李智偉

摘? 要：采取“課前學生自主研學（教師事先設計研學案，引導學生研究性學習），小組成員交流研學成果;課上各小組展示研學成果，師生互動答疑解惑;課后繼續(xù)拓展研究”的研究性學習方式來探究正方體的截面，積累關于正方體截面探究的數(shù)學探究活動經(jīng)驗. 與此同時，形成截面研究的單元整體設計.

關鍵詞：正方體截面;數(shù)學探究活動;單元整體設計;研究性學習

讓學生體驗生活、動手實驗、勇于探索、合作參與，使他們成為研究者和實踐者. 研究性學習的學習方式改變了傳統(tǒng)的課堂學習方式，讓學生真正參與到研究和實踐中. 而《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中提到的高中數(shù)學課程的基本理念中包括了“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”“注重提高學生的數(shù)學思維能力”. 基于這兩者的聯(lián)系，探究課這一數(shù)學課型便成為了高中數(shù)學新課程改革中的重要內(nèi)容. 本文記錄的“正方體截面的探究”教學設計與反思，是結(jié)合研究性學習和數(shù)學探究活動的一種體現(xiàn)數(shù)學育人功能的嘗試.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本課題是一個數(shù)學探究活動，研究內(nèi)容基于《標準》附錄中“教學與評價案例”的案例11“正方體截面的探究”，本節(jié)課是研究性學習單元整體設計的課程中正方體截面問題的展示部分.

2. 內(nèi)容解析

人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修教材的知識體系中，先給出了基本立體圖形中常見的空間幾何體，包括柱體、錐體、臺體（含截面的應用）、球等多面體與旋轉(zhuǎn)體. 緊接著又研究了立體圖形的直觀圖，介紹了斜二測畫法，在認知了空間圖形的基礎上，又給出了研究立體圖形的作圖方法. 而本次數(shù)學探究活動就是結(jié)合“截面”這一工具，在認知立體圖形后研究正方體的問題. 因此，如何綜合利用基本立體圖形的結(jié)構特征和基本圖形位置關系中的結(jié)論、定理，引導學生探究、發(fā)現(xiàn)、證明正方體截面的形狀、大小等的變化規(guī)律，是本次數(shù)學探究活動的基礎，也是本節(jié)課研究性學習展示的關鍵.

作為一個數(shù)學探究活動，可以在一堂課中完成其中的一部分，在課余時間讓學生獨立完成整個探究，形成單元整體學習，并寫出研究報告. 本課時重點展示課堂中完成的部分. 要注意引導學生提出一些問題，可以根據(jù)當?shù)貤l件采取不同的探究策略. 例如，實物操作、模型操作或借助信息技術進行模擬，以及直接觀察等. 探究的難點是分類找出所有可能的截面，并證明哪些形狀的截面一定存在或者一定不存在. 可以鼓勵學生通過操作觀察形成猜想、證明結(jié)論，在逐漸深入的探究過程中，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力，在具體情境中提升直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)，積累數(shù)學探究活動經(jīng)驗.

根據(jù)以上分析，確定探究活動的重點為：正方體的截面特征及其研究方法.

二、探究目標設置

本節(jié)課探究目標設置如下.

（1）結(jié)合正方體截面設計的問題串，學生能給出正方體截面的分類原則，能找到截得這些形狀截面的方法，會畫出這些截面的示意圖，對正方體截面產(chǎn)生較為系統(tǒng)的認識.

（2）通過對實際問題的探究，學生能發(fā)現(xiàn)、猜想和探索正方體截面的變化規(guī)律，會計算、推理和論證正方體截面的相關性質(zhì)，積累數(shù)學探究活動經(jīng)驗.

（3）借助信息技術、實物操作、網(wǎng)絡資源及小組合作等學習方式，創(chuàng)建問題情境，激發(fā)學生的學習熱情，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識，并提升學生的直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等素養(yǎng).

三、學生學情分析

正方體截面形狀的探究是一個跨度很大的數(shù)學探究活動，可以針對不同學生設計不同的教學方式，通過多種方法實施探究. 例如，可以通過切蘿卜塊觀察，啟發(fā)思路;也可以在透明的正方體盒子中注入有顏色的水，觀察不同擺放位置、不同水量時液體表面的形狀;還可以借助信息技術直觀、快捷地展示各種可能的截面.

