王鋒 潘莉

摘要：對解決“兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題現(xiàn)象的調(diào)查結(jié)果表明，2～4年級學(xué)生能夠較好地利用已有圖形表征這樣的直接經(jīng)驗(yàn)來解決遇到的問題。使用已有圖形表征解決問題，較之使用其它的表征方式有比較強(qiáng)的效果。在簡約乘法豎式出現(xiàn)以后，使用其它表征來解決問題的方式被弱化。事實(shí)上，教學(xué)“乘法簡約豎式”時(shí)，其它表征方式如果弱化使用或延緩一段時(shí)間使用，能更好地促進(jìn)學(xué)生對多元學(xué)習(xí)表征的過渡性理解，促進(jìn)多元學(xué)習(xí)表征之間的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平。

關(guān)鍵詞：圖形表征;多元學(xué)習(xí)表征;聯(lián)結(jié);轉(zhuǎn)換

小學(xué)生在解決諸如“12×4”和“12×14”等“兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題時(shí)是怎樣思考的？存在著哪些不同的策略？2～4年級小學(xué)生面對同一內(nèi)容，運(yùn)用不同的表征策略解決這一計(jì)算問題，存在著怎樣的差異？經(jīng)歷過程序式的計(jì)算學(xué)習(xí)后，這種程序化學(xué)習(xí)對今后的學(xué)習(xí)進(jìn)程與能力發(fā)展是否存在一定的影響？這種影響是有益的還是個(gè)體學(xué)習(xí)過程中的一種缺失？帶著疑問，我們進(jìn)行了調(diào)查研究。即對2～4年級小學(xué)生在解決“兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題時(shí)運(yùn)用情境、圖形、表格、橫式筆算、展開的乘法豎式與簡約程序化的乘法豎式等不同表征策略解決問題的具體現(xiàn)象進(jìn)行客觀地實(shí)證調(diào)查。同時(shí)，通過對比，獲得了建立多元學(xué)習(xí)表征聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換后的學(xué)習(xí)策略發(fā)展變化的數(shù)據(jù)。

依托這些數(shù)據(jù)的獲得，我們得出了四個(gè)結(jié)論：一是建立多元學(xué)習(xí)表征之間的聯(lián)結(jié)需要過渡期;二是多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換需要找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn);三是多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換需要延緩符號表征的銜接;四是多元學(xué)習(xí)表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換決定理解的水平?；诮Y(jié)論，我們提出了教學(xué)建議。

一、基于學(xué)習(xí)表征理論，界定具體內(nèi)涵

美國學(xué)者萊什等提出五種學(xué)習(xí)表征，包括情境表征、圖形表征、操作表征、符號表征和語言表征。他們認(rèn)為，學(xué)生必須具有下列條件才算了解一個(gè)概念：學(xué)生必須能將此概念放入不同的表征系統(tǒng)之中;在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，學(xué)生必須能很有彈性地處理這個(gè)概念;學(xué)生必須很精確地將此概念從一個(gè)表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)表征系統(tǒng)。

南京大學(xué)鄭毓信教授指出，按照多元表征理論，除去對于概念本質(zhì)的理解，還應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生建立概念的多元表征，并能根據(jù)需要與情境，在表征的不同成分之間做出靈活的轉(zhuǎn)換。美國學(xué)者赫伯特-卡朋特提出了基于認(rèn)知科學(xué)觀點(diǎn)的理解模型，他認(rèn)為知識是內(nèi)部表征的，而這些內(nèi)部表征是有結(jié)構(gòu)的。內(nèi)部表征與外部表征之間具有某種關(guān)系，因此可以通過外部表征和聯(lián)結(jié)來推測其內(nèi)部表征。各種內(nèi)部表征之間是互相聯(lián)結(jié)的。各種表征之間的聯(lián)結(jié)數(shù)量與強(qiáng)度決定了理解的水平。

基于以上的理論，我們選擇了北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》三年級上冊第六單元“兩位數(shù)乘一位數(shù)不進(jìn)位”和三年級下冊第三單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進(jìn)位”兩個(gè)單元的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)查研究，具體如下：

