向立政 鮑同強(qiáng)

摘? 要：2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷遵循《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中“一核”“四層”“四翼”的考查要求，豐富試題情境，突出育人導(dǎo)向;優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)人文關(guān)懷;聚焦核心素養(yǎng)，服務(wù)人才選拔，對(duì)引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)將發(fā)揮重要作用.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);全國(guó)Ⅰ卷;評(píng)價(jià)體系;核心素養(yǎng)

2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷遵循《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中的“一核”“四層”“四翼”考查要求，秉承近幾年高考的命題理念與改革經(jīng)驗(yàn)，對(duì)引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)揮了重要作用，為2021年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考進(jìn)一步指明了方向.

一、豐富試題情境，“五育”并重突出育人導(dǎo)向

全國(guó)Ⅰ卷從學(xué)科特點(diǎn)出發(fā)，試題的背景素材豐富多樣，在引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)落實(shí)“立德樹(shù)人”根本任務(wù)、踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀、促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展等方面發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.

例1 （文 / 理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖1所

示. 以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為（? ? ）.

【評(píng)析】該題以埃及胡夫金字塔為素材，將對(duì)四棱錐有關(guān)概念的考查融入具體情境之中，在考查四棱錐有關(guān)概念及數(shù)學(xué)建模、空間想象等關(guān)鍵能力的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生不僅要了解中華民族上下五千年的燦爛文化，也要了解世界燦爛文化，具有包容、開(kāi)放的心態(tài)，這本質(zhì)上是在對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育滲透.

在這方面，全國(guó)Ⅰ卷理科第19題以學(xué)生熟悉的羽毛球比賽為素材，引導(dǎo)學(xué)生要加強(qiáng)體育鍛煉，提高身體素質(zhì).

在2020年的高考數(shù)學(xué)試卷中，除全國(guó)Ⅰ卷外，全國(guó)Ⅱ卷文科第3題以鋼琴鍵盤(pán)上的原位大三和弦與原位小三和弦為素材，將數(shù)學(xué)與音樂(lè)中的韻律相結(jié)合，滲透了美育;全國(guó)Ⅱ卷理科第3題、全國(guó)Ⅲ卷理科第4題均涉及新冠肺炎疫情防控;全國(guó)Ⅱ卷理科第14題涉及垃圾分類(lèi);全國(guó)Ⅱ卷理科第18題涉及沙漠治理;全國(guó)Ⅲ卷理科第18題涉及空氣質(zhì)量. 通過(guò)這些多樣化的情境，引導(dǎo)學(xué)生不僅要學(xué)好書(shū)本知識(shí)，還要關(guān)注生活、關(guān)注社會(huì)、關(guān)注世界.

二、優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，“穩(wěn)”字當(dāng)先體現(xiàn)人文關(guān)懷

2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷中，無(wú)論是文科還是理科，通過(guò)對(duì)試卷整體結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步優(yōu)化與調(diào)整，其總體難度均比2019年有了明顯下調(diào)，突出了一個(gè)“穩(wěn)”字，符合疫情期間高中教學(xué)實(shí)際，充分體現(xiàn)了人文關(guān)懷，積極維護(hù)了疫情期間的社會(huì)穩(wěn)定. 具體特點(diǎn)如下.

1. 低起點(diǎn)、漸深入、大落差

從理科試卷的難度布局來(lái)看，選擇題難度平緩，與2019年基本持平，其中容易題8道、中檔題4道;填空題整體難度比選擇題要難，但與2019年相比有一定下降，且坡度明顯，其中容易題1道、中檔題2道、難題1道（第16題）;解答題起點(diǎn)較低，選考題難度比2019年有大幅度下降，且第20題和第21題的難度比2019年也明顯要低，所以解答題的整體難度與2019年相比有大幅度下降，但比填空題難度要大. 在6道解答題中，中檔題有4道，難題有2道（第19題和第21題），其中第19題為全卷難度最大的題目，呈現(xiàn)出兩頭低、中間高的特點(diǎn).

