徐畢娟

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界變量關(guān)系和規(guī)律最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，函數(shù)的學(xué)習(xí)貫穿整個高中數(shù)學(xué)的主線。但函數(shù)內(nèi)容的抽象，思想的深刻等使得學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中頗感艱難。在“互聯(lián)網(wǎng)+ ”時代，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生深刻影響。它是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要輔助手段。教師應(yīng)重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，借助信息技術(shù)優(yōu)化傳統(tǒng)教學(xué)手段。Geogebra因為內(nèi)置函數(shù)豐富，繪制函數(shù)圖像非常方便、迅速，函數(shù)檢視功能很實用等優(yōu)點成為函數(shù)教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中師生的好幫手。以下介紹Geogebra不同的功能在函數(shù)教學(xué)幾個不同方面的應(yīng)用。

一、神奇滑動條、變中探規(guī)律

Geogebra的優(yōu)點之一便是用滑動條表達變量，控制研究對象，且滑動條設(shè)置極為簡單，滑動速度、方式、變量范圍等都可直接設(shè)置。以三角函數(shù)的學(xué)習(xí)為例，設(shè)置三個滑動條，讓它們逐一滑動，學(xué)生便可直觀地看到每一個參數(shù)對函數(shù)圖像的影響，尤其是變化先后順序調(diào)整時函數(shù)圖像左右移動的量，這是學(xué)生理解上的一個難點。反復(fù)觀看，學(xué)生可自主歸納參數(shù)的意義、函數(shù)的平移、伸縮變化規(guī)律以及各個性質(zhì)等。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等初等函數(shù)的教學(xué)都是同樣的道理。授之以魚不如授之以漁，通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生完全可以掌握Geogebra滑動條的使用，課余便可自行或者小組合作探究如等其他未知函數(shù)的圖像和性質(zhì)，都是簡潔、直觀而高效的。也可以培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，提高數(shù)學(xué)研究的興趣。

利用滑動條控制變量在函數(shù)學(xué)習(xí)中除了可以探究函數(shù)圖像和性質(zhì)，還有很多非常廣泛，如在學(xué)習(xí)定積分的概念時，學(xué)生初次接觸曲邊梯形，對其分割的理解是一個難點。課本提出曲邊梯形面積算法是“以曲代直”：將曲邊梯形拆分成若干個小的曲邊梯形，用矩形來近似表示這些小曲邊梯形，用多個矩形面積的總和近似代替曲邊梯形的面積。分割越細致，近似程度就越高，這便是用逼近思想求不規(guī)則圖形面積。傳統(tǒng)的教學(xué)中，課本講授是難以讓學(xué)生體會分割、近似代替、求和再取極限的思想，而Geogebra可以利用非常簡便的操作展示整個過程。通過滑動條的滑動，學(xué)生可以直觀看到曲邊梯形面積的過剩近似值和不足近似值趨于同一個數(shù)。Geogebra 環(huán)境下的可視化教學(xué)不僅能將概念的形成過程進行思維可視化，讓學(xué)生更易接受和吸收，還能增加課堂的活動性和趣味性，使學(xué)生積極地參與課堂，不僅僅只做一個傾聽者，還能自己思考問題，進行探究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

二、魅力輸入框、變中找關(guān)系

Geogebra的輸入框可以關(guān)聯(lián)到具體函數(shù)解析式，而借助該功能可以巧妙判斷兩個甚至多個函數(shù)之間的關(guān)系。比如與函數(shù)圖像之間的關(guān)系。可以設(shè)置，將輸入框關(guān)聯(lián)函數(shù).這樣可以讓學(xué)生隨意在輸入框中輸入函數(shù)解析式，無論什么樣的解析式，都會直觀得出結(jié)論：將圖像的左側(cè)擦除，右側(cè)沿y軸翻折即可得到的函數(shù)圖像.同樣只要教師引路，學(xué)生學(xué)會該方法后就可以獨自對與的關(guān)系、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關(guān)系等其他函數(shù)之間的關(guān)系進行探究歸納。

三、便捷表格區(qū)，函數(shù)求零點

Geogebra中的Spreadsheet，即表格區(qū)，有著跟Excle相似的功能，可以儲存數(shù)據(jù)、公式、變量、實現(xiàn)序列、迭代等。但與Excle不同的是它不是獨立的軟件，而是Geogebra的一個功能區(qū)，可以跟其他區(qū)域結(jié)合，使用起來更為便捷。例如求函數(shù)的零點（下圖示），通過繪圖區(qū)可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點介于0和1之間。之后在表格區(qū)第二行前三格分別輸入左右端點和區(qū)間中點，在E2、F2、G2分別輸入“=lgA2-1+2A2”、“=lgB2-1+2B2”、“=lgC2-1+2C2”。其次，在A3、B3分別輸入“If（E2*G2<0，A2，C2）”、“If（F2*G2<0，B2，C2）”，之后下拉E2、F2、G2，得到E3、F3、G3的值，再下拉A3、B3、C3，得到A4、B4、C4的值，以此類推，最終得到函數(shù)的零點為0.61.任意方程的近似解或函數(shù)的零點都可以如此求解.除零點問題外，函數(shù)建模過程中的函數(shù)的擬合等都利用表格區(qū)很好地解決。

四、聯(lián)合多區(qū)域，函數(shù)求最值

GeoGebra 最大的特點就是在同一界面內(nèi)可以運行多種數(shù)學(xué)區(qū)域，例如運算區(qū)、表格區(qū)、代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)、3D 繪圖區(qū)，還可以同步展示作圖過程，可以在不同區(qū)域內(nèi)對數(shù)學(xué)對象進行相應(yīng)的操作。例如一個邊長為L的正方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一個無蓋長方體容器，求截去的小正方形邊長a為多少時，容積最大？（下圖示）。學(xué)生固然可以用導(dǎo)數(shù)知識解決此問題，但很抽象，沒有直觀感受。如果能同時用GeoGebra演示整個過程，學(xué)生對此問題的理解會更深刻，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也會大大增加。首先在繪圖1區(qū)繪制該函數(shù)圖像，邊長L是個變量用滑動條表示，再在繪圖2區(qū)繪制依題意繪制平面圖形，在3D立體區(qū)繪制立體圖形，用滑動條控制折疊的角度，演示折起的過程。容積V的最大值也會顯示出來，跟學(xué)生用導(dǎo)數(shù)求解的結(jié)果完全相同。但代數(shù)運算和幾何直觀相結(jié)合，學(xué)生數(shù)學(xué)運算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)都可以得到培養(yǎng)。

《2017版普通高中數(shù)學(xué)課程標準》明確指出數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實踐中要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，促使更多的學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)。史寧中教授在課程標準的解讀方案中也指出現(xiàn)代數(shù)學(xué)教師要提高自身信息技術(shù)應(yīng)用能力，有效發(fā)揮信息技術(shù)的教學(xué)功能，拓展數(shù)學(xué)課堂空間、構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，服務(wù)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最終落實數(shù)學(xué)學(xué)科立德樹人根本目的。使用Geogebra 軟件進行數(shù)學(xué)可視化教學(xué)，使學(xué)生通過探索發(fā)現(xiàn)，合作交流等學(xué)習(xí)方式掌握數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題，并真正理解問題本質(zhì)，掌握其中蘊含的思想方法，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。Geogebra功能強大，對函數(shù)問題的研究還有很多應(yīng)用，讓我們繼續(xù)研究，開發(fā)更好的課例。