1.2～4年級小學(xué)生利用多元表征解決“兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題過程中，有哪些原始想法？有哪些具體的學(xué)習(xí)現(xiàn)象？

2.2～4年級學(xué)生在解決“兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題過程中，利用點(diǎn)子圖、橫式、表格與豎式等表征解決問題的策略差異，尋找差異產(chǎn)生的原因。

3.教材呈現(xiàn)的與學(xué)生呈現(xiàn)的多元學(xué)習(xí)表征對后續(xù)的學(xué)習(xí)進(jìn)程有哪些影響？調(diào)查中又發(fā)現(xiàn)了哪些不同的學(xué)習(xí)現(xiàn)象？

根據(jù)調(diào)查研究的需要，討論、界定本調(diào)查研究中涉及的具體學(xué)習(xí)表征是：情境表征，包括“螞蟻?zhàn)霾佟钡那榫澈汀瓣?duì)列表演”的情境等;圖形表征，由具體情境抽象成的點(diǎn)子圖，由點(diǎn)子圖進(jìn)一步抽象成的表格（分解），視為圖形表征;符號表征，簡約的乘法豎式和展開的乘法豎式視為符號表征。簡約的乘法豎式，是指便于學(xué)生長期學(xué)習(xí)的最簡單的乘法豎式。如，“12×4=”的簡約豎式為：

[? ?1? ?2×? ? ?4? ?4? ?8]

展開的乘法豎式指對應(yīng)點(diǎn)子圖的圈畫過程和表格分解乘數(shù)相乘的過程，呈現(xiàn)的完整計(jì)算過程，是簡約豎式理解的基礎(chǔ)。如，“12×4= ”的展開豎式有兩種主要的記錄方式。第一種方式是先從高位乘起。

[? 十 個(gè)? 位 位? ?1? ?2×? ? ?4? ?4? ?0+? ? ?8? ? 4? ?8]

第二種方式是先從個(gè)位乘起。

[? 十 個(gè)? 位 位? ?1? ?2×? ? ? 4? ? ? ? ?8+4? ?0? ? 4? ?8]

語言表征，指乘法豎式的計(jì)算法則（規(guī)則），用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表述。這里暫時(shí)對操作表征不做案例研究和解釋。

二、基于觀察探索，了解學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)

我們用了兩年的時(shí)間，針對所在區(qū)域內(nèi)23所普通農(nóng)村小學(xué)和2所縣城小學(xué)1137名學(xué)生做了調(diào)查。選取其中有代表性的、檢測信度高的7個(gè)班級（3所農(nóng)村學(xué)校，1所縣城學(xué)校）小學(xué)生，重點(diǎn)是2～4年級即年齡在8～10歲之間的，兼顧五至六年級的學(xué)生做輔助研究。

這些學(xué)生當(dāng)中，二年級的學(xué)生僅學(xué)習(xí)過用乘法口訣解決一位數(shù)乘法，有用點(diǎn)子圖理解口訣的經(jīng)驗(yàn)。三年級上學(xué)期的學(xué)生要學(xué)習(xí)運(yùn)用點(diǎn)子圖和表格等圖形表征和符號表征（橫式口算）解決“兩位數(shù)乘一位數(shù)計(jì)算”問題，以及用多元表征（“螞蟻?zhàn)霾佟鼻榫场Ⅻc(diǎn)子圖、表格、展開的乘法豎式、簡約的乘法豎式等）解決“乘法計(jì)算”問題。三年級下學(xué)期的學(xué)生要學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的橫式和豎式計(jì)算。四年級上學(xué)期的學(xué)生要在三年級基礎(chǔ)上運(yùn)用多元學(xué)習(xí)表征解決“兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法計(jì)算”問題。

（一）課堂觀察

1.設(shè)計(jì)課堂觀察量表

說明：要獲得學(xué)生的試卷才能填寫并比對分析前測和后測情況。“教師策略”主要記錄重點(diǎn)環(huán)節(jié)教師采取的方式，“學(xué)生具體表現(xiàn)”則要通過觀察填寫每一個(gè)學(xué)生在重點(diǎn)環(huán)節(jié)教師策略下的不同反應(yīng)。建議教師拍照或錄小視頻，聽課后利用時(shí)間整理。表內(nèi)（ ）均用“√”或“×”標(biāo)記。