本次探究活動的對象為湖北省宜昌市第一中學高二學生，學生具有一定的自主探究與合作學習能力，基本上了解空間圖形的研究方法，具備利用信息技術結(jié)合代數(shù)方法還原實際空間立體幾何問題的能力. 結(jié)合長期在研究性學習活動的實踐中積累的活動經(jīng)驗，學生能夠在課前對正方體截面進行較為完整的研究性學習. 這些都是我們本節(jié)課探究空間截面問題的基礎. 但是學生還比較缺乏提出新問題的意識與利用已有方法解決新問題的能力.

根據(jù)以上分析，確定探究活動的難點為：正方體截面形狀的確定和研究方法.

四、教學策略分析

基于單元整體設計，本課題設計了在一個開放情境下的探究單元，即包括正方體所有截面形狀的探究、正方體截面相關性質(zhì)的探究、正方體表面上作截面的問題探究等，包含課前、課中、課后三個階段，內(nèi)容十分豐富.

采取“課前學生自主研學（教師事先設計“研學案”，引導學生研究性學習）—小組成員交流研學成果—課上各小組展示研學成果—師生互動答疑解惑—課后繼續(xù)拓展研究”的方式來探究正方體的截面.

課程立足于研究空間截面問題的基本方法（公理系統(tǒng)、確定平面方法等）展開對正方體截面的探究，旨在培養(yǎng)學生研究數(shù)學問題的基本能力與素養(yǎng).

課堂時間有限，可適當對課堂展示內(nèi)容進行取舍. 例如，僅設計學生展示研究截面形狀分類及其特征、從棱上取點作截面、利用空間坐標系研究截面等問題，其他問題留作截面探究單元的后續(xù)研究.

利用研究方案中設計的問題串引導學生通過實例和事實正確理解截面，然后從學生自主展示的研究性學習成果出發(fā)，引導學生了解正方體不同的截面變化情況、激發(fā)學生的發(fā)散思維，經(jīng)過推理論證和動手實踐后，完成課堂預設情境問題，帶領學生掌握研究截面和作截面的一般方法.

要處理好預設與生成的關系，同時對于不同形式的截面，可以借助信息技術等手段來驗證.

五、課堂展示流程

本節(jié)展示課按照四個教學環(huán)節(jié)展開，即發(fā)現(xiàn)截面—尋覓截面—研究截面—應用截面. 其教學流程圖如圖1所示.

六、課堂展示過程

課前向?qū)W生發(fā)放“正方體截面的探究”研學方案（見附錄），學生自主研究學習，各小組組內(nèi)交流學習成果，推薦發(fā)言人，課上分小組展示研究成果.

師：研究正方體截面的相關問題，首先要解決的問題就是如何理解截面. 生活中有哪些與截面有關的數(shù)學問題？

1. 發(fā)現(xiàn)截面

學生活動1：調(diào)查和收集生活中的截面實例.

學生通過調(diào)查和收集生活中的實例，得到以下常見的截面：建筑材料的切割面，游泳池的水面，3D打印中的層疊面，全息技術成像的投影面，地圖中的等高面，等等.

學生活動2：設計與實例中截面相關的數(shù)學問題.

結(jié)合找到的截面實例，可以得到：（1）建筑材料的切割問題，需要通過確定截面形狀以便操作，輔助完成切割;（2）游泳池的換水頻率問題，需要利用水面大小結(jié)合氣溫確定水的蒸發(fā)速度，從而確定換水的頻率;（3）3D打印的材料使用量問題，需要根據(jù)截面大小計算出所需材料量.

【設計意圖】讓學生自主尋找生活中的截面及與之相關的數(shù)學問題，旨在給學生提供研究對象的實際背景，激發(fā)學生的學習興趣，同時培養(yǎng)學生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的意識.

師：只要我們善于發(fā)現(xiàn)，生活中處處有數(shù)學. 截面是研究這些問題的載體，在高中數(shù)學教材中不乏它的身影. 結(jié)合你的研究，讓我們一起尋覓截面的“蹤跡”.

2. 尋覓截面

學生活動3：查閱教材和相關文獻，尋覓高中數(shù)學知識中截面的“蹤跡”.

學生展示教材中與截面相關的內(nèi)容如下.

