張艷馨 連春興

摘? 要：文章以敘事的方式展現(xiàn)了一節(jié)給基礎(chǔ)薄弱班級講授的二次函數(shù)復(fù)習(xí)課. 本節(jié)課沒有沿概念、解析式、圖象、性質(zhì)的脈絡(luò)展開，而是通過一個簡單的問題情境構(gòu)建二次函數(shù)模型，促進(jìn)了學(xué)生的課堂參與度，為改善基礎(chǔ)薄弱班級的教學(xué)、提升復(fù)習(xí)效率提供了諸多有益的啟示.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);復(fù)習(xí)課;復(fù)習(xí)效率

一個特殊的機(jī)緣，在海南省支教的連春興老師（以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”）走進(jìn)了三亞市某校九年級的一個特殊班，并為他們上了一節(jié)二次函數(shù)的復(fù)習(xí)課. 這個班之所以特殊，是因為學(xué)生基礎(chǔ)普遍薄弱，課堂教學(xué)秩序較亂. 面對這樣的群體應(yīng)該如何上課，尤其是復(fù)習(xí)課，該校教師一直在探索. 大家邀請執(zhí)教教師為該班上一節(jié)課，以便學(xué)習(xí)和交流. 因此，在毫無準(zhǔn)備的情況下，一節(jié)“即興課”產(chǎn)生了.

一、課堂概述

由于事出突然，且學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣不好、知識基礎(chǔ)薄弱，所以本節(jié)課知識含量較少，課堂上更多的是執(zhí)教教師在組織教學(xué)，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 為不失真，筆者不忍簡約，以敘事方式呈現(xiàn)這節(jié)二次函數(shù)復(fù)習(xí)課，并扼要概括.

1. 聯(lián)絡(luò)感情，提出問題

當(dāng)執(zhí)教教師與聽課教師一行數(shù)人進(jìn)入教室時，只見全班三十余名學(xué)生，有趴在桌子上睡覺的，有嬉笑打鬧的，有幾個男生竟躺在椅子上，腳放在桌子上，敲出陣陣聲響，沒有一點上課的意思.

面對此景，執(zhí)教教師省略了“上課起立”環(huán)節(jié)，親切、平靜地說：“同學(xué)們，請坐好，睡覺的同學(xué)請睜開眼睛，看看我這個來自北京的老頭，今天我想和大家一起幫你們的家長完成一項設(shè)計.”

幾句別致的開場白吸引了學(xué)生的注意，除幾位進(jìn)入夢鄉(xiāng)的學(xué)生外，大家紛紛坐好，目光集中到執(zhí)教教師身上. 這時，執(zhí)教教師并沒有著急叫醒睡著的學(xué)生，而是面帶笑容繼續(xù)說道：“你們都在海邊長大，都熟悉灘涂荒地. 村里領(lǐng)導(dǎo)為改善土質(zhì)，發(fā)給每戶100米扎籬笆墻的材料，扎成平面是矩形的圍欄，圈養(yǎng)雞、鴨，或牛、羊，當(dāng)然面積越大越好，請同學(xué)們探索矩形面積最大時的長和寬.”

執(zhí)教教師邊說邊在黑板上寫出“100米籬笆墻、矩形面積最大、求矩形的長和寬”幾個關(guān)鍵詞.

2. 解決問題，概括猜想

此時，學(xué)生面面相覷，不知所云. 為了啟發(fā)學(xué)生，執(zhí)教教師在黑板上畫了一個扁長的矩形，標(biāo)出其長為49米、寬為1米，并問大家這個方案是否可行.

沉寂片刻，一名一直趴在桌子上的學(xué)生回答道：“老師，這個方案不行. 您畫的矩形面積是49平方米，我設(shè)計了一個長48米、寬2米的矩形，面積是96平方米，比您畫的矩形面積大.”

看著這名對激發(fā)其他學(xué)生學(xué)習(xí)興趣立下大功的學(xué)生，執(zhí)教教師高興地說：“你真棒！看來你是裝睡啊.”一句詼諧的話語引發(fā)學(xué)生哄堂大笑，教室里沉悶的氣氛一掃而光，學(xué)生熱烈爭論起來. 執(zhí)教教師及時寫出大家的意見，將一串面積一個比一個大的矩形邊長先后呈現(xiàn)在黑板上，即1 × 49，2 × 48，3 × 47，…，23 × 27，24 × 26，25 × 25，最后，經(jīng)過師生共同努力，確認(rèn)當(dāng)矩形的長和寬都為25米時矩形面積最大. 此時課堂氣氛達(dá)到高潮.

