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        如何破解極值點(diǎn)偏移問題

        2021-09-10 07:22:44黃小妹
        關(guān)鍵詞:破解高中數(shù)學(xué)

        黃小妹

        摘 要:極值點(diǎn)偏移是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),常出現(xiàn)在高考的壓軸題中,對(duì)學(xué)生分析以及解答問題的能力要求較高.教學(xué)中為使學(xué)生掌握極值點(diǎn)偏移問題的解題思路,既要注重為學(xué)生系統(tǒng)的講解相關(guān)理論知識(shí),又要做好相關(guān)例題的歸納與總結(jié),使得學(xué)生掌握突破該類問題的技巧.

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);極值點(diǎn);偏移;破解

        中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2021)04-0007-02

        破解極值點(diǎn)偏移問題需要扎實(shí)掌握相關(guān)的理論.教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體的圖像為學(xué)生講解極值點(diǎn)偏移的情境以及存在的不等關(guān)系,在其頭腦中留下深刻的印象.同時(shí),認(rèn)真總結(jié)與匯總歷年高考中有關(guān)極值點(diǎn)偏移的習(xí)題題型,在課堂上為學(xué)生逐一的剖析、講解,使其掌握不同題型的解題思路,給其以后解答類似問題帶來良好啟發(fā).

        一、不含參數(shù)極值點(diǎn)偏移的處理

        不含參數(shù)極致點(diǎn)偏移問題常作為某一壓軸題的其中一小問,考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的靈活應(yīng)用情況.解答該類習(xí)題的方法多種多樣,其中構(gòu)造一元函數(shù)是常用的解題思路.解題時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究給出的已知函數(shù)圖像,對(duì)其增減、極值情況進(jìn)行大致判別.而后注重應(yīng)用題干中給出的已知條件通過等量代換將多元變量轉(zhuǎn)化為一元變量,構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù).以構(gòu)造的函數(shù)為研究對(duì)象,通過二次應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)找到其中的不等關(guān)系完成解答.

        例1 已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R),若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2>2.

        該題目題干較為簡潔,其中應(yīng)注重運(yùn)用“f(x1)=f(x2)”這一關(guān)系,將多元變量轉(zhuǎn)化為單一變量.對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo)得到f ′(x)=(1-x)e-x,容易得到函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減,則x→-∞,f(x)→-∞,f(0)=0,x→+∞,f(x)→0,可知x=1時(shí)f(x)取得極值,且f(1)=1e.設(shè)x12,x2>2-x1,只需證f(x2)0,則H(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,即,H(x)

        二、含有參數(shù)極值點(diǎn)偏移的處理

        含有參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題難度又提升了一個(gè)檔次.眾所周知,一般的極值點(diǎn)偏移問題涉及兩個(gè)變量,但含有參數(shù)后出現(xiàn)三個(gè)變量.很多學(xué)生遇到該類題目不知如何下手.事實(shí)上,解答該類問題應(yīng)結(jié)合經(jīng)驗(yàn),先通過化歸消去參數(shù),化陌生為熟悉,再進(jìn)行求解.該題目對(duì)學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)具有一定要求,因此,教學(xué)中應(yīng)注重多組織學(xué)生進(jìn)行該類習(xí)題的訓(xùn)練,使其積累豐富的經(jīng)驗(yàn).

        例2 已知函數(shù)f(x)=ex-ax的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1、x2,且x12.

        該題目難度較大.解答時(shí)應(yīng)將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題,而后構(gòu)建相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系,不斷的進(jìn)行轉(zhuǎn)化.可將已知條件可轉(zhuǎn)化為y=xex和y=1a有兩個(gè)交點(diǎn)問題,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知0

        ex1=ax1①

        ex2=ax2②

        ②-①得:ex2-ex1=a(x2-x1),

        即a=ex2-ex1x2-x1

        ①+②得:ex1+ex2=a(x1+x2),即ex1+ex2a=x1+x2,要證x1+x2>2,可轉(zhuǎn)化為證ex1+ex2a>2,即證ex1+ex2ex2-ex1>2x2-x1,即ex2-x1+1ex2-x1-1>2x2-x1,令t=x2-x1,t∈(0,+∞),設(shè)g(t)=t(et+1)-2(et-1),求得可得g′(t)>0,即,g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,即,g(t)>g(0)=0,得證.

        三、含對(duì)數(shù)式極值點(diǎn)偏移的處理

        含對(duì)數(shù)式極值點(diǎn)偏移問題可采用構(gòu)造函數(shù)法解答.當(dāng)然也可根據(jù)已知條件聯(lián)立等式,借助消參、恒等變形后運(yùn)用對(duì)數(shù)平均不等式鏈進(jìn)行求解.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,為使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)平均不等式鏈ab0)處理極值點(diǎn)偏移問題,教學(xué)中應(yīng)與學(xué)生一起推導(dǎo),使學(xué)生搞清楚該不等式的來龍去脈,牢固的掌握,為其用于解答極值點(diǎn)偏移問題奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

        例3 已知函數(shù)f(x)=xlnx和直線y=m交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),求證:0

        解答該題目時(shí)根據(jù)已知條件構(gòu)建等式關(guān)系進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可知x>0,顯然x1x2>0.

        又因?yàn)楹瘮?shù)與直線交于兩點(diǎn),則可得x1lnx1=m,x2lnx2=m,

        即x1=mlnx1①

        x2=mlnx2②

        則①-②得:

        x1-x2=m(lnx2-lnx1lnx1lnx2)

        兩邊同除以lnx1-lnx2,

        得到x1-x2lnx1-lnx2=-mlnx1lnx2③

        ①+②整理得到:

        x1+x2=m(lnx2+lnx1)lnx1lnx2④

        由對(duì)數(shù)均值不等式

        a+b2>a-blna-lnb(證明略),得到

        x1+x22>x1-x2lnx1-lnx2,

        將③④代入m(lnx2+lnx1)2lnx1lnx2>-mlnx1lnx2.

        對(duì)函數(shù)f(x)=xlnx求導(dǎo)得到:

        f ′(x)=lnx+1,x>0,

        令f ′(x)=0,解得x=1e,在(0,1e)上f ′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

        在(1e,+∞)上f ′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,則f(x)min=f(1e)=-1e,

        又∵f(1)=0,則在(0,1e)上函數(shù)f(x)<0,則可繪制出兩個(gè)函數(shù)圖像如圖1所示.

        易知,m<0,則lnx1+lnx2<-2,即lnx1x2<-2=lne-2,即,0

        極值點(diǎn)偏移是高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)部分的重點(diǎn)、難點(diǎn),是高考的熱門考點(diǎn).教學(xué)中為使學(xué)生掌握相關(guān)題型的解題方法,不斷提高學(xué)生的解題能力,既要與學(xué)生一起推導(dǎo)相關(guān)的結(jié)論,做好解題理論的講解,又要對(duì)相關(guān)習(xí)題分門別類,為學(xué)生做好解題示范,使學(xué)生掌握相關(guān)題型的解題規(guī)律,以后遇到類似問題能夠少走彎路,迅速破題.

        參考文獻(xiàn):

        [1]曾雪萍.利用對(duì)數(shù)平均不等式解決極值點(diǎn)偏移問題[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2020(09):157.

        [2]黨江平.極值點(diǎn)偏移問題的高等數(shù)學(xué)背景探究[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2020(05):34-36.

        [3]季明峰.極值點(diǎn)偏移問題的理論探究、實(shí)際運(yùn)用與解題反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2020(06):54-56.

        [4]白志峰,祁京生.例談處理極值點(diǎn)偏移問題的有效策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2020(03):17-18.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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