（1）教材必修第二冊“基本立體圖形”中介紹臺體時，利用截面給出相關幾何體的定義（如圖2）.

（2）教材必修第二冊“圓柱、圓錐、圓臺和球的表面積和體積”之后的探究與學習材料中，利用截面證明體積關系（如圖3）.

（3）教材選擇性必修第一冊“圓錐曲線的方程”的章引言中，有介紹用不同角度的平面截圓錐得到截口曲線，從而得到圓、橢圓、拋物線和雙曲線的內(nèi)容（如圖4）.

師生互動1：借助實例準確理解截面.

師：原來截面并不陌生，你能給出截面的準確含義嗎？我們一起來看圖5 ～ 圖7：這些圖形中的陰影部分能作為相應幾何體的截面嗎？什么樣的圖形才能作為幾何體的截面？

生1：圖5 ～ 圖7中的陰影部分均不能作為相應幾何體的截面，圖5中的陰影部分在四棱錐的表面，不能稱為截面;圖6中的陰影部分連線之一不在正方體的表面，也不能算作截面;圖7中的陰影三角形有兩條邊均不在圓柱的側(cè)面上，也不是截面.

生2：結(jié)合以上例子可以看出，在立體幾何中，截面是指用一個平面去截（經(jīng)過幾何體內(nèi)部的點）一個幾何體得到的平面圖形. 其中，截面的邊界線一定是原幾何體與平面的交線，即截面邊界線（直線或曲線）必須在幾何體的表面.

【設計意圖】讓學生從教材和相關文獻中找到“截面”概念的相關內(nèi)容，旨在讓學生體會作為一個幾何研究對象，截面并不陌生，以加強學生的直觀感知能力. 設計三個圖形，讓學生準確把握截面的含義，即關鍵詞“經(jīng)過內(nèi)部”“面面相交定邊界線”等，強化對截面的理解，為后續(xù)研究內(nèi)容做鋪墊.

3. 研究截面

（1）研究正方體的截面形狀特征.

師：在了解了截面的準確含義后，我們進入正題，探究正方體的截面. 課前讓大家專門做了相關研究，現(xiàn)在請不同小組指定發(fā)言人來展示你們的研究成果.

學生活動4：用實物模型或者技術工具（3D繪圖軟件）等手段，模擬正方體的截面.

展示1：實物切割組（視頻展示）.

用花泥制作正方體模型，借助切割的方式，得到不同角度下切割的正方體截面形狀，包括三角形、四邊形、五邊形和六邊形，并用印泥將它們拓印出來.

展示2：容器水面組（情境展示）.

借助透明的正方體容器來研究，將其中加入帶有顏色的液體（如藍墨水），轉(zhuǎn)動容器，會得到不同形狀的水面（即截面），記錄下來.

展示3：軟件操作組（微課展示）.

利用平板電腦上的GeoGebra軟件，輸入不同參數(shù)的平面方程，可以模擬不同角度、不同位置的截面，從而得到不同形狀的正方體截面圖形.

【設計意圖】這是學生課前已經(jīng)利用不同方式完成研究后的展示，這種開放的呈現(xiàn)方式，通過多種方式實施探究，旨在培養(yǎng)學生的發(fā)散思維、創(chuàng)新意識及動手研究能力.

師：大家分別用自己獨特的方式完成了正方體截面形狀的類型探究，即從邊的數(shù)量上進行了簡單的分類. 那么，在研究的過程中，結(jié)合這些截面的形狀特征，你們還證明了哪些有關正方體截面的性質(zhì)？其中又用到了哪些數(shù)學原理？請各小組進一步展示，其他小組可以提出質(zhì)疑.

學生活動5：結(jié)合得到的截面的形狀特征，說明它們的性質(zhì)，并加以證明.

結(jié)論1：三角形截面的形狀只能是銳角三角形.

學生展示：先通過直接測量的方法進行驗證，再借助參數(shù)表示三角形的邊長，并利用余弦定理證明截面三角形的每個內(nèi)角都是銳角. 證明過程摘要如下.

結(jié)論2：多邊形截面（除三角形截面外）至少有一組對邊平行.

學生展示：由于正方體相對的面均為平行的平面，用截面去截取時，相對的面上的交線必然平行，這可由面面平行的性質(zhì)定理得到. 以平行四邊形截面為例. 證明過程摘要如下.