2.觀察實(shí)施

全面觀察：對78節(jié)相關(guān)課例進(jìn)行課堂觀察（用時(shí)兩年的時(shí)間），對學(xué)生原始學(xué)習(xí)狀態(tài)進(jìn)行大數(shù)據(jù)的記錄和分析。

重點(diǎn)觀察：對四節(jié)同課異構(gòu)的課堂教學(xué)進(jìn)行觀察。觀察時(shí)，40名實(shí)驗(yàn)教師分10組坐在學(xué)生身邊，在不干擾學(xué)生正常學(xué)習(xí)狀態(tài)的情況下，錄像、拍照、記錄，填寫觀察量表。每組中兩位教師分別觀察兩名學(xué)生，另兩位教師照相和攝錄學(xué)生學(xué)習(xí)全過程，對學(xué)習(xí)現(xiàn)象進(jìn)行真實(shí)記錄。

3.記錄分析

觀察量表記錄;（記錄表圖略）現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)與分析。

以觀察小組為單位，課后對學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)象的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如學(xué)生在用多元表征解決兩位數(shù)乘法過程中，最原始的想法是什么？（以下簡稱為“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原點(diǎn)”）運(yùn)用哪些學(xué)習(xí)表征解決問題？習(xí)慣應(yīng)用哪種表征解決問題？

4.研究視角的變化

在課堂觀察至調(diào)查研究的推進(jìn)過程中，研究視角經(jīng)歷了五個(gè)階段的變化。第一階段關(guān)注的是學(xué)生原始、自然、本真的學(xué)習(xí)現(xiàn)象;第二階段關(guān)注的是學(xué)生學(xué)習(xí)背景的分析;第三階段關(guān)注的是如何搭建不同學(xué)習(xí)表征之間的聯(lián)結(jié);第四階段關(guān)注的是多元學(xué)習(xí)表征的聯(lián)結(jié)是否能夠促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)走得更遠(yuǎn)，關(guān)注教材的改進(jìn)。如延緩簡約豎式乘法的出現(xiàn)是否能夠更好地建立起學(xué)生多元學(xué)習(xí)表征的聯(lián)結(jié);第五階段關(guān)注的是尋找證據(jù)以驗(yàn)證多元學(xué)習(xí)表征的聯(lián)結(jié)，是促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)知識體系，形成創(chuàng)新思維的必要基礎(chǔ)。如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算，在沒有建立多元表征聯(lián)結(jié)時(shí)，豎式計(jì)算過程出現(xiàn)了問題，即發(fā)現(xiàn)學(xué)生該方面的學(xué)習(xí)斷層。

（二）問卷設(shè)計(jì)

根據(jù)研究需要，設(shè)計(jì)出相關(guān)課例的前測、中測（當(dāng)堂測試）、后測和延后測的問卷，以深入了解學(xué)習(xí)現(xiàn)象。問卷信息采集，均來自被調(diào)查學(xué)校2～6年級的學(xué)生。問卷設(shè)計(jì)的內(nèi)容隨著研究的推進(jìn)發(fā)生著變化，如研究開始時(shí)，問卷內(nèi)容就是直接將教材內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生。隨著研究的深入，發(fā)現(xiàn)這樣的內(nèi)容沒有把多元表征之間的聯(lián)系呈現(xiàn)出來，于是我們做了相應(yīng)的改進(jìn)。這樣的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)出了以下兩個(gè)特點(diǎn)：一是用不同的表征方式“盡可能”呈現(xiàn)出同一思考過程;二是不作解釋和規(guī)定，使學(xué)生明確要先圈畫，通過圈畫，與豎式計(jì)算的思考聯(lián)系起來。

此外，對剛升入五年級和六年級的學(xué)生做問卷調(diào)查即延后測，以發(fā)現(xiàn)和研究在兩至三年后學(xué)生應(yīng)用圖形表征等解決乘法計(jì)算問題的現(xiàn)象以及策略差異的表現(xiàn)。

