楊璧華 文尚平

【摘 要】基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)實(shí)施，主要包括教學(xué)原則、教學(xué)模式和教學(xué)設(shè)計(jì)三大實(shí)施策略，而基于問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)當(dāng)以創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境、提出數(shù)學(xué)問題、開展數(shù)學(xué)對(duì)話為主要手段，以鍛煉和提升數(shù)學(xué)思維能力、方法技能為根本任務(wù)，以學(xué)會(huì)提出問題、分析問題、解決問題，最終實(shí)現(xiàn)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為基本目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】問題解決;數(shù)量積;二輪復(fù)習(xí);教學(xué)設(shè)計(jì)

【作者簡(jiǎn)介】楊璧華，一級(jí)教師;文尚平，高級(jí)教師，南寧市學(xué)科帶頭人，廣西基礎(chǔ)教育名師青藍(lán)工程培養(yǎng)對(duì)象。

【基金項(xiàng)目】2021年廣西“十四五”教育科學(xué)規(guī)劃B類重點(diǎn)課題“基于核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)‘學(xué)、教、評(píng)一致性教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐研究”（2021B200）

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》提出的課程建設(shè)目標(biāo)是通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”），提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”）[1]。數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為，問題是數(shù)學(xué)的心臟，波利亞則把數(shù)學(xué)當(dāng)成是一門問題解決的學(xué)科，并把問題解決作為數(shù)學(xué)教學(xué)的焦點(diǎn)?？梢?，解決問題的教學(xué)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，圍繞問題解決而開展的探究學(xué)習(xí)，既是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種理念、策略和方法，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種基本組織形式。所以，圍繞問題解決而展開的教學(xué)設(shè)計(jì)，既需要數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論、數(shù)學(xué)教學(xué)論的理論基礎(chǔ)，又需要運(yùn)用系統(tǒng)方法分析數(shù)學(xué)問題，確定數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)解決數(shù)學(xué)教學(xué)問題的策略方案、試行方案、評(píng)價(jià)試行結(jié)果和修改方案[2]。

基于問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)一般需要關(guān)注四個(gè)問題：①我們要到哪里去？（教學(xué)目標(biāo)的設(shè)立）;②我們?nèi)绾未_保才能到達(dá)那里？（教學(xué)任務(wù)的分析）;③我們?cè)趺吹竭_(dá)那里？（教學(xué)策略的實(shí)施）;④我們?cè)趺粗酪呀?jīng)到達(dá)那里？（教學(xué)評(píng)價(jià)的反饋），如圖1所示。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，從實(shí)施教學(xué)分析，擬訂教學(xué)目標(biāo)，到開發(fā)教學(xué)策略，再到組織實(shí)施教學(xué)評(píng)價(jià)，實(shí)際上就是教學(xué)主體的內(nèi)外部條件和教學(xué)事件的系統(tǒng)化問題。因此，基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)，需要教師根據(jù)不同的學(xué)習(xí)結(jié)果，創(chuàng)設(shè)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)部條件并安排相應(yīng)的學(xué)習(xí)外部條件。筆者以“平面向量的數(shù)量積”復(fù)習(xí)課教學(xué)為例，探索關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐。

二、教學(xué)分析

1.教材分析

平面向量的數(shù)量積涵蓋了幾何、代數(shù)及三角函數(shù)三大板塊的主干知識(shí)，背景知識(shí)豐富。筆者通過對(duì)近5年高考數(shù)學(xué)全國(guó)課標(biāo)卷試題的研究發(fā)現(xiàn)，課標(biāo)卷中平面向量的考查題型基本以客觀題為主，內(nèi)容以平面向量的基本定理的應(yīng)用，數(shù)量積（范圍）的求解，模長(zhǎng)、夾角的計(jì)算為主，解法上弱化解題技巧而注重通性通法。常與函數(shù)的構(gòu)造、三角函數(shù)范圍、不等式與最值、解析幾何與平面幾何、立體幾何空間角等內(nèi)容進(jìn)行考查，體現(xiàn)平面向量的工具性和應(yīng)用性，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、綜合分析解決問題的能力（如圖2）?；谄矫嫦蛄繑?shù)量積的復(fù)習(xí)，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注求夾角、求模、求數(shù)量積三個(gè)小問題解決過程中的知識(shí)要求、運(yùn)算要求、推理要求及邏輯思維的要求。所以，弄清楚問題解決作為一種學(xué)習(xí)結(jié)果，方可為安排相應(yīng)的學(xué)習(xí)外部條件提供科學(xué)依據(jù)。

