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        軸對稱變厚度圓板反對稱彎曲的傳遞矩陣法

        2021-03-29 03:07:52周欣竹鄭建軍范興朗

        周欣竹,鄭建軍,范興朗,張 煒,葉 浩

        (1.浙江工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院,浙江 杭州 310023;2.浙江省工程結(jié)構(gòu)與防災(zāi)減災(zāi)技術(shù)研究重點實驗室,浙江 杭州 310023)

        在土木、水利和機(jī)械工程中,各種材料和各種形狀的板結(jié)構(gòu)得到廣泛的應(yīng)用[1-4]。變厚度圓板的應(yīng)用也不罕見,如汽輪機(jī)葉盤、板式離合器、往復(fù)機(jī)械中的活塞和電視塔基礎(chǔ)等[5-7]。由于變厚度圓板彎曲方程過于復(fù)雜,一般解析解僅限于簡單荷載作用下的線性變厚度板[5]。對于復(fù)雜荷載作用下的一般變厚度圓板,大多采用數(shù)值方法。劉葉丹等[8]提出了變厚度圓板彎曲的初參數(shù)法,這種方法對板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計具有一定的優(yōu)越性。李欣業(yè)等[9]提出了線性變厚度圓板的有限差分法。周欣竹等[10]基于特殊函數(shù)理論給出了Winkler地基上環(huán)板單元的傳遞矩陣,并用于一般變厚度環(huán)板的靜力分析。吳敏達(dá)等[11]考慮板的剪切變形,應(yīng)用攝動法給出了指數(shù)變厚度圓板和環(huán)板的級數(shù)解。近年來,Vivio等[12]獲得了一類冪型變厚度圓板彎曲的解析解。這些研究都限于變厚度圓板或環(huán)板的軸對稱彎曲,而對于反對稱彎曲文獻(xiàn)中鮮有報道[5-7]。而在實際工程中,如果變厚度圓板垂直置于液體中,液體對圓板的壓力可以分解為軸對稱荷載和反對稱荷載。因此,研究軸對稱變厚度圓板的反對稱彎曲對于進(jìn)一步理解板的受力特性具有理論意義,而且對于圓板設(shè)計和厚度優(yōu)化也具有參考價值。

        1 基本方程和等厚度圓環(huán)板彎曲的解析解

        考慮如圖1所示的變厚度圓板,周邊簡支或固支,將圓板劃分成N的單元,其中:第1個是圓板單元,其余N-1個是環(huán)板單元。圓板承受反對稱荷載為

        P(r,θ)=p(r)cosθ

        (1)

        圖1 軸對稱變厚度圓板及其單元劃分

        為了分析這些板單元,將它們按等厚度處理,很顯然,單元數(shù)N越大,這些板單元的組合越接近原來的軸對稱變厚度圓板。設(shè)第i個板單元的彎曲剛度為Di,所承受的荷載為

        Pi(r,θ)=pi(r)cosθ

        (2)

        根據(jù)板殼理論,第i個板單元的撓度Wi(r,θ)滿足如下方程:

        (3)

        根據(jù)外荷載的形式,設(shè)撓度Wi(r,θ)為

        Wi(r,θ)=wi(r)cosθ

        (4)

        相應(yīng)的徑向轉(zhuǎn)角Φr(r,θ)、徑向彎矩Mr(r,θ)和徑向剪力Vr(r,θ)分別為

        Φir(r,θ)=φir(r)cosθ

        (5)

        Mir(r,θ)=mir(r)cosθ

        (6)

        Vir(r,θ)=vir(r)cosθ

        (7)

        式中:φir(r),mir(r),vir(r)分別表示為

        (8)

        (9)

        (10)

        式中μ為板材料的泊松比。

        將式(4)代入式(3)并消去cosθ有

        (11)

        式(11)的解由兩部分組成:一部分是與式(11)相對應(yīng)齊次方程的解,另一部分是式(11)的特解。很顯然,相應(yīng)于式(11)的齊次方程解為

        (12)

        式中:ci(i=1,2,3,4)為待定系數(shù);函數(shù)fi(r)(i=1,2,3,4)分別為

        (13)

        (14)

        (15)

        (16)

        根據(jù)常微分方程理論,式(11)的特解可設(shè)為

        (17)

        式中:d1(r),d2(r),d3(r),d4(r)分別為r的函數(shù),滿足下列條件:

        (18)

        (19)

        (20)

        將式(17)代入式(11)并注意式(18~20)有

        (21)

        聯(lián)立求解方程式(18~21)可得

        (22)

        設(shè)第i個環(huán)板單元的內(nèi)半徑和外半徑分別為ri-1和ri,則d1(r),d2(r),d3(r),d4(r)分別為

        (23)

        (24)

        (25)

        (26)