執(zhí)教教師高度贊揚(yáng)了為找到矩形最大面積做出貢獻(xiàn)的學(xué)生，表揚(yáng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識為家長排憂解難，提供利益最大化的設(shè)計方案. 此話一出，又一次引發(fā)學(xué)生會心的笑聲. 只見執(zhí)教教師凝住微笑，向大家發(fā)問：“哪位同學(xué)能用一句話概括一下我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.”

又是沉寂片刻，一名坐在前排的學(xué)生回答：“正方形面積比長方形面積大.”執(zhí)教教師聽到后，在黑板上畫了兩個面積懸殊的小正方形和大長方形，再次引發(fā)學(xué)生哈哈大笑. 執(zhí)教教師說：“從大家的笑聲來看，正方形面積比長方形面積大需要一個前提，誰能把這個前提補(bǔ)充上？”另一名學(xué)生補(bǔ)上了“周長不變”的前提.

3. 證明猜想，引出主題

隨后，執(zhí)教教師冷靜地分析道：“剛才同學(xué)們通過矩形長、寬的此消彼長，發(fā)現(xiàn)了‘當(dāng)矩形周長不變時，正方形面積最大’，但這個發(fā)現(xiàn)僅僅建立在計算少數(shù)幾個矩形面積的基礎(chǔ)上. 在周長不變的前提下，矩形的長和寬可以隨意改變，如24.9 × 25.1，24.99 × 25.01等，我們很難憑計算一一驗證核實矩形的長和寬相等時面積最大，所以我們此處的發(fā)現(xiàn)只是個猜想，不能算是正確的命題，而數(shù)學(xué)中的真命題是需要經(jīng)過嚴(yán)格證明的. 請問，哪位同學(xué)能證明周長是100米的矩形，長和寬相等時面積最大？”

大概是執(zhí)教教師預(yù)感到學(xué)生解決這個問題會有困難，于是在黑板上畫出一個矩形，提示道：“這個矩形的周長是100米，面積隨邊長的變化而變化. 因此，我們可以設(shè)矩形的長為x（寬由幾名學(xué)生附和著說出是50 - x），那么，矩形的面積[S]能否由[x]來表示？”

當(dāng)一名學(xué)生在黑板上寫出[S=x50-x=-x2+50x]，并識別出[S]是關(guān)于x的二次函數(shù)后，執(zhí)教教師又啟發(fā)道：“利用二次函數(shù)解析式可以證明矩形是正方形時，即當(dāng)x = 25時，面積[S]取最大值. 那么，誰能來解決這個問題？”

見學(xué)生相互對視，無一人回答，執(zhí)教教師解釋道：“解決這個問題時，可能有學(xué)生想到利用二次函數(shù)圖象確定頂點坐標(biāo)，然后直接回答當(dāng)橫坐標(biāo)x = 25時，縱坐標(biāo)[S]的最大值為625.”執(zhí)教教師隨手畫出如下圖所示的示意圖，繼續(xù)說道：“但這涉及如何畫函數(shù)圖象、確定頂點坐標(biāo)及為什么二次函數(shù)圖象的頂點最高等一系列二次函數(shù)的性質(zhì). 這些知識大家可能遺忘了，我們明天復(fù)習(xí). 今天我們解決此題不需要函數(shù)的性質(zhì)，只需要運(yùn)用八年級學(xué)習(xí)的配方法就足夠了，即[S=-x2-50x=][-x2-50x+252-252=-x-252+625.]觀察此式，只有當(dāng)625 - 0時，[S]取最大值. 因為當(dāng)625減其他正數(shù)時，[S]的值都不是最大的，625減負(fù)數(shù)時結(jié)果更大些，但完全平方數(shù)不可能為負(fù)，所以當(dāng)[x-252=][0，] 即當(dāng)[x=50-x=25，] 矩形為正方形時，矩形面積[S=625，] 為最大值. 于是，命題得證. 利用這種方法尋找最大（?。┲?，是二次函數(shù)有別于其他函數(shù)的獨有特征. 當(dāng)二次函數(shù)解析式的系數(shù)a，b，c比較簡單時，大家可以利用配方法解決問題. 如果你們有興趣，不妨仿照此法，推導(dǎo)一下一般二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式，為明天的復(fù)習(xí)課做些準(zhǔn)備.”至此，恰好下課.

