何宗建

摘要：高中階段的學(xué)生已經(jīng)有了一定的解題思維和解題方法，掌握了一定的技巧。眾多的解題方法中，數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，始終貫穿幾何圖形到數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)，在解題中應(yīng)用十分廣泛。因此，本文主要結(jié)合例題分析，從數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用出發(fā)進(jìn)行初步探討，以求拋磚引玉。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學(xué)解題;應(yīng)用策略

數(shù)學(xué)在高中階段屬于重點(diǎn)科目，通過數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決生活中的很多實(shí)際問題。隨著教育、科技的發(fā)展，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式已經(jīng)越來越難以滿足當(dāng)代學(xué)生要求簡便、易懂、易掌握的需求。根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，我認(rèn)為數(shù)字與形狀相結(jié)合的思維方法更容易在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施。它是一種高效、簡單的解題方法，更容易讓學(xué)生理解和掌握。

一、以數(shù)解形，以形論數(shù)

因?yàn)椤皵?shù)”和“形”是一種對應(yīng)，有些數(shù)量更抽象，我們很難把握，但是由于“形狀”形象和直覺的優(yōu)勢，可以表達(dá)更具體的思考，在解決數(shù)學(xué)問題中起著決定性作用，因此我們可以找到相應(yīng)的“定量”——“圖形”，用幾何圖形來解決代數(shù)的問題。圖形分析是將數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，最后通過對圖的分析和推理來解決數(shù)學(xué)問題的簡便方法。

因此，對于“數(shù)”化為“形”這類問題，解決的基本思路是：根據(jù)條件中給出明確的目標(biāo)要求，從已知結(jié)論的問題或條件入手，觀察分析其是否為相似研究的基本公式或圖表的表達(dá)式，或采用合適的圖形，最后使用或構(gòu)造圖形屬性、幾何意義等已知條件，解決題目問題所需要解決的目標(biāo)。

例題分析：已經(jīng)F1是雙曲線x2-y2/4=1的左焦點(diǎn)，A（1，2），P點(diǎn)是雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|PF1|+|PA|的最小值是。

分析：常規(guī)的解題思路是采用解析法。將|PF1|+|PA|表示為P的坐標(biāo)函數(shù)求最小值，但是這種方法的運(yùn)算量較大，容易出錯(cuò)。因此，我們可以采用“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的方法，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，利用雙曲線的定義|PF1|=2a+|PF2|=2+|PF2|，所以|PF2|+|PA|最小時(shí)，|PF1|+|PA|最小，根據(jù)雙曲線圖形可以知道，A、P、F2三點(diǎn)共線時(shí)，可求出最小值。

二、以形助數(shù)，以數(shù)論形

對于比較復(fù)雜的“圖形”，不僅要對數(shù)字圖形進(jìn)行修正，還要觀察圖形的特征，發(fā)現(xiàn)主題中隱含的條件，最大程度地利用圖形或幾何的意義，將自然界的“形”說成“數(shù)”的形式，加以分析計(jì)算。因此，對于“形”變成“數(shù)”這類問題，解題的基本思路是：明確給定題目中對象的條件和愿望，分析給定條件和要求對象的特征和性質(zhì)，了解圖形中條件或?qū)ο蟮膸缀我饬x，然后根據(jù)條件和結(jié)論，運(yùn)用相應(yīng)的公式或定理等。

例題分析：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╝，b），其導(dǎo)函數(shù)在其定義域內(nèi)的圖像如下所示，那么函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)有? ? ?個(gè)極小值點(diǎn)。

分析：找極小值點(diǎn)就是要找到函數(shù)由遞減函數(shù)變?yōu)檫f增函數(shù)的點(diǎn)，也就是找到其導(dǎo)函數(shù)的值由負(fù)數(shù)到正數(shù)的點(diǎn)，由圖可知，只有1個(gè)。

三、數(shù)形結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合通常包括以下幾部分內(nèi)容：1.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系;2.定量與圖形的對應(yīng)關(guān)系;3.曲線與方程對應(yīng)關(guān)系;4.基于幾何要素和已知條件的概念，如復(fù)數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)運(yùn)算及證明等;5.所給出的方程或代數(shù)公式的結(jié)構(gòu)具有明顯的幾何意義。

解決這類問題往往需要同時(shí)從已知和結(jié)論出發(fā)，仔細(xì)分析并找出內(nèi)在的“形”與“數(shù)”的相互關(guān)系。例題分析：若0<a<π/2，求證sina<a<tana。

分析：這類證明題的一般方法是從證明不等式的傳統(tǒng)解題方法入手，但是用這種傳統(tǒng)的解題方法需要運(yùn)用大量的公式和公式的變形。不僅計(jì)算量大，而且學(xué)生也容易出錯(cuò)。因此，我們利用三角函數(shù)的定義，構(gòu)造出一個(gè)單位圓和一個(gè)直角三角形來組合圖形。認(rèn)真觀察和分析構(gòu)造出來的圖形，可以將代數(shù)的問題幾何化。

四、結(jié)語

為了提高學(xué)生數(shù)字與形狀相結(jié)合的思維能力，教師需要耐心、細(xì)心地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)如何將數(shù)字與形狀相結(jié)合，用思維理解數(shù)字與形狀，用思維運(yùn)用數(shù)字與形狀，用數(shù)形結(jié)合的思維掌握定量與圖形。數(shù)形結(jié)合的思想方法有利于學(xué)生深刻地理解題目含義，了解題目內(nèi)在要求，教師應(yīng)幫助學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)概念，增加學(xué)生解決問題的方法，鍛煉學(xué)生的邏輯思維以及提高解題能力。

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