蹇越傲 馬連生

摘要： 基于經(jīng)典板理論，研究了熱載荷作用下功能梯度圓板的大幅振動問題。在經(jīng)典板理論下利用物理中面概念，導(dǎo)出了功能梯度圓板的非線性運動方程。利用Ritz?Kantorovich方法消去時間變量，將非線性運動方程轉(zhuǎn)換成了一組關(guān)于空間變量的非線性常微分方程。采用打靶法數(shù)值求解所得方程，并利用數(shù)值結(jié)果研究了熱載荷作用下功能梯度圓板靜態(tài)響應(yīng)的影響和振幅、材料梯度參數(shù)、熱載荷以及邊界條件等對功能梯度圓板振動行為的影響。研究表明：熱變形的存在使周邊夾緊與簡支FGM圓板的振動響應(yīng)及線性振動與非線性振動行為均有顯著不同。熱過屈曲變形板的硬化是有限度的，過大的熱過屈曲變形也會降低FGM圓板的剛度。

關(guān)鍵詞： 非線性振動; 功能梯度圓板; 熱載荷; Ritz?Kantorovich方法; 打靶法; 大振幅振動

引 ?言

板結(jié)構(gòu)在工程中有著廣泛的應(yīng)用，特別是薄板結(jié)構(gòu)，它們經(jīng)常受到較大的動態(tài)載荷。而這可能導(dǎo)致這些結(jié)構(gòu)的大幅度振動[1]，降低建筑物和交通工具的可靠性，引發(fā)一系列安全問題。

近年來，許多學(xué)者對功能梯度材料板和梁的振動問題進行了研究。Allahverdizadeh等[1]采用半解析法，得出自由振動頻率取決于振動幅度，體積分數(shù)指數(shù)對板的非線性響應(yīng)特性有顯著影響。Chaudhari等采用von?Karman動力學(xué)方程，對薄矩形功能梯度板進行了非線性分析[2]。Li等[3]基于三維線性彈性理論，研究了在熱環(huán)境中具有簡支和夾邊的功能梯度材料矩形板的自由振動。同樣，Kumar等[4]使用能量法，進行了軸向功能梯度（AFG）非均勻板的非線性強迫振動分析。Chaudhari等[5]，介紹了具有von Karman非線性的功能梯度板的自由振動行為。而Thang 和Lee[6]利用Hamilton原理和經(jīng)典板理論，基于Navier解決方案，針對簡單支撐的矩形板的固有頻率提出了精確的解決方案。Alijani等[7]研究了隨機激勵下固定端條件下FGM板的非線性振動，討論了溫度變化和體積分數(shù)指數(shù)的影響，并說明熱變形功能梯度材料（FGM）板具有更強的硬化行為。Talha和Singh[8]對剪切變形FGM板的大幅度自由彎曲振動進行了研究分析。結(jié)果表明，非線性頻率比對于不同的邊界條件，不同厚度比、縱橫比和體積分數(shù)指數(shù)的振幅比的影響是突出的。Jha等[9]基于高階剪切/剪切?正常變形理論，分析了功能梯度矩形板的自由振動響應(yīng)。Shen等[10]研究了在熱環(huán)境中基于彈性地基的剪切變形FGM圓柱板的大振幅振動特性。Hao和Zhang[11]在Reddy三階剪切變形板理論的框架下，利用Hamilton原理推導(dǎo)出懸臂FGM矩形板的運動控制方程，研究橫向激勵下懸臂FGM矩形板的非線性振動。

由于FGM結(jié)構(gòu)在等厚度方向呈現(xiàn)非均勻性，這會使得FGM結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為異于傳統(tǒng)材料結(jié)構(gòu)。如，在面內(nèi)載荷作用下，周邊夾緊邊界條件FGM板與周邊簡支條件FGM板的靜態(tài)力學(xué)行為完全不同。就作者所知，關(guān)于面內(nèi)熱載荷作用下，不同邊界條件下FGM圓板非線性振動行為的研究成果并不常見，本文將針對此類問題展開研究。

本文利用Hamilton原理[12]，基于經(jīng)典板理論[13]，導(dǎo)出了功能梯度板的非線性運動方程。利用Ritz?Kantorovich方法[14]消去時間變量，將非線性運動方程轉(zhuǎn)換成了一組關(guān)于空間變量的非線性常微分方程。采用打靶法數(shù)值求解所得方程，并利用數(shù)值結(jié)果分析了靜態(tài)變形，振幅、材料梯度參數(shù)、熱載荷以及邊界條件等對功能梯度圓板振動行為的影響。

1 基本方程

考慮一個半徑為b，厚度為h的功能梯度材料圓板。采用柱坐標系Orθz，其中原點O與板的圓心重合，Orθ面置于圓板的幾何中面，z軸垂直于該面。設(shè)該板是由金屬相和陶瓷相組成，且材料性質(zhì)P（如彈性模量E、密度ρ、熱膨脹系數(shù)α等量）只沿板的厚度方向變化，且服從以下規(guī)律[15]

