黃濤 湯曙光 何超林

摘? 要：對2020年全國各地區(qū)中考試卷中的“事件的概率”試題進(jìn)行基本統(tǒng)計分析，得到了關(guān)于考點、試題情境等統(tǒng)計分析結(jié)果，同時對試題進(jìn)行解法分析與思路總結(jié)，并以此對2021年的專題復(fù)習(xí)提出相關(guān)建議.

關(guān)鍵詞：事件的概率;數(shù)據(jù)分析;解題思路;解法賞析;復(fù)習(xí)建議

概率與統(tǒng)計的相關(guān)內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)課程中越來越受到重視，同時也是高中數(shù)學(xué)課程體系中的重要組成部分. 統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，概率的核心是隨機事件，其知識點覆蓋范圍較廣，大多數(shù)具有實用性的特點，與實際生活問題緊密結(jié)合，注重對基本概念和統(tǒng)計量計算的實踐應(yīng)用，從而為科學(xué)決策提供依據(jù)，對于培養(yǎng)學(xué)生的生活判斷意識有非常大的作用.

“事件的概率”是中考的必考內(nèi)容之一，與“數(shù)與代數(shù)”“圖形和幾何”相比，概率的內(nèi)容在中考中所占分值不多，考查難度相對較低.

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的要求，“事件的概率”的課程內(nèi)容為：（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解事件的概率;（2）知道通過大量的重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率. 從最新的考評趨勢來看，試題側(cè)重考查學(xué)生運用統(tǒng)計與概率知識分析和解決實際問題的能力，主要從基礎(chǔ)知識出發(fā)，考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識應(yīng)用能力及推理能力，試題的命制也越來越靈活和綜合，在試題情境設(shè)置方面?zhèn)戎貢r事情境與游戲（比賽）情境，在考點方面?zhèn)戎赜卯嫎錉顖D法或列表法分析、計算事件的概率，用樣本估計總體的統(tǒng)計思想的應(yīng)用，以及概率公式的理解與應(yīng)用等.

一、基本情況分析

基于《標(biāo)準(zhǔn)》，本文選取了2020年全國各地區(qū)43份中考試卷中的46道“事件的概率”試題為研究對象，采用比較分析法和定量分析法，從知識點與題型、情境設(shè)置及其主要解法三個視角對2020年全國各地區(qū)中考中的“事件的概率”試題進(jìn)行多角度分析，以揭示試題的分布規(guī)律和特點.

1. 知識點與題型分析

43份試卷的相關(guān)基本情況如表1所示. 其中，若該試題包含多個知識點，則在不同的知識點間進(jìn)行重復(fù)計算.

從表1中可以得到以下的結(jié)果.

從試題類型上看，考查的題型主要為解答題，所占比例接近一半，填空題次之. 在所統(tǒng)計的試卷當(dāng)中，廣東深圳卷、廣西南寧卷、湖南岳陽卷中“事件的概率”相關(guān)內(nèi)容出現(xiàn)了兩次考查，其他皆為每份試卷考查1道試題，說明各份試卷對于“事件的概率”的考查為必考，但所占比例不大.

從考查的知識點類型來看，大部分試題注重利用列表法或畫樹狀圖法列出所有事件的可能性，以及求對應(yīng)特定事件的概率，占到了48%，次之為概率計算公式（22%），符合《標(biāo)準(zhǔn)》的內(nèi)容要求，同時有14%的試題考查了概率公式的應(yīng)用. 在幾何概型、游戲的公平性、概率的意義方面，都只有1道試題對其進(jìn)行考查.

從考查的難度來看，所有試題的平均難度為0.60，其中占據(jù)主要地位的列表法或畫樹狀圖法求概率的難度為0.62，略低于平均難度. 另外，考查難度最高的為游戲的公平性，次之為隨機事件的理解及其應(yīng)用，體現(xiàn)了學(xué)生對事件的概率背后的實際意義缺乏認(rèn)知和理解.

2. 情境設(shè)置、主要解法情況分析

本部分內(nèi)容從情境設(shè)置及主要解法角度進(jìn)行分析. 其中，情境分為時事情境（國家政策、國家大事等）、游戲（比賽）情境、知識點情境（教材知識點）、普通生活情境（旅游景點選擇、工作安排等）四大類，具體情況如表2和表3所示.

由表2和表3可以得到以下的結(jié)果.

