        參考文獻(xiàn):

        [1]呂雅雅. 初中數(shù)學(xué)教師教科書使用水平現(xiàn)狀及提高策略研究[D].西北師范大學(xué),2020.

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