（三）個(gè)體訪談

在課堂觀察、問卷的基礎(chǔ)上，進(jìn)行個(gè)別訪談，記錄訪談內(nèi)容。對于二年級學(xué)生，只要求嘗試用點(diǎn)子圖解決問題。在測試過程中，本班39名學(xué)生，有4人獨(dú)立解決問題。課后，教師及時(shí)對4名學(xué)生進(jìn)行訪談。一個(gè)學(xué)生先得到了如圖1中的答案。

生：一共有（168）個(gè)圓點(diǎn)。[? ?100+? 30? ?130+? 30? ?160+? ? 8? ?168]，100+30+30+8=168（個(gè)）。

師：能說說你為什么這樣算嗎？

生：我先把10個(gè)圈起來，這里有10個(gè)10，就是100。再加上這里我圈出來的30個(gè)就是130，這里也是30個(gè)，加起來是160。最后還剩下8個(gè)，一共是168個(gè)。

另外一個(gè)學(xué)生得到了如圖2中的答案。

生：一共有（168）個(gè)圓點(diǎn)。因?yàn)?×10=70（個(gè)），7×10=70（個(gè)），4×7=28（個(gè)），70+70=140（個(gè)），所以140+28=168（個(gè)）。

師：你是怎么算出來的？

生：我先把7個(gè)圈起來，這里有十個(gè)7，我知道10個(gè)7是70。下邊這個(gè)和上面的一樣，所以也是70。70加70等于140，最后還有四七二十八，140加28，一共是168個(gè)。

僅有一個(gè)學(xué)生出示了如圖3的算法。

生：一共有（168）個(gè)圓點(diǎn)。

師：你又是怎么算出來的？

生：這里是100個(gè)。（交流過程中學(xué)生標(biāo)出來的數(shù)100）

師：你怎么知道這是100的呢？

生：這一行是10個(gè)，有10個(gè)10一共就是100。再加上這邊的40，和下面的20等于160。最后還有8個(gè)，加起來是168。

接下來，還有一個(gè)學(xué)生出示了如圖4的不同算法。

生：一共有（168）個(gè)圓點(diǎn)。14×12=168（個(gè)），也就是12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12+12=168（個(gè)）。

師：能說說你是怎么算出來的嗎？

生：我是這樣圈的，一排是12個(gè)，一共有14排，所以就是168。

師：你可以把過程寫下來嗎？

這樣，在教師的提議下，大多數(shù)學(xué)生自己寫出了加法算式，通過個(gè)別訪談，我們了解了學(xué)生最真實(shí)的解決問題的方法和能力。

（四）數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與質(zhì)性分析

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，便于對學(xué)生的各種表現(xiàn)做出量化比對。質(zhì)性分析，則是通過記錄師生對話和學(xué)生外在表征呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)現(xiàn)象，結(jié)合數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)進(jìn)行判斷分析與解釋說明。

三、基于圖形表征經(jīng)驗(yàn)，思考多元表征聯(lián)結(jié)的建立

（一）建立多元表征之間的聯(lián)結(jié)需要過渡期

通過課堂觀察我們發(fā)現(xiàn)，對于小學(xué)2～3年級的學(xué)生來說，要建立多元學(xué)習(xí)表征之間的聯(lián)結(jié)，仍然是一個(gè)較難的問題，需要有一個(gè)過渡期。

結(jié)合“兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算”內(nèi)容，我們搜集了本區(qū)域縣城及農(nóng)村小學(xué)178名三年級學(xué)生的前測、中測與后測的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)：最初有58.4%的學(xué)生不能建立點(diǎn)子圖、表格、豎式即多種表征之間的聯(lián)結(jié);如果教師有意識地引導(dǎo)，會有48.3%學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)并感受它們之間的聯(lián)系，但仍然有部分學(xué)生無法建立聯(lián)結(jié)，當(dāng)然，這里面會涉及教師引導(dǎo)策略的影響因素;經(jīng)歷過一段時(shí)間的內(nèi)化吸收后，有87.6%（包括前期已經(jīng)建立聯(lián)系的）學(xué)生能夠較為清晰地掌握聯(lián)系，但在具體應(yīng)用中，部分學(xué)生仍是學(xué)習(xí)原點(diǎn)的表現(xiàn)。

（二）多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換需要找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)

