吳增生 紀憲禹

《整體建構核心素養(yǎng)導向下的總復習教學策略體系》（以下統(tǒng)稱“文章”）一文及其相關的6篇研究文章，以專題研究形式集中發(fā)表于《中國數(shù)學教育》（初中版）2019年第7 / 8期上，被人大《復印報刊資料·初中數(shù)學教與學》2020年第1期全文轉載. 文章以解決復習教學實踐問題為導向，基于初中數(shù)學內容的發(fā)生、發(fā)展邏輯及其蘊涵的發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的育人價值，以心理學及腦科學理論為指導，對初中數(shù)學總復習教學進行系統(tǒng)的策略創(chuàng)新，為一線教師開展數(shù)學學科核心素養(yǎng)導向的高品質復習教學，提供了可操作的策略和方法，與其相關的6篇文章，則提供了具體的教學實踐案例. 這些研究為改進初中數(shù)學總復習教學，作出了積極的貢獻.

一、文章的寫作背景

立德樹人是我國新時期教育的基本導向，主要體現(xiàn)為發(fā)展學生的核心素養(yǎng). 數(shù)學教育對學生核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻，主要體現(xiàn)在科學精神和智力發(fā)展上. 復習教學是“溫故而知新”的認知重構活動，它具有重復性、系統(tǒng)性、綜合性和應用性. 其核心育人價值是：優(yōu)化知識結構，形成系統(tǒng)的數(shù)學思想方法體系和解決問題策略，發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，進而發(fā)展學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

有別于新課教學中有權威的教材和教師教學指導用書的引領，復習教學資源雖然泛濫，但缺乏系統(tǒng)、權威的教學資源，導致數(shù)學復習教學成為教學實踐的短板，存在的問題較多，教師普遍反映最難教. 當前，初中數(shù)學總復習教學中普遍存在以下問題：（1）缺乏對數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展邏輯的深入思考，沒有系統(tǒng)規(guī)劃合理的復習教學單元，沒有設計發(fā)展數(shù)學關鍵能力的有針對性的復習教學活動（如把解析幾何問題作為函數(shù)復習的重點內容）;（2）知識回顧簡單重復，沒有引導學生用一般觀念引領進行知識梳理，不能形成系統(tǒng)簡約的知識體系;（3）以練代學，進行高強度、無死角的重復刷題，缺乏思想性和策略性;（4）對知識發(fā)生、發(fā)展及應用過程的思想方法理解不深刻，導致數(shù)學思想方法的教學零碎、隱晦，學生難以把握;（5）沒有深入分析學情導致復習教學中學生參與度低，教學效果差強人意.

基于以上問題，筆者帶領工作室成員進行了為期四年的創(chuàng)新初中數(shù)學總復習教學策略的系統(tǒng)研究，目的是為改進初中數(shù)學總復習教學的育人價值提供可操作的、系統(tǒng)有效的教學策略，包括復習主題的建構，復習課型的分類，不同課型的教學策略和方法的概括提煉，研制教師教學設計用書、學生用書、學生訓練系統(tǒng)、教學PPT、微課視頻等教學資源. 文章是對這些研究成果的系統(tǒng)概括和總結.

二、文章旨在說明的問題

要對初中數(shù)學總復習教學進行系統(tǒng)的策略創(chuàng)新，需要在理解數(shù)學、理解學生、理解技術、理解教學這“四個理解”的基礎上進行，以保證這種教學策略創(chuàng)新的科學性和有效性.

1. 在理論和實踐分析的基礎上提出研究問題

（1）分析數(shù)學學科教育在落實立德樹人中的作用，明確數(shù)學教學的核心育人價值.

數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，它具有抽象性、邏輯確定性和應用廣泛性三個本質特征. 數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象. 基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質、關系和規(guī)律，這與史寧中教授概括的“三會”是一致的，即會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界. 會用數(shù)學眼光觀察世界，指的是通過直觀想象和抽象引入并明確研究對象，理解事物的本質;會用數(shù)學思維思考世界，指的是在抽象的基礎上，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理和模型構建等方式建立事物之間的普遍聯(lián)系，并在此基礎上抽象出這些聯(lián)系的一般規(guī)律;會用數(shù)學語言表達世界，指的是用數(shù)據(jù)、自然語言、圖形語言、符號語言基于邏輯規(guī)則進行有條理的表達和交流. 因此，數(shù)學學科的核心育人價值是利用數(shù)學的內在力量發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，發(fā)展學生有邏輯、創(chuàng)造性地思考的能力及有邏輯地表達的能力. 這些關鍵能力體現(xiàn)在數(shù)學活動的不同階段，需要通過有針對性的活動得到發(fā)展.

