張梁梅

【摘要】數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。分?jǐn)?shù)的概念的習(xí)得與掌握是學(xué)生對(duì)數(shù)的概念學(xué)習(xí)又一次拓展，但學(xué)生分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)的實(shí)際情況卻不盡如人意。這一方面源于兒童早期的分物經(jīng)驗(yàn)，另一方面是教材在編排上引入等分概念時(shí)特別強(qiáng)調(diào)“是什么”，卻不解釋“為什么”造成的。對(duì)此，本文提出從反例容錯(cuò)、糾錯(cuò)再結(jié)合分?jǐn)?shù)的“部分和整體”和“測(cè)量”的定義，幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，建立正確的等分概念。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)概念 等分問題 反例

小學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)始于第一學(xué)段，分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)是從“平均分”這個(gè)概念引入的，并且分?jǐn)?shù)意義的初步建立是與“平均分”密切聯(lián)系在一起。從某種程度上來說離開了“平均分”就不能談“分?jǐn)?shù)”。

筆者最近在做關(guān)于“分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)的研究，這是第二學(xué)段進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)概念。從中國知網(wǎng)搜集了關(guān)于“分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)共20篇。筆者在研究這些教學(xué)案例時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極其有趣的師生對(duì)話現(xiàn)象：幾乎所有教師在以一個(gè)具體分?jǐn)?shù)如1/4，引入對(duì)具體分?jǐn)?shù)意義的理解時(shí)，第一個(gè)發(fā)言的學(xué)生大都會(huì)講1/4表示把一個(gè)體分成4份取其中的1份，這時(shí)候教師大都也都會(huì)問：“有什么要補(bǔ)充嗎？”在等待了一段時(shí)間后，班上總會(huì)有幾個(gè)學(xué)生站起來說“他沒有平均分！”教師接著會(huì)說：“你能把它說完整嗎？”然后學(xué)生會(huì)帶著平均分的字樣把1/4的意義講對(duì)，最后教師會(huì)再次強(qiáng)調(diào)平均分是我們認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵。之后整節(jié)課，教師都跟“警察逮小偷”似的揪出那些講某一個(gè)具體的分?jǐn)?shù)卻不說“平均分”的學(xué)生，逮一次，糾正一次，強(qiáng)調(diào)一次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)仍有一些學(xué)生說分?jǐn)?shù)意義沒有“平均分”這三個(gè)字。正如楊伊生、劉儒德兩位教授在《兒童分?jǐn)?shù)概念發(fā)展研究綜述》中所表述的那樣“已有的大量研究表明：學(xué)齡前期兒童僅有少數(shù)能了解一半的意義，大部分兒童認(rèn)為一半就是要分成兩塊，沒有等分的概念。在處理‘部分和全部’的分?jǐn)?shù)問題時(shí)不了解各部分都要等分的概念。Han在研究中指出12歲到13歲的兒童中89%能知道等分需要等面積，有6%的兒童認(rèn)為一半就是分成兩塊，但沒有等面積的概念，一般兒童認(rèn)為等分就是除了面積相等以外，形狀也必須相同，但對(duì)于形狀不同的圖形較難決定是否等分”，學(xué)生對(duì)等分問題認(rèn)識(shí)的不足制約著他們對(duì)分?jǐn)?shù)意義的深刻認(rèn)識(shí)與理解。

筆者認(rèn)為，造成學(xué)生等分概念不清的原因應(yīng)該有兩方面，一方面是兒童受早期的分物經(jīng)驗(yàn)影響，另一方面是教材在編排上引入分?jǐn)?shù)的概念時(shí)特別強(qiáng)調(diào)“平均分”，卻不解釋為什么談分?jǐn)?shù)的概念一定要“平均分”的道理。