1.學(xué)生缺乏表征聯(lián)結(jié)的意識，呈現(xiàn)出“回歸學(xué)習(xí)原點(diǎn)”的現(xiàn)象

在第一階段對“螞蟻?zhàn)霾伲▋晌粩?shù)乘一位數(shù)）”課堂觀察中發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生做練習(xí)14×2和12×3時(shí)，發(fā)生“回歸學(xué)習(xí)原點(diǎn)”即圈畫點(diǎn)子圖計(jì)算的現(xiàn)象。

在我們對178名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)中，有74.16%學(xué)生出現(xiàn)“回歸學(xué)習(xí)原點(diǎn)”的現(xiàn)象。在后測時(shí)，教師明確任務(wù)要求以后，有19.10%學(xué)生出現(xiàn)“回歸學(xué)習(xí)原點(diǎn)”現(xiàn)象。

通過此現(xiàn)象可以驗(yàn)證如下結(jié)論：學(xué)生自然、本真的想法占據(jù)解決問題方法的首要位置，然后才是在教師或同伴的干預(yù)下，逐漸學(xué)會改變原生想法，建立另類想法。

2.教師缺乏表征轉(zhuǎn)換策略的研究，更多地關(guān)注豎式結(jié)論

我們對一線教師也做了訪談（結(jié)合“螞蟻?zhàn)霾佟边@節(jié)課），內(nèi)容摘錄如下。

【問題1】您認(rèn)為，本節(jié)課中學(xué)生多元表征與轉(zhuǎn)換方面的表現(xiàn)如何？

一位教師這樣認(rèn)為：絕大多數(shù)學(xué)生都能夠有表征轉(zhuǎn)換的意識，但是不能保證轉(zhuǎn)換的正確性。學(xué)生就是基于這樣不斷的轉(zhuǎn)換形成了數(shù)學(xué)理解，最終使得數(shù)學(xué)問題得以解決。

另一位教師認(rèn)為，學(xué)生有怎樣的表現(xiàn)更多的是源于教師的教學(xué)方式。如果教師在教學(xué)過程中有針對性地引導(dǎo)，那么學(xué)生的表現(xiàn)應(yīng)該會更好些。比如，本節(jié)課，我會明確提出需要點(diǎn)子圖、表格轉(zhuǎn)換成豎式形式。對于豎式，我也會明確提出豎式向點(diǎn)子圖、表格形式轉(zhuǎn)化。那么，面對相類似的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生自然而然地想到。所以學(xué)生可能在教師強(qiáng)調(diào)過的問題會表現(xiàn)不錯(cuò)。

【問題2】您認(rèn)為，在平常的練習(xí)中，考察哪種表征方式的數(shù)學(xué)問題會多一些？

一位教師認(rèn)為，這個(gè)應(yīng)該基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容而定。比如，在數(shù)學(xué)問題解決過程中，更多地依賴于圖形表征;而在解決單純的計(jì)算題目時(shí)，則更多地傾向于使用符號表征。但是，數(shù)形結(jié)合，也就是符號表征與圖形表征之間的相互轉(zhuǎn)換總是會更多些。

另一位教師認(rèn)為，練習(xí)題的重點(diǎn)基本上放置在圖形表征與符號表征這兩個(gè)方面，學(xué)生在這兩個(gè)表征方式及其轉(zhuǎn)換上最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，即使教師平常在這方面一直強(qiáng)調(diào)。

【問題3】在教學(xué)中，您是否從符號、圖形、語言三個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題題意進(jìn)行描述？

一位教師認(rèn)為，如果這個(gè)數(shù)學(xué)問題解決依賴于多種表征方式，那么我會要求學(xué)生這么做。但并不是所有的數(shù)學(xué)問題解決都有做這一步的必要。畢竟多元表征屬于隱性層面的東西，學(xué)生的層次也參差不齊，教學(xué)更多地還是以考試為導(dǎo)向，這些因素使得教師上課似乎不允許將時(shí)間過多地花費(fèi)在這上面。

另一位教師認(rèn)為，對于一些特定的數(shù)學(xué)問題可能會這么做，比如本節(jié)課中符號（豎式）到圖形（點(diǎn)子圖以及表格）表征以及語言（豎式乘法的算法）表征的轉(zhuǎn)換，在教學(xué)過程中我會特意強(qiáng)調(diào)，更多的是要看這個(gè)數(shù)學(xué)問題是否適合用多種表征方式來解釋。