從文科試卷的難度布局來(lái)看，選擇題整體難度比2019年明顯要高，容易題僅3道（第1題、第2題和第4題）;填空題整體難度要大于選擇題，但與2019年相比有大幅度下降，且坡度較大，其中容易題1道（第13題）、中檔題2道、難題1道（第16題），第16題不僅是填空題難度最大的題目，也是全卷難度最大的題目，正確率極低;解答題整體難度比填空題大，以中檔題、難題為主（分別為3道），其整體難度與2019年相比有大幅度下降，其中第17題門(mén)檻較低，學(xué)生得分率較高，屬于容易題，有助于穩(wěn)定學(xué)生情緒，進(jìn)一步增強(qiáng)考試信心. 盡管第20題和第21題的得分情況仍不理想，但與往年的壓軸題難度相比有一定下降.

總體來(lái)說(shuō)，全國(guó)Ⅰ卷文、理科試題的選擇題難度低于填空題難度，填空題難度低于解答題難度，且同一種題型的幾道題目也基本上按照由易到難的順序排列，呈現(xiàn)出低起點(diǎn)、漸深入、大落差的布局特點(diǎn)，不同層次學(xué)生都有發(fā)揮的空間，既發(fā)揮了高考的選拔功能，也體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷.

2. 文、理科難度進(jìn)一步靠攏

2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷文（理）科第3題、第5題、第7題、第13題、第22題和第23題完全一樣，理科第10題為文科第12題，理科第18題為文科第19題，理科第20題為文科的第21題，文、理科相同試題達(dá)到9道，題量與2019年全國(guó)Ⅰ卷持平. 盡管文、理科試卷的整體難度分別比2019年要低，但相對(duì)于往年，文、理試卷的總體難度進(jìn)一步靠攏，文、理科并軌趨勢(shì)更加明顯，這也是在為2021年湖北、廣東等八省市新高考改革不分文、理科后的數(shù)學(xué)命題進(jìn)一步積累經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)順利實(shí)現(xiàn)由舊高考到新高考的平穩(wěn)過(guò)渡.

3. 題型分布“回歸常態(tài)”

2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷文科解答題的題型分布與2019年完全一致，理科解答題題型分布回歸到2017年及之前的模式，沒(méi)有像2018年和2019年那樣進(jìn)行大幅度的改革，突出體現(xiàn)了一個(gè)“穩(wěn)”字. 在總體保持穩(wěn)定的前提下，仍有一些小的變化，如理科第19題是一個(gè)純概率問(wèn)題，打破了多年來(lái)理科必有一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的解答題的慣例，意在引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)要跳出題海戰(zhàn)術(shù)與套路訓(xùn)練，走出猜題、押題的誤區(qū)，著力在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上下功夫.

三、聚焦核心素養(yǎng)，多點(diǎn)支撐服務(wù)人才選拔

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是高考數(shù)學(xué)學(xué)科的核心目標(biāo)，是高考考查的基本理念和總體要求. 為突出考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷著力從數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、關(guān)鍵能力、理性思維、探索精神等方面進(jìn)行整體架構(gòu)，形成多點(diǎn)支撐的考查特點(diǎn)，更好地服務(wù)于人才選拔.

1. 主干內(nèi)容更加突出

為引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)核心概念、基本原理、基本方法等主干內(nèi)容的教學(xué)，2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷注重知識(shí)考查的覆蓋面，文、理科試題均涉及了高中數(shù)學(xué)26章（理科為29章）內(nèi)容中的24章，覆蓋面均超過(guò)80%，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的全面性. 同時(shí)，更加突出了對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)等主干內(nèi)容的考查. 例如，理科第3題、第10題、第16題和第18題都從不同角度對(duì)空間幾何體的概念與度量、直線與平面的位置關(guān)系的論證、空間角的計(jì)算等內(nèi)容進(jìn)行了深入考查，體現(xiàn)了對(duì)主干知識(shí)考查的深刻性. 為凸顯數(shù)學(xué)核心內(nèi)容和主干知識(shí)在高中數(shù)學(xué)學(xué)科中的支撐作用，還從知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系出發(fā)，設(shè)計(jì)了一些形式新穎、立意精巧、交會(huì)自然的試題.

【評(píng)析】該題以三棱錐的平面展開(kāi)圖為背景，將解三角形知識(shí)與立體幾何知識(shí)有機(jī)結(jié)合，要求學(xué)生能通過(guò)幾何直觀尋找圖形中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而用余弦定理求出[cos∠FCB]，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的綜合性.