結(jié)論3：在正方體中，不存在邊數(shù)超過6的多邊形截面.

學生展示：由于截面的含義中強調(diào)截面的邊界來自原幾何體和截面的交線，而正方體只有六個表面，那么截面最多能產(chǎn)生六條交線，當然截不出七條邊及七條邊以上的多邊形.

結(jié)論4：垂直于體對角線的截面中面積最大的是過各棱中點的正六邊形截面.

學生展示：這里可以借助軟件的計算功能說明，若要嚴格證明則需要將問題量化，可以利用函數(shù)（或基本不等式）來證明. 證明過程摘要如下.

證法1：設正方體的棱長為1，平面[α]與體對角線[DB′]垂直，易知截面只有正三角形和六邊形兩種可能，

（1）當截面為正三角形時，最大截面為經(jīng)過三個正方體頂點的正三角形，面積為[34×22=32.]

（2）當截面為六邊形時，如圖10所示.

證法2：設正方體的棱長為1，平面[α]與體對角線[DB′]垂直，所以平面[α]與底面[ABCD]成角不變，利用射影面積公式可知，截面面積的最大值出現(xiàn)于截面在底面投影面積取得最大值時.

如圖11，可知底面投影面積等于單位正方形減去兩對角處的等腰直角三角形面積，易知兩等腰直角三角形的直角邊[a，b]滿足[a+b=1.]

【設計意圖】學生在研究后，結(jié)合截面的性質(zhì)特征，說明和論證的過程，滲透了研究一個數(shù)學對象的基本路徑，即“事實—發(fā)現(xiàn)—猜想—論證”. 這個環(huán)節(jié)的展示既是研究成果的展示，又是提高辯證思維，發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng)的過程.

（2）研究正方體截面的作圖方法.

師生互動2：正方體截面的作圖方法探究.

師：在實際研究正方體截面時，更多情況下是不能借助其他工具的，而需要我們自己將截面補出來. 那么我們?nèi)绾卫靡延行畔?，作出正方體的截面呢？首先回顧一下空間里能夠確定平面的方法.

② 若點[E，F(xiàn)，G]中只有兩點在同一表面的棱上（如圖13），問題該如何解決？

學生展示：學生利用小黑板完成作圖，并結(jié)合作圖過程討論、總結(jié)作圖經(jīng)驗，歸納作圖原則.

作截面的一般原則：在同一表面上的點可以連線;凡是相交的直線都要畫出它們的交點;凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

【設計意圖】本環(huán)節(jié)是正方體截面探究的另一個方面，即如何作截面. 在實踐過程中，學生更多面對的是如何補全截面，從而解決與截面相關的問題. 這里通過回顧基本事實，引導學生找到解決問題的出發(fā)點，再設計遞進問題，讓學生在實踐中總結(jié)經(jīng)驗、形成規(guī)律.

4. 應用截面

視頻播放我國鋼產(chǎn)量的變化，引出問題情境.

師：中國的鋼產(chǎn)量從無到有、從有到多，現(xiàn)在已經(jīng)可以名副其實地稱之為“鋼多氣多”. 新時代里，如何才能更好地利用鋼材料呢？

師生互動3：截面的實際應用.

圖14是鋼材料中常見的“方矩管”，它的直截面為

標準正方形，這種材料在使用中多用于建筑的支撐結(jié)構. 若某方矩管在使用后留下三個不同位置的小孔，那么在鋼材料回收時，應該如何切割（沿同一平面）呢？

生3：可以過點F作直截面，因為這是面積最小的截面，是操作工藝最簡單的方式，也方便存儲和運輸.

生4：可以過點E，F(xiàn)，G作出截面，雖然操作復雜一點，但是保留的鋼材料是最多的，與節(jié)約環(huán)保的理念吻合.

生5：可以只過點F，G作截面，保證過截面的一條截線和原邊界線平行，算是一種折中的方案.

【設計意圖】這個環(huán)節(jié)先引入一個社會熱點問題，激發(fā)學生的愛國情愫. 在情境中設計開放型問題，旨在應用知識的同時培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和發(fā)散思維.

5. 課堂總結(jié)

各小組展示研究報告的結(jié)論部分，結(jié)合本節(jié)課的展示內(nèi)容，對“正方體截面的探究”的研學成果進行整理小結(jié).