2 數(shù)值方法

由于所得控制方程具有很強的非線性，難以獲得解析解。以下采用打靶法來數(shù)值地求解這組方程。為此，將方程（10）?（13）以及邊界條件寫成下列矩陣形式：

3 數(shù)值結(jié)果與討論

分析中考慮成分由Al和ZrO2組成的功能梯度板，組分材料性質(zhì)如表1所示。

3.1 FGM圓板的靜態(tài)力學(xué)行為

圖1給出了梯度指數(shù)n對夾緊板臨界屈曲溫度λcr的影響曲線。從圖中可以看出，隨著梯度指數(shù)n的增大，臨界屈曲溫度λcr單調(diào)遞增。當(dāng)n值較小時，臨界屈曲溫度隨n的增加而變化劇烈;而當(dāng)n值較大（如n>20）時，的變化緩慢。圖2?3分別給出了周邊夾緊和簡支功能梯度圓板中心撓度隨熱載荷的變化曲線。顯然，邊界條件的不同，對功能梯度板的靜態(tài)行為有顯著影響。夾緊條件下，圓板是典型的過屈曲變形，而簡支條件下，圓板不存在分支屈曲，無論熱載荷多小，總是會有撓度產(chǎn)生。

3.2 FGM圓板的大振幅振動問題

為了驗證數(shù)值方法的有效性，首先計算了夾緊各向同性圓板的小振幅振動頻率，1階模態(tài)為10.2158，2階模態(tài)為39.7711。與文獻[18]比較，兩者吻合良好。對于1階模態(tài)，圖4?7分別給出了夾緊、簡支FGM板固有頻率ω隨振幅參數(shù)A變化的曲線。從圖4?7中可以看出，固有頻率隨振幅參數(shù)單調(diào)遞增。其中圖4和6是無溫度載荷的情況。無溫度載荷時，具有中間材料性質(zhì)的梯度板，其固有頻率數(shù)值介于陶瓷板和金屬板之間。而當(dāng)有熱載荷作用時，并不一定滿足這種規(guī)律[19]。

在圖8?9中，給出了梯度參數(shù)n與固有頻率ω的關(guān)系曲線?？梢钥吹剑司植繀^(qū)域，固有頻率總是隨著梯度參數(shù)單調(diào)增大;熱載荷總是使板的固有頻率降低。

圖10給出了不同n值時，周邊夾緊FGM圓板的線性固有頻率（A=0.01）隨熱載荷的變化曲線。從圖10可以看出，在前屈曲階段，隨著熱載荷的增加，圓板的1階線性固有頻率（A=0.01）單調(diào)減小。當(dāng)熱載荷接近板的臨界熱載荷時，固有頻率趨于零。在過屈曲階段，F(xiàn)GM板的固有頻率隨著熱載荷的增大先增大后減小。這種變化與熱過屈曲變形有關(guān)。顯然，熱變形FGM板的硬化是有限度的，過大的熱過屈曲變形會降低FGM板的剛度。非線性振動時（A=1），F(xiàn)GM圓板1階固有頻率隨熱載荷的變化曲線繪于圖11。從圖中可以看到，板屈曲前后ω?λ曲線的變化趨勢依然類似于線性振動（圖10），而且這兩條曲線依然交于分支點。不同的是，在分支點處，非線性固有頻率不再是零。這兩幅圖表明，熱過屈曲變形對FGM板的振動行為有著明顯的影響。

對于簡支FGM板，線性（A=0.01）和非線性（A=1）基頻ω隨熱載荷參數(shù)λ的變化曲線分別如圖12和13所示。由于周邊簡支FGM圓板不存在分支屈曲（如圖3所示），熱彎曲變形始終存在，而熱彎曲變形使得簡支圓板的固有頻率隨熱載荷的增大先減小后增大。但是，與夾緊板不同的，簡支板的頻率不會降低到零?？梢?，熱變形對FGM板振動響應(yīng)的影響是復(fù)雜的。非線性振動時，情形是類似的。

4 結(jié) ?論

本文基于經(jīng)典板理論，推導(dǎo)了熱載荷作用下圓板的運動方程。然后利用Ritz?Kantorovich方法消去時間變量，將非線性運動方程轉(zhuǎn)換成了一組關(guān)于空間變量的非線性常微分方程。最后采用打靶法數(shù)值求解所得方程。分析了功能梯度材料圓板的熱過屈曲、熱彎曲以及非線性振動問題。數(shù)值結(jié)果表明：

（1）熱載荷作用下，周邊夾緊FGM圓板呈現(xiàn)典型的過屈曲行為;而由于簡支邊界條件非齊次，不能構(gòu)成特征值問題，因此簡支FGM板沒有分支屈曲現(xiàn)象。