2. 思想方法全面滲透

2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷文、理科均十分注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查. 以轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想為例，理科卷中有16道試題對(duì)其進(jìn)行了考查，不同的問(wèn)題轉(zhuǎn)化與化歸的具體方式不一樣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法考查全面滲透的特點(diǎn). 同時(shí)，試題情境自然、表述簡(jiǎn)潔，不人為設(shè)置閱讀理解障礙，不拘泥于解題的一招一式，把考查的著力點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平上，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查既自然又深刻.

【評(píng)析】該題既可以利用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)將[a-b]轉(zhuǎn)化為[a-b2]進(jìn)行求解，即將向量的模的計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;也可以根據(jù)已知條件作出一個(gè)邊長(zhǎng)為1、一個(gè)內(nèi)角為[60°°]的菱形，再根據(jù)平面幾何知識(shí)由此菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)[a+b]快捷地求出另一條對(duì)角線長(zhǎng)[a-b]，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 盡管兩種解題思路都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，但具體轉(zhuǎn)化方法不一樣，對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的考查可謂自然、深刻，給人以小中見(jiàn)大之感.

再如，理科第19（2）題，若采用列舉法，則12種情形很難不重不漏地列舉出來(lái)，但若先求出“需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽”的對(duì)立事件“四場(chǎng)之內(nèi)結(jié)束比賽”的概率，則待求問(wèn)題變得較為簡(jiǎn)單（只有4種情形）. 而運(yùn)用對(duì)立事件求概率體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，其本質(zhì)是補(bǔ)集思想的運(yùn)用，是解題的一種常用思維方法.

3. 關(guān)鍵能力深度考查

關(guān)鍵能力是指運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和思想方法解決問(wèn)題所必須具備的個(gè)性心理特征和思維品質(zhì)，是發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)、培育核心價(jià)值所必須具備的能力基礎(chǔ)，在高考中起著舉足輕重的作用. 表面上看，2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷的試題顯得較為平和，學(xué)生大多熟悉，但對(duì)邏輯推理、運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力的要求較高，可謂平實(shí)之中見(jiàn)功底.

一是多題一考. 以理科試卷對(duì)運(yùn)算求解能力的考查為例，全卷除第5題外，其余各題均考查了運(yùn)算求解能力，凸顯了數(shù)學(xué)運(yùn)算在數(shù)學(xué)中的“童子功”地位;第3題、第5題、第7題、第11題、第12題、第13題、第18題、第19題、第20題和第21題等試題均考查了邏輯推理能力，第3題、第10題、第16題和第18題著重考查了學(xué)生的空間想象能力，第5題、第12題、第17題、第18題、第19題和第21題著重考查了數(shù)學(xué)建模能力，第12題和第21題均需要對(duì)已知等式（或不等式）進(jìn)行適度變形，然后再構(gòu)造函數(shù)，著重考查了學(xué)生的創(chuàng)新能力. 顯然，試卷對(duì)某一數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查并非一蹴而就，而是通過(guò)多個(gè)試題完成的，體現(xiàn)了多題一考的特點(diǎn)，且不同試題考查的角度、層次不一樣. 例如，第1題，需要學(xué)生先理解運(yùn)算對(duì)象[z2-2z]表示的含義是復(fù)數(shù)[z2-2z]的模，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式加以求解，因而該題對(duì)運(yùn)算求解能力的考查側(cè)重于對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解. 又如，第8題，學(xué)生只需要根據(jù)二項(xiàng)式定理及多項(xiàng)式乘法法則即可得到運(yùn)算結(jié)果，因而該題對(duì)運(yùn)算求解能力的考查側(cè)重于對(duì)運(yùn)算法則的掌握情況. 再如，第11題，學(xué)生需要根據(jù)已知條件并結(jié)合圖形，將所求量用[PM]表示，進(jìn)而求出[PM]最小時(shí)直線[AB]的方程，因而該題對(duì)運(yùn)算求解能力的考查著重表現(xiàn)在探究運(yùn)算思路.

二是一題多考. 從上述關(guān)鍵能力考查分布來(lái)看，一道試題又同時(shí)承載了對(duì)多項(xiàng)關(guān)鍵能力的考查功能，體現(xiàn)了一題多考的特點(diǎn).