首先，筆者先說一說兒童早期的分物經(jīng)驗(yàn)不支持等分概念的原因。我們都知道，學(xué)齡前期兒童在早期的家庭生活中肯定有分蘋果、分蛋糕的經(jīng)驗(yàn)，家長經(jīng)常會(huì)當(dāng)著兒童的面把一個(gè)蘋果或一塊蛋糕分成兩份，當(dāng)然分割者主觀上很想把這個(gè)蘋果“平均分”，但在實(shí)際的操作中卻不那么精準(zhǔn)，通常分得的結(jié)果是一份大、一份小，成人管大的這份叫蘋果的一半，管小的這份也叫蘋果的一半，一大份和一小份合起來是整個(gè)蘋果，分蛋糕的經(jīng)驗(yàn)也是如此。出于人“公平”的天性，這時(shí)兒童肯定要站在成人旁邊叮囑大人要兩半都分得一模一樣大，成人也盡量完成兒童的要求，但分下來的結(jié)果還是一大一小，只不過這兩半相差得不太多。隨著日后分物的經(jīng)驗(yàn)累積，兒童發(fā)現(xiàn)不管成人或自己怎么努力要將現(xiàn)實(shí)中的蘋果、蛋糕等一個(gè)物體平均分成兩半是絕無可能的。

由于兒童早期的分物經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)中分物經(jīng)驗(yàn)的差距，生活中的“一半”與數(shù)學(xué)中的“一半”是不同的。等到兒童初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，學(xué)習(xí)1/2時(shí)，學(xué)生不講“平均分”自然就不足為奇了，因?yàn)樯罱?jīng)驗(yàn)已經(jīng)無數(shù)次告訴兒童要把一個(gè)物體“平均分”兩份是絕無可能的，分成的兩半大小絕不可能完全相同。所以，盡管教材反復(fù)強(qiáng)調(diào)平均分，但兒童早期生活經(jīng)驗(yàn)從沒有過“平均分”的情況，讓兒童接受這些沒有可能發(fā)生的事，他們肯定是“不干”的。

再者是教材的編排，在引入分?jǐn)?shù)的概念時(shí)特別強(qiáng)調(diào)“平均分”，卻不強(qiáng)調(diào)為什么談分?jǐn)?shù)的概念時(shí)一定要“平均分”的道理。從中國知網(wǎng)上查看“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)和案例，筆者發(fā)現(xiàn)“平均分”這三個(gè)字大多是從教師口中言出，學(xué)生大都是機(jī)械模仿，在教學(xué)中幾乎沒有什么特別的環(huán)節(jié)讓學(xué)生體會(huì)到“平均分”的重要性，所以錯(cuò)誤的常識(shí)就在兒童的頭腦中根深蒂固。以蘇教版教材為例，筆者翻看了“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”這一單元的內(nèi)容在第88～97頁的教學(xué)內(nèi)容中僅第88頁“想想做做”第2題1、4兩幅圖中用反例強(qiáng)調(diào)了如果分成的4份不相等，就不可以用1/4來表示，至于為什么“不均分”就不可以用車1/4來表示、“平均分”就可以用1/4來表示這個(gè)問題卻始終沒有提及與解釋。

2.下面哪個(gè)圖里的涂色部分是1/4，在（ ）里畫“√”

筆者覺得可以利用反例容錯(cuò)、糾錯(cuò)。首先可以從分?jǐn)?shù)部分與整體的意義入手，幫助學(xué)生理解“平均分”是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的前提。如“想想做做”第2題一共4個(gè)圖例，其中有3個(gè)圖例都是反例，編者這樣設(shè)計(jì)是有他的意圖的，一線教師一般都能體會(huì)這個(gè)反例練習(xí)在這里的作用是強(qiáng)調(diào)沒有平均分就不能用分?jǐn)?shù)÷表示。這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)大都會(huì)在學(xué)生“它沒有平均分”的齊聲作答中結(jié)束。但筆者認(rèn)為這樣教學(xué)只是浮光掠影，并沒有將這三個(gè)反例運(yùn)用到位。