從情境的設(shè)置方面來看，主要集中在游戲（比賽）情境及時事情境，占到全部試題的69%，知識點情境設(shè)置最少.

從主要解法來看，各地區(qū)將列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率作為主要解法考查，但多數(shù)地區(qū)將常規(guī)的列舉法作為第一選擇.

二、典型試題分析

2020年全國各地區(qū)中考對“事件的概率”的考查總體上延續(xù)了近幾年的命題特點，即體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和綜合性，注重對隨機事件的理解的考查，重視對概率意義的理解. 在試題的考查上，設(shè)置了不同的情境作為載體，與生活聯(lián)系緊密、情境新穎、立意創(chuàng)新是此類試題的亮點.

例1 （江蘇·揚州卷）防疫期間，全市所有學(xué)校都嚴(yán)格落實測體溫進(jìn)校園的防控要求. 某校開設(shè)了[A，][B，C]三個測溫通道，某天早晨，該校小明和小麗兩位同學(xué)將隨機通過測溫通道進(jìn)入校園.

（1）小明從[A]測溫通道通過的概率是 ? ? ?;

（2）利用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小麗從同一個測溫通道通過的概率.

例2 （河北卷）如圖1，甲、乙兩人（看成點）分別在數(shù)軸-3和5的位置上，沿數(shù)軸做移動游戲. 每次移動游戲規(guī)則：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動.

① 若都對或都錯，則甲向東移動1個單位，同時乙向西移動1個單位;

② 若甲對乙錯，則甲向東移動4個單位，同時乙向東移動2個單位;

③ 若甲錯乙對，則甲向西移動2個單位，同時乙向西移動4個單位.

（1）經(jīng)過第一次移動游戲，求甲的位置停留在正半軸上的概率P;

（2）從圖1的位置開始，若完成了10次移動游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對一錯. 設(shè)乙猜對n次，且他最終停留的位置對應(yīng)的數(shù)為m，試用含n的代數(shù)式表示m，并求該位置距離原點O最近時n的值;

（3）從圖1的位置開始，若進(jìn)行了k次移動游戲后，甲與乙的位置相距2個單位，直接寫出k的值.

例1創(chuàng)設(shè)了防疫的時事情境，緊貼生活實際;例2創(chuàng)設(shè)了游戲情境，鏈接了數(shù)軸上的點的運動知識點，立意新穎.

1.“事件的概率”問題的求解思路分析

由于“事件的概率”試題具有典型的實際意義，與實際問題聯(lián)系緊密，可以通過創(chuàng)設(shè)不同的情境進(jìn)行事件概率計算的考查. 因此，“事件的概率”問題可以歸結(jié)為利用概率知識建立對應(yīng)的概率計算模型，并進(jìn)行實際問題的解決過程，類比用方程進(jìn)行現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型的描述，事件的概率是用概率的計算方法對實際情境的一種數(shù)學(xué)描述與分析.

利用事件的概率解決實際情境問題，應(yīng)該認(rèn)真分析和理解具體的實際情境，關(guān)鍵是要找出與之對應(yīng)的概率模型. 目前在初中階段考查的概率模型大致可以分為單次試驗古典概型、有放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?、無放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?、幾何概型四大類，由此將實際問題轉(zhuǎn)化為概率計算的數(shù)學(xué)問題，然后通過列舉法或列表法、畫樹狀圖法，以及幾何比例的方法進(jìn)行概率計算獲得結(jié)論，最后利用數(shù)學(xué)結(jié)論分析或回答實際問題，這是一個“實際問題—事件的概率（模型）問題—實際問題”的過程. 學(xué)生通過感受和體驗轉(zhuǎn)化過程，不僅可以加強對基礎(chǔ)知識與基本技能的運用能力，而且可以進(jìn)一步提升對基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累與理解，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析與解決問題的能力，進(jìn)而達(dá)到綜合素質(zhì)的提高.

根據(jù)以上的解題分析，我們可以建立利用概率知識解決實際問題情境的思路，如圖2所示.

進(jìn)一步，我們可以通過以下的典型試題進(jìn)行以上思路的具體分析，以期更好地剖析“事件的概率”試題的求解過程.

（1）對“實際問題情境”的理解和分析.

前述例1為當(dāng)下的熱點時事情境，例2創(chuàng)設(shè)了動點在數(shù)軸上移動的游戲情境.