2.教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)問題解決教學(xué)的課型特征設(shè)立教學(xué)目標(biāo)，并將目標(biāo)細(xì)化為一系列子目標(biāo)。因此，平面向量的數(shù)量積復(fù)習(xí)應(yīng)該以問題解決作為教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）通過題組訓(xùn)練，使學(xué)生掌握數(shù)量積、夾角等概念，并掌握數(shù)量積的運(yùn)算公式、運(yùn)算法則、運(yùn)算方法。

（2）通過考查問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的意識(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)化求解數(shù)量積的基本策略和方法。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)關(guān)聯(lián)并實(shí)施運(yùn)用基底法、坐標(biāo)法求解平面向量數(shù)量積，并在學(xué)習(xí)過程中并通過問題變式，層層深入，使學(xué)生掌握并能熟練運(yùn)用這兩個(gè)方法。

（3）通過課堂交流，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)聆聽、學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)交流的能力。

3.教學(xué)重難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)習(xí)并掌握定義法、基底法、坐標(biāo)法求解數(shù)量積，并在此基礎(chǔ)上拓展極化恒等式及應(yīng)用。

（2）教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用求解平面向量的數(shù)量積的方法。

根據(jù)問題解決教學(xué)習(xí)得知識(shí)的過程和條件設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)的外部條件，明確如何到那里。所以，教學(xué)設(shè)計(jì)中的重難點(diǎn)設(shè)立應(yīng)遵循“一明一暗”（知識(shí)與方法）兩條線的原則。本節(jié)課的“明線”是向量數(shù)量積問題解決的結(jié)構(gòu)知識(shí)，“暗線”是數(shù)量積問題解決的思想方法。問題的設(shè)計(jì)也是由具體知識(shí)到解決問題工具，再到解決問題思想方法，梯度式地發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

4.教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)

（1）教學(xué)設(shè)計(jì)中，問題的設(shè)計(jì)、生成與變式，是追求有效教學(xué)的重要因素，數(shù)量積求解過程中，需要對(duì)照教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，確定是否已經(jīng)到達(dá)那里。

（2）向量具有良好的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)量積可以使圖形中的夾角運(yùn)算、距離運(yùn)算有效地轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，所以教學(xué)設(shè)計(jì)必需先解決知識(shí)的上下位關(guān)系，同時(shí)需要解決向量運(yùn)算所蘊(yùn)含的思想方法的提煉、開發(fā)和實(shí)施評(píng)價(jià)，以確定我們?cè)趺粗酪呀?jīng)到達(dá)那里。

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一：基于課型特征，解決要到哪里去的問題

通過教學(xué)前測(cè)，了解學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)量積知識(shí)的掌握情況，并通過限時(shí)訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

課前小測(cè)（5分鐘）

【設(shè)計(jì)意圖】基于問題解決視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)，需要回答的第一個(gè)問題是：我們要到哪里去？即教學(xué)目標(biāo)是什么？問題解決的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該具有“導(dǎo)教、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)測(cè)評(píng)”的功能，通過課前測(cè)試，實(shí)施教學(xué)分析，以確定我們要到哪里去，并為課堂活動(dòng)的實(shí)施做好鋪墊，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)，帶著問題進(jìn)行學(xué)習(xí)。

環(huán)節(jié)二：設(shè)置問題解決的學(xué)習(xí)目標(biāo)并進(jìn)行任務(wù)分析，解決確保能到那里去的問題

解決到哪里去的問題，首先，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用外顯的行為動(dòng)作與內(nèi)部心理過程相結(jié)合的方式進(jìn)行任務(wù)分析，讓學(xué)生明確到哪里去。

師：時(shí)間到，請(qǐng)5題都做了的同學(xué)舉手，請(qǐng)5題都做對(duì)的同學(xué)舉手。

師：你做對(duì)了哪幾題？有什么體會(huì)？你是因?yàn)槭裁丛蝈e(cuò)了這一題？錯(cuò)在哪里？

由于前面已經(jīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)了平面向量數(shù)量積的定義，以及夾角、模的求解等知識(shí)，學(xué)生基本可以熟練地運(yùn)用定義法、投影法、基底法、坐標(biāo)法等基本方法求數(shù)量積，初步掌握了研究向量問題的基本思想和方法。設(shè)計(jì)課前小測(cè)，是為本節(jié)課新問題的復(fù)習(xí)與探究熱身。第1題意在鞏固平面向量數(shù)量積的定義，第2題揭示了模與夾角的運(yùn)算離不開數(shù)量積的求解，第3題意在讓學(xué)生體會(huì)求數(shù)量積常用的幾種方法，第4題意在考查向量數(shù)量積小于0與向量夾角為鈍角并非等價(jià)關(guān)系，第5題意在鞏固向量運(yùn)算法則與基底轉(zhuǎn)化法。