對(duì)3個(gè)反例要通過設(shè)計(jì)追問，引導(dǎo)學(xué)生思考：把涂色部分看作是1份，如果用1/4表示，整體就有4個(gè)這樣的涂色部分。通過多媒體課件拼擺，讓學(xué)生明白：反例1以這樣的一小份為部分拼成的整體應(yīng)該比原來的整體小;反例2以涂色部分為1份拼成的整體比原來的整體大;反例3拼成的整體大了并且連形狀都改變了，都不是圓形了。從而讓學(xué)生感悟：不“平均分”就沒有標(biāo)準(zhǔn)量，不論用其中哪一份來合都回不到原來的整體;合成的整體要么比原來的整體大，要么比原來的整體小，并且面積和形體還會(huì)發(fā)生改變。只有在“平均分”前提下取其中的任意一個(gè)1份，才會(huì)回到原來的那個(gè)整體。因?yàn)槊恳粋€(gè)部分是確定的，合成的整體也是確定的，分?jǐn)?shù)部分和整體的關(guān)系才能成立。

當(dāng)然這里理解為什么要“平均分”，除了可以從不平均導(dǎo)致部分的大小不唯一，帶來整體的大小不唯一這個(gè)角度出發(fā);也可以從分?jǐn)?shù)“度量”的意義幫助學(xué)生理解，若不平均分，分?jǐn)?shù)單位所對(duì)應(yīng)的長度單位就不唯一，就無法用一個(gè)合適的分?jǐn)?shù)來表示測(cè)量的結(jié)果。筆者就以特級(jí)教師華應(yīng)龍《分?jǐn)?shù)的意義》的一個(gè)教學(xué)片段來揭示。

師：沙發(fā)是多少個(gè)領(lǐng)帶長呢？

生：（七嘴八舌）3/4。

師：（出示下圖）3/4個(gè)領(lǐng)帶長應(yīng)該就是這么長了。

生：不對(duì)！不對(duì)！

師：怎么不對(duì)了?。?/p>

生：這幾段都不一樣長，所以不對(duì)。

師：（出示下圖）那這樣呢？

生：哈哈，也不行。

師：咦？你看這不是1份、2份、3份、4份，然后4份中選了3份嘛，怎么又不行呢？

師：（出示下圖）那這個(gè)呢？

生：可以！

師：為什么這個(gè)就行了？

生：因?yàn)樗鼈兌际且粯娱L的。

師：回顧一下，第一個(gè)不行，第二個(gè)也不行，怎么第三個(gè)就行了呢？

生：它們都是平均的。

師：是啊，最后一個(gè)是平均分的。平均分了之后，4份中3份的長度就確定了。如果不是平均分的，那4份中的3份的長度就可長可短了。所以，一定要怎么分？

生：平均分！

華老師通過這個(gè)獨(dú)具匠心的設(shè)計(jì)讓學(xué)生感受到如果沒有平均分，分?jǐn)?shù)單位就無法統(tǒng)一，那么對(duì)應(yīng)的3份的總和就無法統(tǒng)一，可能變得有長有短，無法確定3/4個(gè)領(lǐng)帶的長度，匹配失敗小頭爸爸無法購買沙發(fā)。反之，平均分了，分?jǐn)?shù)單位確定了，每一份的長度都確定，那么3份總長度也就是確定的，購買沙發(fā)的問題就可以解決了。創(chuàng)設(shè)了一個(gè)貼近生活的測(cè)量情境跟學(xué)生解釋了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)一定要平均分。從測(cè)量的角度解釋平均分是華老師的首創(chuàng)，但對(duì)于夯實(shí)“平均分”的概念還沒有停止，華老師沒有放過那些創(chuàng)造了不等分的圖例作品的學(xué)生，讓學(xué)生通過改錯(cuò)的方式再次感受為什么要平均分，怎樣才能做到平均分。這樣顛覆性的設(shè)計(jì)，值得每位一線教師細(xì)細(xì)體會(huì)。