例3 （湖南·岳陽卷）在-3，-2，1，2，3五個數(shù)中隨機選取一個數(shù)作為二次函數(shù)[y=ax2+4x-2]中[a]的值，則該二次函數(shù)圖象開口向上的概率是 ? ? .

例4 （云南卷）甲、乙兩個家庭來到以“生態(tài)資源，綠色旅游”為產(chǎn)業(yè)的美麗云南，各自隨機選擇到大理、麗江、西雙版納三個城市中的一個城市旅游. 假設(shè)這兩個家庭選擇到哪個城市旅游不受任何因素影響，上述三個城市中的每一個被選到的可能性相同，甲、乙兩個家庭選擇到上述三個城市中的同一個城市旅游的概率為P.

（1）直接寫出甲家庭選擇到大理旅游的概率;

（2）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，求P的值.

例3以二次函數(shù)的開口方向作為考查載體，例4選擇了普通的生活情境作為試題載體. 則例1 ～ 例4的情境理解可以歸結(jié)如表4所示.

[題號 情境類型 情境理解 例1 時事情境 ? ? 兩位同學(xué)通過A，B，C三個不同的測溫通道所產(chǎn)生的隨機事件計算 例2 游戲情境 ? ? 甲、乙兩人根據(jù)兩種猜測結(jié)果按照游戲規(guī)則進(jìn)行四種不同方式移動所產(chǎn)生的隨機事件計算 例3 知識點情境 ? ? 根據(jù)a的正負(fù)性從五個數(shù)中選取正數(shù)所產(chǎn)生的隨機事件計算 例4 普通生活情境 ? ? 甲、乙兩個家庭對三個旅游城市分別進(jìn)行選擇所產(chǎn)生的隨機事件計算 ][? ? 表4]

2020年全國各地區(qū)中考“事件的概率”試題以不同情境作為載體，聯(lián)系實際及其他知識點，進(jìn)行了不同知識點間的交會，豐富了考點，更加強調(diào)了知識間的聯(lián)系及綜合應(yīng)用.

對于試題情境設(shè)置的理解，需要仔細(xì)審讀試題，提取其中的情境信息，化繁為簡，必要的時候需要聯(lián)系生活實際輔助理解.

（2）對實際問題情境進(jìn)行抽象概括，得到對應(yīng)的概率模型.

對實際問題情境進(jìn)行抽象概括，進(jìn)而得到對應(yīng)的概率模型，不僅需要從題干的實際問題情境出發(fā)，而且需要充分考慮試題所設(shè)置的概率問題，兩者相結(jié)合才能更好地確定所對應(yīng)的概率模型.

例如，例2的游戲情境，從題干來看，“甲、乙兩人根據(jù)兩種猜測結(jié)果按照游戲規(guī)則進(jìn)行三種不同方式移動所產(chǎn)生的隨機事件計算”中的甲、乙兩人所產(chǎn)生猜測結(jié)果應(yīng)該為單次試驗古典概型（甲對乙對、甲對乙錯、甲錯乙對、甲錯乙錯），結(jié)合對應(yīng)的問題“經(jīng)過第一次移動游戲，求甲的位置停留在正半軸上的概率P”需要對甲、乙的猜測結(jié)果進(jìn)行考慮，進(jìn)一步可以確定屬于單次試驗古典概型.

又如，下面的例5從題干分析甲、乙兩人同時選擇景點整體來看可以歸入到有放回重復(fù)試驗類型，從問題“求甲選擇的2個景點是A，B的概率”，可以對景點進(jìn)行分步選擇，故可以確定為無放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?，所以需要對題干情境及問題共同進(jìn)行分析才能準(zhǔn)確得到對應(yīng)的概率模型. 因此，對情境的理解及對概率模型的確定是解決問題的第一個關(guān)鍵點及難點，同時也容易因為未能結(jié)合問題進(jìn)行概率模型的確定而出錯，故亦是此類題目的一個易錯點.

例5 （江蘇·南京卷）甲、乙兩人分別從[A，B，][C]這3個景點中隨機選擇2個景點游覽.

（1）求甲選擇的2個景點是[A，B]的概率;

（2）甲、乙兩人選擇的2個景點恰好相同的概率是 ? ? .

根據(jù)以上分析，我們對例1 ～ 例4結(jié)合對應(yīng)的概率問題進(jìn)行概率模型的確定，如表5所示.

除了以上兩種概率模型，同時還有以下的幾何概型及不放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?