二、課后反思

課后，筆者與執(zhí)教教師進(jìn)行了深入交流，當(dāng)問及他上課的感想時，他表達(dá)了兩個意思. 第一，這是一個特殊的班級. 首先，缺乏正常的家庭、學(xué)校管理教育，如上課之初許多學(xué)生的行為不規(guī)范;其次，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，如課堂上利用配方法解決最值問題時，教師被迫唱了“獨角戲”. 面對這樣的班級，我們要滿腔熱情、想方設(shè)法拉近與學(xué)生的情感距離，并實時給予恰當(dāng)?shù)墓膭睿宰寣W(xué)生擺脫破罐破摔的心態(tài)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心. 第二，在中考復(fù)習(xí)課中，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生由于遺忘、基礎(chǔ)不牢等原因，可能復(fù)習(xí)課形同新授課. 這種情況下，憑借概念羅列、例題選講這些傳統(tǒng)做法，學(xué)生很難參與其中，效果微乎其微. 而如何促進(jìn)學(xué)生的課堂參與度，提升復(fù)習(xí)效果，把學(xué)科育人的目標(biāo)落到實處，執(zhí)教教師在課堂教學(xué)中似乎給出了回答. 認(rèn)真回味執(zhí)教教師的話，反思本節(jié)課各個環(huán)節(jié)，除了包括他細(xì)膩的精神撫慰在內(nèi)的適切教學(xué)行為外，在課堂設(shè)計上，至少有如下三個方面值得借鑒.

1. 教師要準(zhǔn)確評估學(xué)生的認(rèn)知水平

一位初來乍到的教師上的“即興課”，難免存在這樣或那樣的遺憾. 但從整體上看，本節(jié)課進(jìn)行得還是比較順利的，這很大程度上得益于執(zhí)教教師對學(xué)生基礎(chǔ)相對準(zhǔn)確的預(yù)判. 在與執(zhí)教教師的交流中，得知他確信學(xué)習(xí)是少年兒童的天性，只要遇到感興趣的問題，且沒有超出他們的認(rèn)知范圍，他們一定會熱衷參與、探究解決. 在本節(jié)課之初，執(zhí)教教師預(yù)判這個班的學(xué)生不會反感幫家長設(shè)計圍欄，應(yīng)該能計算兩位數(shù)的乘法，知道矩形包括長方形和正方形，矩形面積等于長乘以寬，懂得比較數(shù)的大小，通過試數(shù)運(yùn)算對比，得到“矩形的長和寬分別為25和25時，矩形面積最大”. 因此，這樣帶有激趣性質(zhì)的問題情境，為本節(jié)課中學(xué)生順利進(jìn)入狀態(tài)、積極參與課堂活動奠定了良好的基礎(chǔ). 當(dāng)然，一個好的問題情境的創(chuàng)設(shè)，不僅要符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，更重要的是隨著問題的解決，要逐步揭示知識主題. 正像本節(jié)課中，由“一個矩形周長不變，面積何時最大”的討論，生成猜想及證明，把學(xué)習(xí)活動一步步推向高潮，順利進(jìn)入二次函數(shù)的主題，這是課堂教學(xué)的重心所在.