小結(jié)思路.

知識：截面的準確含義，正方體截面的形狀特征與性質(zhì).

文化：截面在生活中的運用.

方法：正方體截面的簡單作法.

思想：數(shù)形結(jié)合.

思路：事實—發(fā)現(xiàn)—猜想—論證—實踐—總結(jié). 這也是探究數(shù)學問題的一般思路.

……

師：與截面有關的問題還有很多，我們沒有時間在這節(jié)課中一一展開，大家可以結(jié)合本節(jié)課的學習內(nèi)容及研究思路，在課外繼續(xù)研究.

6. 課外延伸

（1）若正方體表面的三點滿足任意兩點不在同一側(cè)面，則應該如何作出截面？

（2）試完成一份“淺談截面——以××為例”的實踐報告，結(jié)合課堂學習內(nèi)容，嘗試研究其他截面問題（如正四面體的截面形狀特征、空間幾何體截面最值的研究思路、空間幾何體截面作法探究等）.

【設計意圖】及時提供給學生可以在課后繼續(xù)研究的相關思路，將探究延伸到課堂之外，完善整個探究過程，形成“課前初步探究正方體截面形狀與作法，課中分享完善正方體截面性質(zhì)與應用，課后進一步探究其他截面問題”的單元整體設計.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

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[3]夏炎. 高中數(shù)學研究性學習探討[J]. 數(shù)學教育學報，2001（3）：63-66.

附錄：

“正方體截面的探究”研學方案

1. 研學要求

課前自主研究學習，各小組組內(nèi)交流學習成果，推薦發(fā)言人，課上分小組展示研究成果.

2. 研學任務

（1）通過調(diào)查和收集，了解生活中的截面.

（2）查閱教材和相關文獻，尋求截面在高中數(shù)學知識中的“蹤跡”，并嘗試給空間幾何體的截面下定義.

（3）利用合理的方式（實物模擬、技術演示等）模擬正方體截面的形狀，探究各種截面形狀的特征并證明.

（4）了解正方體截面的簡單作法，嘗試總結(jié)作截面的一般原則.

（5）了解截面的簡單應用，體會數(shù)學源于生活、數(shù)學應用于生活的理念.

3. 研學過程

（1）問題背景.

試通過調(diào)查和收集回答下列問題.

問題1：生活中，常見的截面實例有哪些？

問題2：實例中哪些相關問題的解決需要用到截面？

（2）相關知識.

試查閱教材和相關文獻回答下列問題.

問題3：在高中知識范疇中，圖1 ～ 圖3哪些內(nèi)容有截面的“蹤跡”？

問題4：圖1 ～ 圖3中的陰影部分能作為相應幾何體的截面嗎？什么樣的圖形才能作為幾何體的截面？

（3）研究過程1——模擬截面.

問題5：試利用實物模型或者技術工具（3D繪圖軟件）等手段，模擬正方體的截面，并總結(jié)正方體截面有哪些不同的形狀？

問題6：結(jié)合所得截面的形狀特征，說明它們的性質(zhì)，并嘗試證明，其中需要用到哪些數(shù)學原理？

（4）研究過程2——作截面.

問題7：如果只知道正方體截面的部分信息，能否將截面補全（如問題4中的圖2）？如何操作？

問題8：在正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，點[E，F(xiàn)，G]分別位于三條棱上，如何作出過點[E，F(xiàn)，G]的截面？

① 若點[E，F(xiàn)，G]在相互平行的側(cè)棱上（如圖4），問題該如何解決？

② 若點[E，F(xiàn)，G]中只有兩點在同一表面的棱上（如圖5），問題該如何解決？

（5）研究應用.

問題9：圖6是鋼材料中常見的“方矩管”，它的直截面為標準正方形，這種材料在使用中多用于建筑的支撐結(jié)構. 若某方矩管在使用后留下三個不同位置的小孔，那么在鋼材料回收時，應該如何切割（沿同一平面）呢？

4. 研學結(jié)果

試完成一份《正方體截面研究》的研學報告，留作課堂展示使用.

目的：研究正方體截面的不同形狀，給出截面作法的一般思路.

要求：獨立完成，含必要實踐內(nèi)容（借助實物，信息技術等）.

過程記錄：

思考內(nèi)容：