例6 （山西卷）圖3是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次連接菱形各邊中點得到一個小矩形. 將一個飛鏢隨機投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是（? ? ）.

（A）[13]? ?（B）[14]? ?（C）[16]? ?（D）[18]

例7 （寧夏卷）有三張大小、形狀完全相同的卡片. 卡片上分別寫有數(shù)字4，5，6，從這三張卡片中隨機先后不放回地抽取兩張，則兩次抽出數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是 ? ? ? .

概括抽象出試題情境的概率模型是建立在對情境的充分理解下的，并且需要結(jié)合具體的問題才能準(zhǔn)確完成，這是解決此類問題的一個關(guān)鍵點，同時也是一個易錯點，需要學(xué)生對各種概率模型有充分的理解和判斷能力，這需要教師在平時加強對題干概率模型的識別訓(xùn)練.

（3）事件概率的計算.

對實際情境進(jìn)行概率模型的確定，對后續(xù)選用解決問題的方法具有很好地指引作用. 由于《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，很多概率問題都會在題干中進(jìn)行求解方法的設(shè)定，但在對應(yīng)的方法下，確定概率模型可以為具體的設(shè)定方法提供更有效、更清晰的幫助. 根據(jù)前文所確定的概率模型，可以選擇如表6所示的方法.

選擇了合適的事件的概率計算方法后，如何準(zhǔn)確描述出所有隨機事件成為了試題解決的另外一個關(guān)鍵，如何做到對所有隨機事件統(tǒng)計的“不重不漏”將是學(xué)生必須重點關(guān)注的問題.

例如，例4第（1）小題為古典概型，甲可以選擇的全部可能性為大理、麗江、西雙版納，則符合要求的只有大理，故概率為[13;] 又如，例5第（1）小題中甲從三個景點A，B，C中選擇兩個景點的全部隨機事件為AB，AC，BC，符合條件的只有AB，則概率為[13.] 以上兩個例子比較簡單，通過簡單的邏輯就能統(tǒng)計出所有的隨機事件.

利用列表法或畫樹狀圖法是課程要求當(dāng)中描述試驗的所有可能結(jié)果的重要方法，但在不同的概率模型中有不同的注意點.

例如，例4當(dāng)中的有放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?，記到大理、麗江、西雙版納三個城市旅游分別為A，B，C，如表7所示.

又如，求解例7時，使用列表法統(tǒng)計試驗的所有可能結(jié)果如表8所示. 由于例7屬于不放回重復(fù)試驗，故需要舍棄部分不符合要求的隨機事件，這是一個易錯點，在確定了概率的模型的情況下，就比較容易知道需要去除不符合要求的隨機事件.

再如，下述例9第（4）小題可以確定為不放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?，但需要對統(tǒng)計對象進(jìn)行區(qū)分，才能更好地對試驗的所有可能結(jié)果進(jìn)行描述，如可以將問題中的“2位男性，2位女性”記為“男1，男2，女1，女2”，進(jìn)而通過畫樹狀圖法進(jìn)行求解.

在確定了試題情境與問題求解的概率模型后，對試驗的所有可能結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確描述是求解此類試題的另外一個關(guān)鍵點. 單次試驗古典概型只需要對對象按照一定的規(guī)律進(jìn)行普通列舉就能做到不重不漏，幾何概型亦是如此，隨機事件的描述可以轉(zhuǎn)為對線段程度或幾何圖形的面積的幾何刻畫. 但對于不放回（重復(fù)）試驗?zāi)Ｐ图胺呕刂貜?fù)試驗?zāi)Ｐ鸵M(jìn)行區(qū)分，關(guān)注是否需要去除不符合要求的部分隨機事件，對象有混淆的時候需要對對象進(jìn)行編號從而加以區(qū)分，這兩點都是對試驗的所有可能結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確描述時的易錯點.

（4）實際問題的解答.

對于大部分的“事件的概率”試題，只需要進(jìn)行概率的計算，但也有部分試題需要利用所計算的概率進(jìn)行對實際問題進(jìn)一步的判斷及決策，從而為實際問題的解決提供科學(xué)有效的決策建議.

例如，下述例8第（4）小題需要對摸出的兩個球上的數(shù)字和為奇數(shù)的概率進(jìn)行計算，并以該概率對游戲的公平性做出判斷.