（2）分析復習課的認知特點及學生學習的心理規(guī)律，明確復習教學的育人價值及基本課型.

數(shù)學復習是“溫故而知新”的認知重構活動，復習的內容是學生已經(jīng)學習過的，這是復習活動的“溫故”特征，那么“知新”的主要表現(xiàn)特征是什么呢？這需要依據(jù)學生學習的認知發(fā)展規(guī)律和數(shù)學教育的核心育人價值進行融合研究. 文章基于心理學、腦科學的原理，從問題解決與大腦的認知規(guī)律出發(fā)，分析其支持要素，得到“系統(tǒng)簡約知識體系”“系統(tǒng)的數(shù)學思想方法系統(tǒng)”和“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的一般性思考經(jīng)驗”是支撐高水平問題解決能力的關鍵要素，并提出了復習教學的核心育人價值，即在相互聯(lián)系中深化對知識的理解，形成系統(tǒng)簡約的知識體系;在操作體會、歸納與一般化、遷移鞏固和系統(tǒng)化中形成數(shù)學思想和方法;在解決問題的過程中抽象和概括一般性的思考程序和方法. 進一步地，文章還依據(jù)這些支撐問題解決的要素的層次性劃分了三類復習教學的基本課型——基礎復習課、專題復習課、問題解決和研究.

（3）分析初中總復習教學的現(xiàn)狀，梳理問題和不足.

當前，初中總復習教學實踐中普遍采用“知識點回顧 + 題型操練”的“以練代學”的復習教學方式，文章用腦科學的原理分析了這種教學方式的優(yōu)勢與不足，提出了如下科學、有效的復習方式，即大腦中先要形成新的神經(jīng)聯(lián)接，再通過適當?shù)木毩晱娀窠?jīng)聯(lián)接. 與之相對應的學習活動，則是先形成對知識、思想方法和活動經(jīng)驗的新的理解，再通過適時適當?shù)木毩晫崿F(xiàn)鞏固和遷移，這些就是復習中認知重構活動的“知新”內涵.

基于以上分析，文章提出了系統(tǒng)研究初中數(shù)學總復習教學策略的問題.

2. 系統(tǒng)概括初中數(shù)學總復習教學策略體系

（1）基礎復習課的教學策略.

① 整體建構.

通過分析數(shù)系擴充、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等內容的邏輯結構，合理劃分基礎復習課的教學單元（“數(shù)與代數(shù)”領域包括數(shù)的發(fā)展，字母表示數(shù)，整式，分式，二次根式，方程，不等式，函數(shù);“圖形與幾何”領域包括幾何圖形，相交線與平行線，三角形，平行四邊形，圓，圖形的全等變換，圖形的相似，銳角三角函數(shù);“統(tǒng)計與概率”領域包括統(tǒng)計，概率），進行單元整體復習教學，便于學生在相互聯(lián)系中深化知識的理解，建構系統(tǒng)、簡約的知識結構.

② 一般觀念引領.

通過分析同一單元內容之間的研究思路、研究內容和研究方法，概括出“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”領域中知識形成和發(fā)展的研究過程所蘊涵的一般觀念，并通過研究不同單元內容之間的連貫性和邏輯一致性概括出同一領域不同單元內容的數(shù)學一般觀念. 所謂一般觀念，指的是與核心概念和理論相關的研究問題的頂層觀念. 具體是指：研究對象是如何引入和定義的，這類對象要研究什么，性質指的是什么，判定指的是什么，知識體系的形成邏輯是怎樣的，按照怎樣的思路研究，用什么方法研究，等等. 這種一般觀念可以作為整理系統(tǒng)、簡約的知識結構體系的“方向標”和“腳手架”，也能指導學生在整理知識結構的同時理解知識發(fā)生、發(fā)展過程中蘊涵的數(shù)學思想和方法，還能讓學生體會“數(shù)學是怎樣研究一類對象的”.

③ 直觀化.

視覺直觀是人類覺知客觀事物的優(yōu)勢通道，幾何思維的發(fā)展的路徑是“空間視覺行為—幾何作圖（手繪和尺規(guī)作圖）—言語表述—定義與演繹—公理化、系統(tǒng)化”，代數(shù)思維的發(fā)展基于對操作和運算的概括和符號化，以及這些腦科學原理，從而概括出幾何復習基于空間結構及其變化的“直觀化”、代數(shù)復習基于運算和操作的“直觀化”的教學策略.

④ 基于評價，精準教學.

基于現(xiàn)代信息技術的發(fā)展，文章提出了基于大數(shù)據(jù)的基于評價、精準教學的策略，提高復習教學的針對性，改進教學效果.

（2）聚焦數(shù)學思想方法的專題復習教學策略體系.

① 聚焦數(shù)學思想方法.

