劉福壽 徐文婷 金棟平

摘要： 關節(jié)非線性對大型可展開空間桁架結構整體動力學特性有著重要影響。將關節(jié)模擬為具有六個方向剛度且其中任意方向可含有非線性特性的彈簧系統(tǒng)，研究了空間桁架結構非線性動力學建模與共振分析方法。采用雙線性滯回模型模擬關節(jié)的摩擦特性，基于描述函數法得到了關節(jié)等效剛度和等效阻尼的解析表達式。在對兩端含非線性關節(jié)的桁架構件進行動力學縮聚的基礎上，建立了桁架結構在頻域下的整體縮聚動力學模型，并采用Newton?Raphson迭代方法進行頻域響應求解。通過數值算例將本文方法的計算結果與有限元分析結果進行比較，驗證了本文方法的準確性和高效性。

關鍵詞： 結構振動; 空間桁架結構; 非線性關節(jié); 摩擦滑移; 雙線性滯回模型

引 ?言

空間桁架結構具有輕質高強、結構靈活、宜于擴展等優(yōu)點，是目前大型空間可展開結構及未來超大型在軌組裝結構的一種主要結構形式[1?3]。不論是可展開桁架還是在軌組裝桁架，都會使用大量的連接部件（簡稱“關節(jié)”）來聯結桁架構件[4?5]。在這些關節(jié)中不可避免地存在間隙，導致關節(jié)內產生接觸碰撞、摩擦滑移等力學問題[6]，成千上萬個關節(jié)間隙可以使整個結構動力學呈現強非線性，甚至使理想結構的動力學特性發(fā)生很大改變[7]。因此，準確預測關節(jié)非線性對整體結構動力學特性的影響，對于大型空間桁架結構動力學設計及在軌動態(tài)性能至關重要[8]。

由于空間桁架結構中關節(jié)非線性特性的復雜性，精確建立關節(jié)動力學模型往往十分困難，通常需要對關節(jié)非線性模型進行一定的假設和簡化，使其反映關節(jié)最本質的非線性特征。根據關節(jié)非線性剛度和阻尼的產生機理，可將其非線性模型分為接觸碰撞模型和摩擦模型兩種主要類型[7]。關節(jié)接觸碰撞模型主要包括連續(xù)接觸模型、兩狀態(tài)（接觸和分離）模型以及三狀態(tài)（接觸、自由運動和碰撞）模型三類[8]。關節(jié)摩擦模型主要有理想雙線性滯回模型[9]、考慮摩擦系數與速度相關性的Stribeck模型[10]、考慮微滑移的Valanis模型[11]以及能夠描述多種摩擦現象的LuGre模型[10，12]等。在模擬空間桁架結構中的關節(jié)摩擦時，由于理想雙線性滯回模型具有形式簡單，需要辨識的物理參數少、物理意義明確等優(yōu)點而被廣泛采用[9，13?14]。

對于含單個或數個非線性關節(jié)結構的動力學特性研究，解析或半解析方法得到廣泛關注[11?13]。例如，Yoshida[6]采用等效單自由度模型，研究了含單個回轉鉸鏈的懸臂梁的頻率躍遷及能量耗散現象。Wei等[15]基于Galerkin方法，獲得了含多個非線性關節(jié)的鉸接梁的降階動力學方程。然而，對于含大量非線性關節(jié)的空間桁架結構動力學建模與分析，目前主要依賴時域或頻域內的數值分析方法，解析或半解析研究尚不夠充分。時域數值方法通常采用有限元法進行桁架結構非線性建模和結構動響應計算[16?17]。為了獲取足夠精確的結果，時域方法在計算動響應時通常需要采用較小的時間步長，導致計算量太大[18];頻域分析方法主要是利用諧波平衡法[19]、增量諧波平衡法[20]和描述函數法[21]等分析結構在簡諧激勵下的動力響應，其本質是將時域內的非線性微分方程組轉換為頻域內的代數方程組，提高求解效率。例如，宋正華等[19]采用諧波平衡法對含立方剛度鉸的四邊形桁架單元進行了動力響應分析。Zhang等[21]基于描述函數法對含立方剛度鉸鏈的周期平面桁架結構進行連續(xù)體等效建模研究。上述有關頻域方法的研究中，均是將桁架中的關節(jié)模擬為單一方向的非線性彈簧，而實際空間桁架結構中的關節(jié)的力學特性往往十分復雜，可以表現出多個方向的非線性特性。因此，針對空間桁架結構的非線性動力學建模，需要發(fā)展更加具有通用性的建模方法。