例8 （四川·德陽卷）為了加強學(xué)生的垃圾分類意識，某校對學(xué)生進(jìn)行了一次系統(tǒng)全面的垃圾分類宣傳，為了解這次宣傳的效果，從全校學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行了一次測試，測試結(jié)果共分為四個等級：A. 優(yōu)秀;B. 良好;C. 及格;D. 不及格. 根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，繪制了如表9所示的不完整的統(tǒng)計表.

試結(jié)合統(tǒng)計表，回答下列問題.

（1）（2）（3）略.

（4）為了進(jìn)一步在學(xué)生中普及垃圾分類知識，學(xué)校準(zhǔn)備再開展一次關(guān)于垃圾分類的知識競賽，要求每班派一人參加. 某班要從在這次測試成績?yōu)閮?yōu)秀的小明和小亮中選一人參加. 班長設(shè)計了如下游戲來確定人選，具體規(guī)則是：把四個完全相同的乒乓球分別標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，然后放到一個不透明的袋中充分搖勻，兩人同時從袋中各摸出一個球. 若摸出的兩個球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則小明參加，否則小亮參加. 試用樹狀圖或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平.

對于第（4）小題的實際問題的解答，關(guān)鍵在于對事件的概率的計算，概率計算的準(zhǔn)確與否直接決定了問題的解決. 此類問題的設(shè)置具有很強的現(xiàn)實意義，對實踐有較強的指導(dǎo)意義，這是此類試題的一個亮點，也充分體現(xiàn)了其實用性，培養(yǎng)了學(xué)生對基本概念和統(tǒng)計量計算的實踐應(yīng)用能力，進(jìn)而積累為科學(xué)決策提供依據(jù)的基本活動經(jīng)驗.

2.“事件的概率”典型試題解法賞析

上述部分已經(jīng)對“事件的概率”問題進(jìn)行了整體的求解思路分析，明確了解答該類問題的主要步驟，并且對其中的關(guān)鍵點和易錯點進(jìn)行了舉例說明. 下面將以兩道典型試題為例，對“事件的概率”問題進(jìn)行解答和評析.

例9 （甘肅·天水卷）為了解天水市民對全市創(chuàng)建全國文明城市工作的滿意程度，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在某個小區(qū)內(nèi)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計. 將調(diào)查結(jié)果分為不滿意、一般、滿意，非常滿意四類，回收、整理好全部問卷后，得到不完整的統(tǒng)計圖，如圖4和圖5所示.

試結(jié)合圖中的信息，解決下列問題.

（1）此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為 ? ? ?;

（2）補全條形統(tǒng)計圖;

（3）扇形統(tǒng)計圖中“滿意”部分圓心角的度數(shù)為? ? ? ? ? ? ;

（4）該興趣小組準(zhǔn)備從調(diào)查結(jié)果為“不滿意”的4位市民中隨機選擇2位進(jìn)行回訪，已知這4位市民中有2位男性，2位女性. 試用畫樹狀圖的方法求出選擇回訪的市民為“一男一女”的概率.

考點：扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，列表法與畫樹狀圖法.

專題：概率及其應(yīng)用，運算能力.

分析：（1）由非常滿意的有18人，占總?cè)藬?shù)的36%，即可求得此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù);

（2）用總?cè)藬?shù)減去其他滿意程度的人數(shù)，求出“滿意”的人數(shù)，從而補全條形統(tǒng)計圖;

（3）用360°乘以滿意的人數(shù)所占的百分比即可得出答案;

（4）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選擇回訪市民為“一男一女”的情況，再利用概率公式即可求得答案.

解：（1）因為非常滿意的有18人，占36%，

所以接受調(diào)查的人數(shù)為18 ÷ 36% = 50（人）.

（2）此次調(diào)查中結(jié)果為滿意的人數(shù)為50 - 4 - 8 - 18 = 20（人）.

補全條形統(tǒng)計圖如圖6所示.

（3）扇形統(tǒng)計圖中“滿意”部分的圓心角為[360°×][2050=144°.]

（4）將2位男性記為男1，男2，2位女性記為女1，女2. 畫樹狀圖如圖7所示.

因為共有12種等可能的結(jié)果，選擇回訪市民為“一男一女”的有8種情況，

所以選擇回訪的市民為“一男一女”的概率為[812=23.]