【評(píng)析】一方面，該題考查了運(yùn)算求解能力，要求學(xué)生能根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行代數(shù)式的恒等變形;另一方面，該題考查了邏輯推理能力，要求學(xué)生能應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行放縮，能根據(jù)函數(shù)單調(diào)性由函數(shù)值的大小關(guān)系推斷自變量的兩個(gè)取值間的大小關(guān)系. 同時(shí)，該題還考查了數(shù)學(xué)建模能力，要求學(xué)生能根據(jù)不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù). 在解決該題的過(guò)程中，這三項(xiàng)關(guān)鍵能力環(huán)環(huán)相扣. 其中，運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行恒等變形及運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行放縮是正確解答的基礎(chǔ)，根據(jù)不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造新的函數(shù)是解答的關(guān)鍵，是學(xué)生創(chuàng)新能力的標(biāo)志.

通過(guò)多題一考和一題多考，對(duì)邏輯推理、運(yùn)算求解、空間想象等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力進(jìn)行了深度考查，也有效考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了高考試卷考查的綜合性.

4. 理性思維貫穿始終

理性思維是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特征，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，既是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ)，也是高考有效考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主線. 2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷文、理科試題除第5題外，其余22道題都需要以數(shù)學(xué)概念、公式、法則、性質(zhì)、原理等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)，通過(guò)觀察與分析、抽象與概括、推理與運(yùn)算、猜想與驗(yàn)證、探索與嘗試等數(shù)學(xué)活動(dòng)才能得以解決，因而能充分考查學(xué)生的理性思維，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查特點(diǎn)，有助于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展?jié)摿?

【評(píng)析】在該題第（1）小題的證明過(guò)程中，需要通過(guò)計(jì)算得到[PA2+PB2=AB2]且[PA2+PC2=AC2]，進(jìn)而得到結(jié)論[PA⊥PB]且[PA⊥PC]. 也就是說(shuō)該題的計(jì)算需要以推理為基礎(chǔ)，即推理是運(yùn)算的前提. 反過(guò)來(lái)，運(yùn)算結(jié)果又是推理的依據(jù). 該題正是通過(guò)推理與運(yùn)算的相互交融，有效考查了學(xué)生的理性思維.

5. 探索精神體現(xiàn)差異

探索精神是高考數(shù)學(xué)學(xué)科的重要關(guān)注點(diǎn)，主要通過(guò)探究性問(wèn)題、開(kāi)放性問(wèn)題及結(jié)構(gòu)不良試題來(lái)實(shí)現(xiàn). 2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷無(wú)論理科還是文科，都設(shè)置了一定數(shù)量的探究試題，如理科第11題、第12題、第20題和第21題，文科第16題、第20題和第21題，通過(guò)這些探究試題對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力進(jìn)行了深層次考查.

【評(píng)析】該題需要通過(guò)對(duì)已知遞推關(guān)系式中[n]的奇偶性的分析，發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的變化規(guī)律及相鄰兩個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的變化規(guī)律，并通過(guò)疊加法，求出該數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式及偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列的前[n]項(xiàng)和，進(jìn)而求出數(shù)列[an]的前[16]項(xiàng)和. 但這些規(guī)律與關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，不僅需要學(xué)生具有鍥而不舍、勇于嘗試的探索精神，而且還要學(xué)生具有善于觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的探究能力，有利于成績(jī)優(yōu)異學(xué)生的發(fā)揮.

（1）求[E]的方程;

（2）證明：直線[CD]過(guò)定點(diǎn).

【評(píng)析】該題的第（2）小題本質(zhì)上是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，其開(kāi)放性體現(xiàn)在直線[CD]所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)不明確，需要通過(guò)演算、推理等一系列探究活動(dòng)發(fā)現(xiàn)直線[CD]所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn). 在這一系列的探究過(guò)程中，不僅考查了直線的斜率公式、直線方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，而且也考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，還考查了邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，對(duì)學(xué)生運(yùn)算求解、分析探究能力的要求較高，因而具有較高的區(qū)分度，有助于拔尖人才的選拔.

年年歲歲花相似，歲歲年年人不同. 隨著高考改革與課程改革的穩(wěn)步推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)如何適應(yīng)《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的新要求？2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷為我們作出了明確的回答.

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