2. 盡力追求自然平實、邏輯貫通的教學(xué)境界

準(zhǔn)確預(yù)判學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，只能幫我們確定課堂的思維起點，更重要的是，教師要創(chuàng)造條件，促使學(xué)生思維在課堂上合理延伸，而這恰恰是基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的軟肋. 我們觀察數(shù)學(xué)成績不佳者在解決一個陌生問題時的思維狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)其共性特征是對基礎(chǔ)知識理解不到位而造成的思維無序. 最大限度地解決好“思維無序”問題，促成思維的合理延伸，追求自然平實、邏輯貫通的教學(xué)境界，是一個重要的教學(xué)策略. 反觀執(zhí)教教師的課，從在灘涂荒地上設(shè)計定長圍欄開始，到引導(dǎo)學(xué)生歸納猜想，發(fā)現(xiàn)正方形面積最大，再到構(gòu)建二次函數(shù)模型，進(jìn)行論證猜想正確，整個過程自然平實、邏輯貫通，沒有大起大落的思維轉(zhuǎn)換，學(xué)生只需沿著問題合理的發(fā)展走向持續(xù)思考，即使遇到二次函數(shù)最值這樣似乎關(guān)聯(lián)函數(shù)性質(zhì)的問題，課堂上也沒有復(fù)習(xí)性質(zhì)，而是利用二次三項式可以配方變形的獨有特質(zhì)，順利解決問題. 這樣始終沿著一個線索思考問題、訓(xùn)練解決問題的能力，對那些因基礎(chǔ)知識理解不到位而思維無序的學(xué)生來說，可謂“對癥下藥”.

3. 關(guān)于“演繹式”復(fù)習(xí)與“歸納式”復(fù)習(xí)效率的思辨

在關(guān)注“思維起點”“思維延伸”等問題后，我們自然進(jìn)入對復(fù)習(xí)模式與效率的思辨. 一般而言，在單元復(fù)習(xí)之初，有的教師習(xí)慣先利用PPT展示本單元知識的邏輯結(jié)構(gòu)、思維導(dǎo)圖等，然后再進(jìn)行例題、練習(xí)題的訓(xùn)練，我們不妨把這種復(fù)習(xí)方式稱為“演繹式”復(fù)習(xí). 這樣做的好處是有利于學(xué)生整體把握知識. 對于優(yōu)等生來說有一定的合理性，但對于學(xué)困生來說，本就對平時學(xué)習(xí)的知識理解不到位，現(xiàn)在一起展示出那么多數(shù)量、位置、邏輯關(guān)系，學(xué)生對于這些結(jié)論是怎么來的，早已遺忘. 若由學(xué)生現(xiàn)場推演，顯然時間不允許，而不知來龍去脈的知識內(nèi)容很難記憶，即便暫時記住，也不可能靈活運(yùn)用. 因此，這種復(fù)習(xí)方式將大大減損復(fù)習(xí)效果. 這可能也是許多教師的教學(xué)困惑所在.

觀察本節(jié)課，沒有沿二次函數(shù)的概念、解析式、圖象、性質(zhì)的脈絡(luò)展開教學(xué)，而是從確定矩形的長和寬、計算面積出發(fā)，不給問題貼任何知識的“標(biāo)簽”，把學(xué)生推至解決問題的前沿，只要求他們利用自己原有的知識經(jīng)驗解決問題，一步步形成猜想. 這種方式解決了“演繹式”復(fù)習(xí)的知識羅列使學(xué)生無從參與的弊端. 當(dāng)然，與新授課相比，此處的知識生成節(jié)奏要盡量快一些，以學(xué)生能承受為主，我們不妨把這種復(fù)習(xí)方式稱為“歸納式”復(fù)習(xí). 這種方式對于優(yōu)等生來說似乎沒有必要，但對于學(xué)困生來說，可以彌補(bǔ)平時學(xué)習(xí)的漏洞，在不斷解決問題中復(fù)習(xí)概念、歸納知識，在不斷歸納中穿插演繹，最終實現(xiàn)對知識的結(jié)構(gòu)性把握，從而達(dá)到復(fù)習(xí)目的. 兩種復(fù)習(xí)方式的效率對比，優(yōu)劣立判.

三、結(jié)束語

教育關(guān)系著民族的未來，而數(shù)學(xué)教育在提升人的素養(yǎng)方面承擔(dān)著獨有的育人功能. 本節(jié)課是為基礎(chǔ)薄弱學(xué)生授課的實踐，局限性很大，執(zhí)教教師也無力改變什么，但他在改善基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、提升學(xué)習(xí)效率方面所做的努力，卻給我們留下了一些有益的思考. 衷心希望廣大同行指正，并參與我們的討論.

參考文獻(xiàn)：

[1]連春興. 再論“問題導(dǎo)學(xué)”[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2015（3）：1-6.