本文將桁架中的關節(jié)模擬為沿構件局部坐標系平動和轉動方向的六個彈簧單元，采用雙線性滯回模型模擬關節(jié)摩擦特性。基于描述函數法推導了非線性關節(jié)的等效剛度和等效阻尼系數，建立了桁架結構在頻域下的整體縮聚動力學模型，分析了非線性模型參數和激勵力幅值對桁架結構動力特性的影響。

1 桁架結構非線性動力學建模

考慮含多個非線性關節(jié)的Pratt型空間周期桁架結構，如圖1所示。將桁架結構中的構件模擬為空間梁模型，關節(jié)模擬為在構件局部坐標系下沿三個坐標軸方向的零長度平動彈簧（記為kux，kuy，kuz）和繞三個坐標軸方向的零長度轉動彈簧（記為kθx，kθy，kθz），如圖2所示。同時，考慮到關節(jié)的尺寸效應，在構件兩端分別加上長度為e1和e2的剛臂，不計關節(jié)質量。

1.1 非線性關節(jié)等效建模

考慮桁架結構受到頻率為ω（ω接近系統(tǒng)的某階共振頻率）的簡諧激勵，則桁架結構的動態(tài)響應以頻率為ω的基礎諧波分量為主，高階諧波分量與基礎諧波分量相比可以忽略不計。因此，桁架內關節(jié)在任一剛度方向上的相對位移可以近似表示為

1.2 桁架結構模型縮聚

在獲得非線性關節(jié)的等效剛度和等效阻尼系數后，可采用有限元法或動力剛度法建立包含空間梁單元、等效彈簧?阻尼單元和剛臂單元的桁架結構頻域離散動力學模型，然而這樣的模型將具有很高的自由度數。為此，可以采用文獻[23]提出的方法對上述離散模型進行動力學縮聚。以動力剛度法模型為例，根據構件與關節(jié)之間的位移連續(xù)性條件和動力平衡條件，首先將圖2所示兩端含非線性關節(jié)的構件縮聚為兩節(jié)點鉸?梁混合單元，該縮聚單元的動力剛度矩陣為[23]

2 算例研究

考慮由10個基本單元組成，包含60個關節(jié)的Pratt型周期桁架結構。桁架構件的長度為Ll=1.5 m（含兩端關節(jié)長度），Lv=1.5 m。軸向構件和斜向構件兩端的關節(jié)長度分別為0.02 m和0.03 m。構件采用碳纖維管制作，彈性模量E=205 GPa，密度ρ=1720 kg/m3，外徑40 mm，內徑34 mm。考慮構件材料具有弱阻尼，采用瑞利阻尼表示，瑞利阻尼系數α=0.05，β=0.001。該桁架結構的面內振動（Oxz平面內的彎曲振動和軸向振動）與面外振動（垂直于Oxz平面的彎曲振動和扭轉振動）相互獨立。為研究關節(jié)非線性對桁架面內和面外振動的影響，設關節(jié)軸向剛度kux（只影響面內振動）和繞z軸方向的轉動剛度kθz（只影響面外振動）具有雙線性滯回特性，其他方向剛度為線性。kux和kθz的臨界位移分別為5×10-5 m和3×10-4 rad。為簡便起見，假設所有關節(jié)具有相同的力學特性，初始剛度如表1所示。

首先采用描述函數方法計算非線性彈簧kux和kθz的等效剛度和阻尼系數，其中kux的等效結果如圖5所示。從圖中可以看出，隨著關節(jié)相對位移幅值的增大，等效剛度系數從初始剛度k1逐漸減小到最終趨于剛度k2，而等效阻尼系數從零開始先增大后逐漸減小。在關節(jié)相對位移幅值剛超出臨界滑移位移時，等效剛度系數和等效阻尼系數變化較快，之后變化緩慢。