專題復習教學的核心育人價值不是為了讓學生積累和熟練各種題型，而是為學生解決問題提供數(shù)學思想和方法. 數(shù)學思想方法是具有遷移潛力的思考問題的一般性方法，如抽象、推理、模型這三種基本思想，以及由此派生出來分類、數(shù)形結合、特殊化與一般化、轉化、數(shù)學建模、類比、歸納、演繹等經(jīng)典思想方法，而不是“手拉手模型”“一線三等角模型”“銷售問題”“動點問題”等題型. 基于此，文章把專題復習聚焦于數(shù)學思想方法，而不是題型.

② 重視數(shù)學思想方法的抽象和遷移.

文章基于已有文獻，在明確數(shù)學思想方法學習的基本規(guī)律（在模仿操作中體會，在反思總結中明朗化，在遷移應用中鞏固，在相互聯(lián)系中發(fā)展）的基礎上，構建了基于內容和實例、聚焦數(shù)學思想和方法教學的課堂結構（解決問題，操作體會—反思概括，推廣到一般—遷移應用—聯(lián)系發(fā)展），并指出了概括數(shù)學思想方法的核心是這種思想方法“有什么用（在什么時候用）、怎樣用（操作步驟和基本想法）、注意要點”.

③ 循序漸進地建立數(shù)學思想方法體系.

文章在分析數(shù)學基本思想到經(jīng)典思想到具體方法的結構體系的基礎上，提出了從相對具體到相對抽象、從單一到綜合的數(shù)學思想方法教學的循序漸進策略.

（3）問題解決和數(shù)學研究的教學策略.

文章在分析問題解決的認知心理機制的基礎上，認為在具備了簡約系統(tǒng)的知識結構和系統(tǒng)的數(shù)學思想方法儲備的基礎上，影響數(shù)學問題研究和解決的關鍵要素是研究和思考問題的一般性活動經(jīng)驗. 這種一般性活動經(jīng)驗就是規(guī)劃“目標導向行為”活動方案的基本步驟及其活動的導航. 在此基礎上，文章提出了如下數(shù)學問題解決和數(shù)學研究的教學策略.

① 重視一般思考步驟的抽象和概括.

文章在分析波利亞解題理論和John R Anderson的問題解決五階段理論的基礎上，提出了問題解決教學的核心目標是讓學生知道“面對一個陌生的具有挑戰(zhàn)性的問題時，怎樣按部就班地思考”，給出了問題解決教學的基本策略是：首先，讓學生解決具體的、具有挑戰(zhàn)性的問題，讓學生經(jīng)歷分析條件和目標，適當表示問題條件和目標，并根據(jù)需要轉換問題（采用“前推法”“后推法”和“兩頭湊法”構建子目標序列），尋找和建立聯(lián)系條件和目標的數(shù)學模型或圖形結構，制定和實施計劃解決問題、解釋結論、評價總結、在線評估等過程;其次，引導學生通過反思總結這種分析問題和解決問題的步驟和方法，推廣到一般，形成如下圖所示的思考程序圖.

② 重視一般思考步驟的遷移應用.

文章依據(jù)問題解決的相關理論，指出“遷移應用和內化”是鞏固知識、形成思想方法和積累解決問題活動經(jīng)驗的關鍵環(huán)節(jié)之一. 問題解決和數(shù)學研究活動經(jīng)驗的遷移應用，主要是指用相似的步驟確定研究和解決問題的可能方向，尋找解決問題的思路. 這種遷移應用活動的例題應該具有“表面與結構新穎，所用思想方法和知識綜合，但是分析和尋找解決問題的步驟和方法具有相似性”，從而讓學生學會用已有的經(jīng)驗去研究和解決陌生的、挑戰(zhàn)性的問題，學會用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界.

三、結束語

歷經(jīng)四年的理論概括、教學設計和實踐驗證研究，得到的研究成果得到了廣泛推廣和應用. 在2020年疫情期間，本研究的初中數(shù)學總復習課程微課全國在線瀏覽量超過120萬人次. 通過這一研究歷程，筆者的體會是基于教學實踐發(fā)現(xiàn)和提出研究問題，融合數(shù)學和心理學、認知與腦科學進行理論結合實踐的研究，既是數(shù)學教學理論創(chuàng)新的重要方法，也是改進數(shù)學教學育人價值的現(xiàn)實需要，還是提升教師專業(yè)素養(yǎng)的良好平臺. 讓我們腳踏實地，深入開展教學實踐問題導向的教學創(chuàng)新研究，為提升我國的數(shù)學教育做出更大的貢獻.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]吳增生. 整體建構核心素養(yǎng)導向下的總復習教學策略體系[J]. 中國數(shù)學教育（初中版），2019（7 / 8），3-11，37.