此題的前三道小題考查的是統(tǒng)計中的條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的知識，不做過多的點評. 結(jié)合我們之前確立的解決“事件的概率”問題的基本思路和步驟，重點來關(guān)注下第（4）小題的解答. 從以下三個方面進(jìn)行分析.

第1方面：“事件的概率”問題解決的基本思路.

首先，試題的背景情境是針對熱點問題創(chuàng)建全國文明城市的回訪調(diào)查，從“不滿意”的4位市民中（2男2女）隨機選擇2位進(jìn)行回訪，求2位回訪市民是“一男一女”的概率. 根據(jù)對問題情境的理解和分析，不難得出該問題為不放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ? 確定為不放回重復(fù)試驗后，根據(jù)題干的要求，選用畫樹狀圖法分兩步將該試驗的所有等可能結(jié)果不重不漏地列出來，再找出符合“一男一女”事件的可能結(jié)果，最后利用概率公式即可求得答案.

第2方面：“問題的關(guān)鍵點和易錯點.

對于“事件的概率”問題，一定要弄清是有放回的摸出或抽取還是無放回的摸出或抽取，強調(diào)“放回”試驗中所選取的元素可以重復(fù)出現(xiàn)，而“不放回”試驗中被選取的元素不可以重復(fù)出現(xiàn)，從而避免在列舉時出現(xiàn)遺漏或重復(fù). 此題的情境，關(guān)鍵是要確定其為不放回重復(fù)試驗，進(jìn)而舍去一些不符合該試驗的結(jié)果，準(zhǔn)確地列出該試驗的所有等可能結(jié)果. 因此，將概率模型當(dāng)成是有放回重復(fù)試驗是此題的易錯點之一，另外一個易錯點在于用畫樹狀圖法列舉所有可能結(jié)果時，沒有對2位男性和2位女性進(jìn)行編號，從而出現(xiàn)混亂，不能準(zhǔn)確刻畫該試驗的所有等可能結(jié)果.

第3方面：“解題反思.

當(dāng)學(xué)生對“事件的概率”問題情境足夠熟悉時，更容易剔除試題背景中的干擾因素，明確其屬于哪種概率模型（放回或不放回），從而在列舉試驗的所有可能結(jié)果時不會出現(xiàn)偏差. 故學(xué)生要多關(guān)注社會熱點問題，增加對“生活中的數(shù)學(xué)”的理解和認(rèn)識，重視數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

此題明確要求用畫樹狀圖的方法求概率，從《標(biāo)準(zhǔn)》的要求來看，學(xué)生必須掌握列表法和樹狀圖法. 該題若是用列表法，由于是不放回試驗，故表格對角線的位置是沒有內(nèi)容的. 學(xué)生還要特別注意一點，列舉所有可能的結(jié)果并不是只有列表法或畫樹狀圖法兩種方法，還有直接列舉法. 例如，此題可以直接列舉所有可能結(jié)果：男1男2，男1女1，男1女2，男2女1，男2女2，女1女2，共有六種可能，而符合“一男一女”事件的有四種可能，然后用概率公式也可以求得答案. 直接列舉法在某些利用列表法或畫樹狀圖法不太好呈現(xiàn)所有可能的結(jié)果時非常有效. 但是由于這種方法用得較少，所以學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)過程中要加強對一些基本方法的解法歸納和總結(jié).

例10 （內(nèi)蒙古·呼和浩特卷）公司以3元 / kg的成本價購進(jìn)10 000 kg柑橘，并希望出售這些柑橘能夠獲得12 000元利潤，在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，需要先進(jìn)行“柑橘損壞率”統(tǒng)計，再大約確定每千克柑橘的售價，表10是銷售部通過隨機取樣，得到的“柑橘損壞率”統(tǒng)計表的一部分，由此可估計柑橘完好的概率為 ? ? （精確到0.1）;從而可大約估計每千克柑橘的實際售價為 ? ? 時（精確到0.1），可獲得12 000元利潤.

考點：頻數(shù)（率）分布表;利用頻率估計概率.

專題：概率及其應(yīng)用;數(shù)據(jù)分析觀念.

分析：利用頻率估計概率得到隨試驗次數(shù)的增多，柑橘損壞的頻率越來越穩(wěn)定在0.1左右，由此估計柑橘完好率大約是0.9. 設(shè)每千克柑橘的銷售價為x元，然后根據(jù)“售價 - 進(jìn)價 = 利潤”列方程解答.