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用學(xué)習(xí)結(jié)果分類理論，將學(xué)習(xí)目標(biāo)細(xì)化為一系列子目標(biāo)，提示學(xué)生回憶先決知識(shí)技能。通過師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，歸納出數(shù)量積求解公式的五種形式、四種方法，以及與之相關(guān)的上下位知識(shí)，這既是平面向量數(shù)量積復(fù)習(xí)課教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的一部分，也是問題解決視角下背景分析、路徑探究的重要環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)三：設(shè)計(jì)問題解決教學(xué)事件，解決如何到那里的問題

解決如何到那里的問題，需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中呈現(xiàn)設(shè)計(jì)的樣例，樣例要有針對(duì)性、互補(bǔ)性，才能有效促進(jìn)問題的解決。

例1 如圖4，在正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則AC·AE的值___________。

【設(shè)計(jì)意圖】基于問題解決視角的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，教師需關(guān)注以下問題：我們?nèi)绾蔚竭_(dá)那里？即教學(xué)策略是什么？通過開發(fā)有效的教學(xué)策略，以確定我們?nèi)绾蔚竭_(dá)那里。向量數(shù)量積問題的求解，需要掌握最基本、最常用的三大形式（定義式、基底式、坐標(biāo)式），這是確保教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的基本環(huán)節(jié)。

平面向量的最值問題通常需要找到合適的變量，例2的設(shè)計(jì)意在引導(dǎo)學(xué)生尋找到已知變量和未知變量之間的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)量積求解方法的理解。

師：結(jié)合我們剛才歸納的方法，對(duì)于例2，同學(xué)們會(huì)選擇什么方法求解呢？

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，展現(xiàn)以下三種解題方法。

通過以上三種解法，學(xué)生總結(jié)出以下解題規(guī)律。

（1）當(dāng)兩個(gè)向量共線反向時(shí)，數(shù)量積達(dá)到最小值;當(dāng)共線同向時(shí)，數(shù)量積達(dá)到最大值。

課堂教學(xué)，功在預(yù)設(shè)，貴在生成。根據(jù)課堂中學(xué)生的實(shí)際情況，教師應(yīng)及時(shí)作出教學(xué)調(diào)整，提供反饋與糾正。關(guān)于平面向量數(shù)量積的考查，除了考查概念、公式等基礎(chǔ)知識(shí)，還要考查相關(guān)的基本技能與方法，而結(jié)構(gòu)不良條件下的數(shù)量積求解，需要學(xué)生具備合理的轉(zhuǎn)化與劃歸能力。筆者根據(jù)學(xué)生學(xué)情，設(shè)計(jì)了以下例題及變式。

【設(shè)計(jì)意圖】考查問題及變式，意在活學(xué)活用。極化恒等式的優(yōu)點(diǎn)是方便利用已知條件，用整體、方程、化歸思想把復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)問題。學(xué)生在利用前面掌握的方法求解例3時(shí)，由于很難處理?xiàng)l件中的夾角、模、基底之間的相互關(guān)系，因此解題思維受阻。這時(shí)，就需要突破原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，探索新的方法。

【設(shè)計(jì)意圖】提升學(xué)生的運(yùn)算能力，關(guān)鍵在于幫助學(xué)生提升算法與算理的能力。平面向量數(shù)量積求解中的動(dòng)態(tài)問題，如果只從幾何圖形要素“邊、角、面積”出發(fā)，受知識(shí)結(jié)構(gòu)的影響，學(xué)生分析問題的思維一般會(huì)受阻。而如果從幾何問題代數(shù)化的角度考慮，使運(yùn)算最終落在函數(shù)的圖象與性質(zhì)上，此時(shí)從平面圖形的基本特征出發(fā)，建立直角坐標(biāo)系，可以幫助學(xué)生有效解決平面向量數(shù)量積動(dòng)態(tài)問題。

環(huán)節(jié)四：分析問題解決教學(xué)的課型特征，解決確定是否已經(jīng)到那里的問題

課堂教學(xué)是否已經(jīng)達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，學(xué)生是否已經(jīng)掌握了本節(jié)課的基本知識(shí)、基本技能、基本方法，教師可以通過歸納總結(jié)、對(duì)話交流等形式，進(jìn)行檢查遷移。

基于考查問題的主線，本節(jié)課按“考查問題——小問題——具體問題”展開，規(guī)律如圖9所示。

平面向量考查關(guān)鍵問題的試題一般遵循以下三個(gè)維度的命題原則：能力立意（維度一）、情境（維度二）、設(shè)問（維度三）?；谏鲜鋈齻€(gè)維度，我們歸納如下。