        這樣,就得到等厚度環(huán)板反對稱彎曲撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力的解析解。對于等厚度圓板單元,由于板中心的撓度和彎矩有限,只需令c3=c4=0就可以得到撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力。

        2 環(huán)板單元傳遞矩陣和變厚度圓板總體傳遞矩陣

        (27)

        Ci=[c1,c2,c3,c4,1]T

        (28)

        對于第i個環(huán)板單元,當(dāng)r=ri-1時,由式(12,14~17,24~26)有

        Ai-1Ci=Qi-1

        (29)

        式中Ai-1為

        (30)

        求解方程組式(29)可得

        (31)

        (32)

        同樣,當(dāng)r=ri時,由式(12,14~17,24~26)可得

        Qi=BiCi

        (33)

        式中Bi為

        (34)

        由式(31,33)可得

        Qi=TiQi-1

        (35)

        式中環(huán)板單元的傳遞矩陣Ti為

        (36)

        對于圓板單元,c3=c4=0。當(dāng)r=r1時,由式(12,14~17,24~26)可得Q1為

        (37)

        式中B1為

        (38)

        根據(jù)傳遞矩陣法原理,對于圖1所示的變厚度圓板有

        (39)

        式中總體傳遞矩陣T為

        (40)

        無論是周邊簡支還是固支,利用兩個邊界條件求得系數(shù)c1和c2,將c1和c2代入式(37)求出Q1,再利用傳遞關(guān)系式(35)求得各節(jié)圓上的撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力。

        3 數(shù)值驗證和討論

        考慮一軸對稱變厚度圓板,半徑為a,彈性模量為E,泊松比μ=0.3,板厚變化方程h(r)=h0[1-r/(2a)],所承受的荷載P(r,θ)=p0(r/a)cosθ,板周邊簡支和固支兩種情況,撓度W(r,θ)和軸向彎矩Mr(r,θ)分別寫成

        (41)

        Mr(r,θ)=M1(r)pa2cosθ

        (42)

        計算發(fā)現(xiàn):當(dāng)將圓板劃分成100 個等厚度單元時,結(jié)果收斂令人滿意。令N=100,W1(r)和M1(r)的計算結(jié)果如圖2~5所示,其中TMM和FEM分別表示傳遞矩陣法和有限單元法。從圖2~5可以看出:傳遞矩陣法與有限元法吻合良好,對于簡支圓板,W1(r)和M1(r)的最大相對誤差分別為0.068 5%和0.379%,對于固支圓板,W1(r)和M1(r)的最大相對誤差分別為1.09%和0.856%。因此,傳遞矩陣法的有效性得到數(shù)值驗證。

        圖2 簡支圓板撓度

        圖3 簡支圓板徑向彎矩

        圖4 固支圓板撓度

        圖5 固支圓板徑向彎矩

        下面討論板厚變化對撓度和徑向彎矩的影響。設(shè)半徑為a,彈性模量為E,泊松比μ=0.3,板厚變化方程h(r)=h0exp(αr),承受的荷載P(r,θ)=p0(r/a)cosθ,令W1(r)和M1(r)的最大值分別為W1max和M1max,對于周邊固支圓板,產(chǎn)生負(fù)的徑向彎矩,如圖5所示,令M1(r)的最小值為M1min,計算結(jié)果如圖6~10所示。從圖6~10可以看出:板厚參數(shù)變化對板撓度影響較大,而對板徑向彎矩影響較小。當(dāng)α從-0.5增大到0.5時,簡支板最大撓度和最大徑向彎矩分別減小83.8%和17.8%,固支板最大撓度和最大徑向彎矩分別減小85.8%和37.4%,而固支板的最小徑向彎矩增大32.4%。

        圖6 簡支圓板最大撓度

        圖7 簡支圓板最大徑向彎矩

        圖8 固支圓板最大撓度

        圖9 固支圓板最大徑向彎矩

        圖10 固支圓板最小徑向彎矩

        3 結(jié) 論

        基于等厚度環(huán)板反對稱彎曲撓度、徑向轉(zhuǎn)角、徑向彎矩和徑向剪力的解析解,導(dǎo)出了環(huán)板單元的傳遞矩陣,提出了軸對稱變厚度圓板反對稱彎曲的傳遞矩陣法。該方法的主要優(yōu)點:可以通過增加單元數(shù)模擬復(fù)雜變厚度板,提高計算精度,而總體傳遞矩陣的階數(shù)始終保持5 階,節(jié)省計算機(jī)內(nèi)存。與有限單元法比較,證實了該傳遞矩陣法的有效性,討論了板厚度變化對圓板最大撓度、最大徑向彎矩和最小徑向彎矩的影響。

        本文得到了浙江工業(yè)大學(xué)研究生核心課程項目(GZ17571060001)和本科核心課程建設(shè)項目(PX-48181685)的資助。

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