從訪談中反映出這樣的兩種情況：一是在教學(xué)過程中，教師更多地關(guān)注結(jié)論性知識的落實(shí)，相對淡化多元學(xué)習(xí)表征之間聯(lián)結(jié)的指導(dǎo)。二是對不同學(xué)習(xí)表征在學(xué)習(xí)過程中的重要價(jià)值，教師的觀點(diǎn)也不盡相同，如果教學(xué)方式和學(xué)習(xí)背景出現(xiàn)差異，教師會具體問題具體分析，在不同的表征方式之間做權(quán)衡，而后教師會把自己認(rèn)為會是最適合的表征方式教給學(xué)生以強(qiáng)調(diào)。

（三）多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換需要延緩符號表征的銜接

在縣城和鄉(xiāng)村學(xué)校的兩次嘗試中，三位實(shí)驗(yàn)教師分別對“螞蟻?zhàn)霾佟边@節(jié)課進(jìn)行四次授課（其中一位實(shí)驗(yàn)教師采用兩種策略上了兩節(jié)同一內(nèi)容的課），兩次是常規(guī)授課，兩次是延緩符號表征的出現(xiàn)。（即暫緩簡約豎式乘法的出現(xiàn)）

在對178名學(xué)生進(jìn)行的問卷調(diào)查與訪談中我們發(fā)現(xiàn)，采用常規(guī)授課模式，有58.42%學(xué)生能夠順應(yīng)點(diǎn)子圖和表格的計(jì)算策略，但不能在這個(gè)基礎(chǔ)上建立與橫式口算之間的聯(lián)結(jié);有46.06%學(xué)生呈現(xiàn)出簡約豎式的形態(tài)，但并不能真正體會并說清楚其中的思維過程。

當(dāng)選擇延緩符號表征課堂教學(xué)后發(fā)現(xiàn)，有78.65%學(xué)生可以很好地建立起點(diǎn)子圖、表格、橫式口算、復(fù)雜豎式以及簡約豎式之間的聯(lián)結(jié)。

（四）多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換決定理解的水平

延緩符號表征的出現(xiàn)和語言表征的敘述，搭建多元學(xué)習(xí)表征之間聯(lián)結(jié)的“橋”，在聯(lián)結(jié)和轉(zhuǎn)換過程中給足探索的時(shí)間和空間，有助于對新問題的發(fā)現(xiàn)、解決與建構(gòu)。

學(xué)生在第一次解決“14×12”問題時(shí)，豎式思維會出現(xiàn)斷層。通過研究我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在這個(gè)階段仍然沒有真正建立起點(diǎn)子圖、表格和豎式之間的聯(lián)系，點(diǎn)子圖是“點(diǎn)子圖”，橫式計(jì)算僅僅對應(yīng)“口算的思考過程”，表格雖然和橫式計(jì)算、點(diǎn)子圖有相似之處。但是，暫時(shí)還是無法通過回憶點(diǎn)子圖、橫式計(jì)算與表格建立聯(lián)系，更不用說與豎式計(jì)算結(jié)合起來。這說明，由圖形表征到符號表征的過渡，是一個(gè)艱難的過程。表2就是我們在研究過程中得到的一些數(shù)據(jù)，能夠有效說明問題。

學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確，也是導(dǎo)致多元表征無法建立聯(lián)結(jié)的主要因素。多元表征的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，不是多種方法、策略的學(xué)習(xí)。而應(yīng)該是在多元表征的認(rèn)識過程中，實(shí)現(xiàn)用“數(shù)學(xué)的眼光”進(jìn)行選擇。