（2）材料梯度指數(shù)n和振幅參數(shù)A的增加均會使FGM圓板的固有頻率增大。

（3）無熱載荷時，具有中間材料性質(zhì)的梯度板，其固有頻率值介于陶瓷板和金屬板之間。而當(dāng)有熱載荷時，此規(guī)律不成立。

（4）熱變形對FGM圓板振動響應(yīng)的影響是復(fù)雜的。對于周邊夾緊FGM圓板的線性振動，在前屈曲階段，隨熱載荷的增大，板的固有頻率單調(diào)減小，直至為零，此時板屈曲;在過屈曲階段，隨熱載荷的增大，板的固有頻率先增大后減小?？梢?，熱變形板的硬化是有限度的。而非線性振動時，熱變形對固有頻率的影響與線性振動類似，但是非線性固有頻率不會降低為零。

（5）對于簡支FGM圓板，由于板彎曲變形始終存在，使得FGM圓板的固有頻率先降低而后增加。由于簡支FGM圓板不存在熱分支屈曲，固有頻率不會減小為零。

參考文獻：

[1] Allahverdizadeh A， Naei M H， Bahrami M N. Nonlinear free and forced vibration analysis of thin circular functionally graded plates[J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 310（4）： 966-984.

[2] Chaudhari V K， Gupta A， Talha M. Nonlinear vibration response of shear deformable functionally graded plate using finite element method[J]. Procedia Technology， 2016， 23： 201-208.

[3] Li Q， Iu V P， Kou K P. Three-dimensional vibration analysis of functionally graded material sandwich plates[J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 311（1-2）： 498-515.

[4] Kumar S， Mitra A， Roy H. ??Forced vibration response of axially functionally graded nonuniform plates considering geometric nonlinearity[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2017， 128： 194-205.

[5] Chaudhari V K， Gupta A， Talha M. Nonlinear vibration response of shear deformable functionally graded plate using finite element method[J]. Procedia Technology， 2016， 23： 201-208.

[6] Thang P T， Lee J. Free vibration characteristics of sigmoid-functionally graded plates reinforced by longitudinal and transversal stiffeners[J]. Ocean Engineering， 2018， 148： 53-61.

[7] Alijani F， ??Bakhtiari-Nejad F， Amabili M. Nonlinear vibrations of FGM rectangular plates in thermal environments[J]. Nonlinear Dynamics， 2011， 66（3）： 251-270.

[8] Talha M， Singh B N. Large amplitude free flexural vibration analysis of shear deformable FGM plates using nonlinear finite element method[J]. Finite Elements in Analysis and Design， 2011， 47（4）： 394-401.

[9] Jha D K， Kant T， Singh R K. Free vibration response of functionally graded thick plates with shear and normal deformations effects[J]. Composite Structures， 2013， 96（4）： 799-823.

[10] Shen H S， Wang H. Nonlinear vibration of shear deformable FGM cylindrical panels resting on elastic foundations in thermal environments[J]. Composites： Part B， 2014， 60： 167-177.

[11] Hao Y X， Zhang W. Nonlinear vibration of the cantilever fgm plate based on the third-order shear deformation plate theory[J]. AIP Conference Proceedings， 2010， 1233： 522.

[12] 姚國， 李鳳明. 橫向均布載荷下亞音速大撓度薄板的混沌運動[J]. 振動工程學(xué)報， 2012， 25（6）：674-679.

Yao Guo ， Li Fengming. Chaotic motion of the subsonic plate with large deflection subjected to the transverse uniform load[J]. Journal of Vibration Engineering， 2012， 25（6）：674-679.

[13] Ma L S， ??Wang T J. ??Relationships between axisymmetric bending and buckling solutions of FGM circular plates based on third-order plate theory and classical plate theory[J]. International Journal of Solids & Structures， 2004， 41（1）： 85-101.

[14] Li S R， Zhou Y H. Shooting method for nonlinear vibration and thermal buckling of heated orthotropic circular plate[J]. Journal of Sound and Vibration， 2001， 248： 379-386.

[15] Ma L S， Wang T J. Nonlinear bending and post-buckling of a functionally graded circular plate under mechanical and thermal loadings[J]. International Journal of Solids & Structures， 2003， 40（13-14）： 3311-3330.

[16] Tacza?a M， Buczkowski R， Kleiber M. Nonlinear free vibration of pre- and post-buckled FGM plates on two-parameter foundation in the thermal environment[J]. Composite Structures， 2015， 137： 85-92.

[17] Woo J， Meguid S A. Nonlinear analysis of functionally graded plates and shallow shells[J]. International Journal of Solids and Structures， 2001， 38（42）： 7409-7421.

[18] Zhou Y H， Zheng X J， Harik I E. Free vibration analysis of compressed clamped circular plates[J]. Journal of Engineering Mechanics， 1995， 121（12）： 1372-1376.

[19] 李世榮， 范亮亮. 熱環(huán)境中功能梯度材料圓板的自由振動[J]. 振動工程學(xué)報， 2007， 20（4）： 353-360.