1.求解平面向量數(shù)量積的小題題型結(jié)構(gòu)（題胚）

已知：向量（三角形、四邊形）的模長(zhǎng)（與模有關(guān)的等式）、夾角、點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）、坐標(biāo)。

求：某兩個(gè)向量的數(shù)量積的值（范圍）。

2.基于關(guān)鍵考查問題的變式

從問題表征角度歸納總結(jié)向量數(shù)量積考查問題的題型結(jié)構(gòu)（題胚），并從問題變式角度歸納總結(jié)向量數(shù)量積問題的考查本質(zhì)特點(diǎn)，目的是歸納解題的一般方法，獲得解決此類問題的規(guī)律。（1）條件變式：變換平面圖形，恒等式結(jié)構(gòu)，使得運(yùn)用數(shù)量積公式時(shí)能夠準(zhǔn)確選擇合適的求解公式。（2）結(jié)論變式：根據(jù)條件求數(shù)量積的值或范圍。

【設(shè)計(jì)意圖】從問題解決的視角進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，不應(yīng)該只是側(cè)重于解決常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，還應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生在給定的情境中提出問題或者通過修改原問題的條件創(chuàng)設(shè)新的問題。

四、教學(xué)反思

學(xué)起于思，思起于疑。問題既是學(xué)生思維的起點(diǎn)也是學(xué)生思維的動(dòng)力源泉，既是教學(xué)策略也是教學(xué)組織的基本形式。所以，教師在理解好教學(xué)內(nèi)容、明確好教學(xué)目標(biāo)、把握好內(nèi)容本質(zhì)的基礎(chǔ)上，要提出并設(shè)計(jì)合適的、遞進(jìn)式的問題，引導(dǎo)學(xué)生的展開更深入的思維訓(xùn)練。基于問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)，要明確問題解決與教學(xué)設(shè)計(jì)之間的關(guān)聯(lián)性，主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面。

（一）問題解決的關(guān)鍵在問題圖式的獲取與遷移

基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數(shù)學(xué)問題解決，問題的提出是前提，但如何培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力目前依然值得我們深思。數(shù)學(xué)情境是問題解決的場(chǎng)域，也是問題表征的維度之一，所以可以通過對(duì)問題表征的轉(zhuǎn)變進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，還可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問題，通過問題交流來開展問題解決的過程性數(shù)學(xué)活動(dòng)，以及通過問題拓展來實(shí)現(xiàn)對(duì)問題解決的延續(xù)[3]。我們只有充分了解這些，才能更好地實(shí)施問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)。整個(gè)流程圖大致如下（如圖10）。

（二）問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)要回答好四個(gè)問題

基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)實(shí)施策略，主要包括教學(xué)原則、教學(xué)模式和教學(xué)設(shè)計(jì)的策略[4]。而基于問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)，需要回答四個(gè)問題，即教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)、教學(xué)策略、教學(xué)評(píng)價(jià)的問題。

（三）問題解決習(xí)得的內(nèi)外部條件是有破有立的問題設(shè)計(jì)

課堂是教學(xué)的主陣地，做好問題解決的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生能力素質(zhì)發(fā)展具有重要意義。本節(jié)課從“考查問題→小問題→具體問題”三個(gè)層面組織開展教學(xué)活動(dòng)，教學(xué)設(shè)計(jì)需層層推進(jìn)，并且要有破有立?！翱疾閱栴}”體現(xiàn)了對(duì)歷年平面向量高考試題的研究與再利用，體現(xiàn)了整體掌握高考試題考查的難度、方向的設(shè)計(jì)思想，是高考第二輪復(fù)習(xí)必不可少的工作?！靶栴}”體現(xiàn)了對(duì)高考平面向量試題中考查的思想方法的提煉與加工，“具體問題”體現(xiàn)了對(duì)平面向量具體知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)與呈現(xiàn)。基于高考試題的內(nèi)容研究，抽象出考查的思想方法、能力維度，再回到具體知識(shí)點(diǎn)的歸納與復(fù)習(xí)。

基于問題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師既要關(guān)注設(shè)計(jì)的問題本身是否符合教學(xué)目標(biāo)，也要關(guān)注問題的生成是否“自然”，還要關(guān)注問題的解決過程是否很好地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，所以教師提出有價(jià)值的問題，目標(biāo)指向應(yīng)該是鼓勵(lì)和培養(yǎng)學(xué)生提出有價(jià)值的問題，最終落實(shí)“四基”“四能”。

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（責(zé)任編輯：陸順演）