如建立“點(diǎn)子圖、表格和乘法豎式之間是有聯(lián)系的”這種思想，是需要在多次觀察、多種比較的環(huán)境背景下，學(xué)習(xí)用不同的表征方式去解決問題，以建立問題解決的思維結(jié)構(gòu)，構(gòu)建起個(gè)人數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完形或模型。這會為后續(xù)在新問題解決中獨(dú)立尋找方法和路徑提供好的經(jīng)驗(yàn)與思維架構(gòu)。因此，教師應(yīng)設(shè)計(jì)、引領(lǐng)和指導(dǎo)學(xué)生明確指向多元表征建立聯(lián)結(jié)的這一學(xué)習(xí)目標(biāo)，在學(xué)習(xí)過程中有意識地實(shí)現(xiàn)多元表征的聯(lián)結(jié)。

四、基于多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換，探索教學(xué)策略

（一）教材內(nèi)容的呈現(xiàn)與教學(xué)要求應(yīng)更利于多元表征的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換

在教材內(nèi)容呈現(xiàn)上，北師版數(shù)學(xué)教材強(qiáng)調(diào)利用點(diǎn)子圖（圈畫）和表格（分解）解決“12×4”問題，給學(xué)生留有個(gè)性化解決問題的機(jī)會，注重了圖形表征在該階段學(xué)習(xí)的地位。

在小學(xué)階段的教材內(nèi)容呈現(xiàn)上，不應(yīng)過分強(qiáng)調(diào)簡約乘法豎式的唯一價(jià)值。在教學(xué)評價(jià)、課程標(biāo)準(zhǔn)要求上，將幾種學(xué)習(xí)表征放在同等價(jià)位上去認(rèn)識，對多元學(xué)習(xí)表征進(jìn)行整體研究與平等對待，這樣有助于后續(xù)更好地建立多元表征之間的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換。

（二）圖形表征作為一種學(xué)習(xí)策略應(yīng)在提高現(xiàn)有地位的同時(shí)重視多元表征的聯(lián)結(jié)

當(dāng)學(xué)生理解了用表格解決乘法計(jì)算問題后，在點(diǎn)子圖和表格的選擇上，學(xué)生會習(xí)慣于用表格解決乘法計(jì)算問題。這說明，用表格解決乘法計(jì)算，對于初學(xué)超出乘法口訣直接計(jì)算以外的乘法計(jì)算的三年級學(xué)生來說，更簡便、更易于操作，理解起來也更易接受。

展開的乘法豎式，是點(diǎn)子圖、橫式口算（筆算）和表格三種表征形式的進(jìn)一步抽象。最初，學(xué)生能夠用展開的乘法豎式和其他表征建立聯(lián)結(jié)。但是，當(dāng)簡約的乘法豎式出現(xiàn)，并形成程序化學(xué)習(xí)之后，學(xué)生很難再現(xiàn)展開的乘法豎式的心象，同時(shí)放棄了利用點(diǎn)子圖解決類似12×4乘法問題的表征過程。這種因程序化學(xué)習(xí)掩蓋圖形表征解決問題的現(xiàn)象，在四年級有所升高，5～6年級甚至忘記了圖形表征解決問題的策略，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的一種缺失。

圖形表征應(yīng)該是小學(xué)階段問題解決的一個(gè)基本策略，其作為問題解決的策略之一，不能只是起到輔助理解算理的作用，應(yīng)該作為一種基本技能掌握。同時(shí)，應(yīng)在學(xué)習(xí)過程中重視多元表征的聯(lián)結(jié)，這可以為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)打下很好的基礎(chǔ)。

（三）思維的發(fā)展方面應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的“學(xué)習(xí)原點(diǎn)”

學(xué)生每一階段學(xué)習(xí)過程中原始、自然的想法即“學(xué)習(xí)原點(diǎn)”，是受前置學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)影響的，與個(gè)體的學(xué)習(xí)背景有直接關(guān)系。要改變學(xué)生的原生想法，讓學(xué)習(xí)走得更遠(yuǎn)，讓思考力更廣，需要教師和同伴的一定的干預(yù)，需要通過獨(dú)立觀察、比較、分析、反思，以實(shí)現(xiàn)概念化的自我建構(gòu)。

教師更應(yīng)在學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)上，關(guān)注“學(xué)習(xí)原點(diǎn)”的同時(shí)關(guān)注每一階段多元表征呈現(xiàn)的方式及其相互聯(lián)結(jié)的價(jià)值，促進(jìn)兒童在學(xué)習(xí)過程中能夠更好地遷移前置經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）