解：從表格中可以看出，柑橘損壞的頻率在常數(shù)0.1左右擺動，并且隨統(tǒng)計量的增加這種規(guī)律逐漸明顯，所以柑橘完好的概率應(yīng)是1 - 0.1 = 0.9.

設(shè)每千克柑橘的銷售價為x元，則應(yīng)有10 000 ×0.9x - 3 × 10 000 = 12 000，

解得[x=143≈4.7.≈]

所以去掉損壞的柑橘后，水果公司為了獲得12 000元利潤，完好柑橘每千克的售價應(yīng)為4.7元.

故答案為：0.9;4.7.

此題第（1）小題考查的是用頻率估計概率的知識，要求學(xué)生理解隨著試驗次數(shù)的變化，頻率也在變化，當(dāng)試驗次數(shù)充分大時，頻率逐漸穩(wěn)定在某一數(shù)值左右，這一數(shù)值就是概率值. 第（2）小題考查的是概率與一元一次方程的實際問題的綜合應(yīng)用，對學(xué)生來說有一定的難度. 從以下兩個方面進(jìn)行分析.

第1方面：問題的關(guān)鍵點及易錯點.

第（1）小題中，學(xué)生很容易出現(xiàn)審題不細(xì)致的錯誤，以為是求柑橘的損壞率，故得出0.1的錯解.

第（2）小題利用等量關(guān)系列一元一次方程的過程中，對等量關(guān)系“售價 - 進(jìn)價（成本）= 利潤”的理解不夠透徹，不能正確表示出每個數(shù)量，這是另一個易錯點. 解決問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地表示出售價與利潤之間的等量關(guān)系.

第2方面：解題反思.

就問題情境來說，利潤問題是學(xué)生比較熟悉的實際問題，“柑橘損壞率”的概念也比較貼合生活實際，學(xué)生容易接受. 用頻率估計概率的例子還有投擲硬幣試驗等，這類試題都是經(jīng)過大量的重復(fù)試驗后，頻率會穩(wěn)定在某一數(shù)值附近，即為事件發(fā)生的概率. 教師在平時的教學(xué)過程中可以讓學(xué)生多做些有代表性的、易于操作的數(shù)學(xué)試驗，在試驗過程中感受概率與頻率的關(guān)系，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高學(xué)習(xí)興趣與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

學(xué)生要注重訓(xùn)練自身通過圖表獲取信息、分析數(shù)據(jù)的能力. 學(xué)生要認(rèn)真關(guān)注每個數(shù)據(jù)所代表的信息和實際意義，以及通過分析數(shù)據(jù)的變化趨勢，得出一般結(jié)論和答案.

此題是把一元一次方程的實際問題（利潤問題）和概率內(nèi)容進(jìn)行綜合考查，需要學(xué)生在理解概率意義的同時，具備用方程解決問題的思想和數(shù)學(xué)建模的能力. 概率與其他領(lǐng)域知識的綜合已然成為一種考評趨勢. 例如，概率與統(tǒng)計的綜合、概率與代數(shù)的綜合、概率與幾何的綜合等，需要學(xué)生具有綜合應(yīng)用知識解決問題的能力，以及轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學(xué)思想. 對于與統(tǒng)計、代數(shù)、幾何等領(lǐng)域進(jìn)行聯(lián)系的綜合性題目，不必被表面的復(fù)雜性所迷惑，萬變不離其宗，只要抓住其中的關(guān)鍵信息，問題一定會迎刃而解.

三、專題分析結(jié)論與復(fù)習(xí)建議

根據(jù)以上的分析，我們可以得到以下的基本結(jié)論，以及后續(xù)對該專題的復(fù)習(xí)建議.

1. 試題的統(tǒng)計分析結(jié)論及其建議

根據(jù)前面的分析結(jié)果，我們可以得到以下的結(jié)論.① 2020年全國各地區(qū)中考對本專題內(nèi)容考查的題型主要是解答題，側(cè)重考查利用列表法或畫樹狀圖法分析和求解隨機事件的概率，以及用樣本估計總體，整體考查難度約為0.60，難度適中. ② 從試題的考查載體來看，主要集中在時事背景與游戲（比賽）背景，其中多數(shù)地區(qū)傾向于時事背景，部分地區(qū)傾向于游戲（比賽）背景，在解法方面主要側(cè)重用列舉法、列表法或畫樹狀圖法求隨機事件的概率.

根據(jù)以上結(jié)論，我們提出以下復(fù)習(xí)建議. ① 專題復(fù)習(xí)要側(cè)重對解答題的訓(xùn)練，側(cè)重對圖表的理解與應(yīng)用，加強對列表法或畫樹狀圖法的理解與應(yīng)用，以及其書寫格式表達(dá)，同時要加強學(xué)生對用樣本估計總體的統(tǒng)計思想的理解. ② 專題復(fù)習(xí)要加強對相關(guān)選擇題和填空題的訓(xùn)練，注重學(xué)生答題的準(zhǔn)確性，減少失誤，同時要提高對本專題的重視程度，進(jìn)行有針對性地練習(xí)，要適當(dāng)提高練習(xí)難度，注重學(xué)生對統(tǒng)計與概率知識的綜合應(yīng)用. ③ 在備考訓(xùn)練中，多從時事背景、游戲（比賽）背景進(jìn)行選擇與訓(xùn)練，要加強學(xué)生對這兩類情境的理解.

2. 試題分析與求解的幾點建議

根據(jù)對試題的思路分析與總結(jié)，學(xué)生需要關(guān)注以下幾點.

熟悉此類試題的求解思路“情境理解—概括概率模型—概率計算—解決實際問題”，并熟悉常見的四種概率模型，即單次試驗古典概型、有放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ?、無放回重復(fù)試驗、幾何概型，并在平常的訓(xùn)練當(dāng)中進(jìn)行題目的梳理與總結(jié).

重視這類試題的兩個解題關(guān)鍵點：概率模型的識別;對試驗的所有可能結(jié)果的準(zhǔn)確描述. 前者需要學(xué)生對不同的概率模型有充分的認(rèn)識和理解，后者需要熟練掌握普通列舉法、列表法或畫樹狀圖法、幾何比例等描述方法，并且做到不重不漏.

對此類問題的易錯點要時刻牢記以下幾個方面：① 概率模型的識別需要結(jié)合題干與問題共同考慮;② 對于試驗的所有可能結(jié)果的刻畫，需要考慮概率模型的特點，遵循一定的列舉規(guī)則，不是想到一件列一件，熟練掌握《標(biāo)準(zhǔn)》要求的列表法與畫樹狀圖法;③ 對于有放回與無放回重復(fù)試驗?zāi)Ｐ偷碾S機事件刻畫，要關(guān)注是否需要去除部分不符合要求的隨機事件;④ 對于部分需要區(qū)分研究對象的試題，需要對同類研究對象進(jìn)行編號，方便識別，從而進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫.

前三點是基于試題解法給出的建議，此外，不同地區(qū)對此類試題的表達(dá)形式可能會有細(xì)微的差別，但總體來說都會有相對規(guī)范、統(tǒng)一的書寫要求. 學(xué)生在平時的練習(xí)當(dāng)中，要緊跟教師的要求，形成準(zhǔn)確的表達(dá)習(xí)慣，以避免在考試中造成不必要的失分.

總體而言，在“事件的概率”的考查上，各地區(qū)考查方向統(tǒng)一，對學(xué)生要求不高，普遍側(cè)重時事背景與游戲（比賽）背景的創(chuàng)設(shè)，緊跟《標(biāo)準(zhǔn)》要求進(jìn)行考查. 一方面，關(guān)注考查基礎(chǔ)知識與基本技能，具有比較統(tǒng)一的解題方法及分析思路;另一方面，也注重對隨機事件的理解及用樣本估計總體等思想的滲透，試題形式多樣、立意較新. 在中考備考過程中，教師需要注重知識與生活實際的聯(lián)系，注重對基礎(chǔ)知識和基本技能的講解，加強對學(xué)生統(tǒng)計與概率相關(guān)的思想滲透，培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，才能真正提高學(xué)生的綜合能力. 同時也需要把握側(cè)重考點與考查形式，這樣才能更好地應(yīng)對中考. 在提高學(xué)生應(yīng)考能力的同時，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，進(jìn)而達(dá)到綜合素質(zhì)的提高.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]丁克. 2018年中考“事件的概率”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2019（3）：22-30.

[3]王學(xué)先. 2015年中考數(shù)學(xué)試題“事件的概率”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（3）：27-33.

[4]葉茂恒，許芬英. 2011年中考數(shù)學(xué)試題分類解析：統(tǒng)計與概率[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版）2012（2）：66-80.