在獲得關節(jié)的等效剛度和阻尼系數后，便可建立桁架結構的縮聚動力學模型。本算例的縮聚模型共包含22個節(jié)點，132個自由度（由于采用動力剛度法建模，每根構件只需劃分為1個單元）。為了驗證本方法的準確性，同時采用ANSYS建立桁架結構的原始有限元模型。由于ANSYS無法直接分析出非線性結構的幅頻特性，本文通過簡諧激勵下的非線性時程分析，間接獲得非線性幅頻特性。ANSYS模型中，構件采用Beam4單元模擬（為了準確模擬結構高頻響應，將每根構件劃分為5個梁單元），模擬關節(jié)的線性和非線性彈簧分別采用Matrix27單元和Combin40單元，剛臂采用MPC184單元模擬。整個有限元模型共包含306個節(jié)點，1836個自由度。

假設關節(jié)軸向非線性彈簧kux滑移后剛度k2=0.5k1，在桁架最右端A點上施加幅值為5 N沿z軸方向的簡諧激勵，觀察在桁架結構前兩階面內共振頻率附近A點豎向位移幅值隨激勵頻率的變化，結果如圖6所示。從圖中可以看出，采用本文方法得到的桁架結構前兩階面內共振特性與ANSYS結果均十分吻合，由于關節(jié)滯回非線性的影響，桁架結構的前兩階共振頻率左移，幅值明顯減小。

為研究關節(jié)非線性轉動剛度kθz對桁架面外振動特性的影響，取剛度比k2/k1=0.5，在桁架最右端A點上施加幅值為1 N沿y軸方向的簡諧激勵，求得A點沿y軸方向位移的幅頻曲線，如圖7所示。從圖中可以看出，本文方法同樣可以準確分析出關節(jié)轉動剛度kθz對桁架結構前兩階面外共振特性的影響。

為研究激勵力幅值對桁架結構非線性動力特性的影響，并驗證本文方法在不同激勵大小下的準確性，保持關節(jié)參數不變，將激勵力幅值從5 N增加到15 N，得到一階共振頻率附近A點豎向位移幅值隨頻率的變化，結果如圖8所示?？梢钥闯?，隨著激勵力幅值的增大，桁架結構的共振頻率逐漸左移，說明激勵力幅值越大，系統(tǒng)的整體剛度越小。另外，從圖中可以看出，當激勵幅值達到15 N時，本文方法仍然可以獲得準確的非線性頻響結果。

為了研究關節(jié)參數對計算結果準確性的影響，考慮關節(jié)軸向非線性彈簧kux滑移后剛度k2=0.8k1和k2=0.2k1兩種情況，在桁架最右端A點上施加幅值為5 N沿z軸方向的簡諧激勵，得到桁架結構一階面內共振如圖9所示。由圖中結果可見，當k2=0.8k1時，兩種方法得到的穩(wěn)態(tài)響應幅值均十分吻合;當k2=0.2k1時，兩種方法結果稍微存在一些差別，說明當非線性程度較弱時，采用只考慮基礎諧波項的描述函數法近似誤差很小;當非線性程度較強時，只考慮基礎諧波項的描述函數法會產生一定的誤差。

3 結 ?論

本文針對含大量非線性關節(jié)的空間桁架結構，提出一種能夠同時考慮關節(jié)在不同方向非線性特性的動力學縮聚建模與分析方法。將關節(jié)的摩擦滑移模擬為雙線性滯回模型，采用描述函數法推導了關節(jié)的等效剛度和等效阻尼系數，通過將兩端含非線性關節(jié)的桁架構件縮聚為兩節(jié)點混合鉸?梁單元，最終建立了桁架結構的縮聚動力學模型。采用本文方法對桁架結構的共振特性進行了分析，并與有限元方法計算結果進行了對比驗證。結果表明，采用本文方法分析得到的桁架結構前兩階面內和面外共振特性與ANSYS時程分析結果能夠很好的吻合，雙線性滯回模型會導致桁架結構的整體剛度降低和阻尼增大。

參考文獻：

[1] 劉福壽， 金棟平， 陳 ?輝. 環(huán)形桁架結構動力分析的等效力學模型[J]. 振動工程學報， 2013， 26（4）：516-521.

Liu Fushou， Jin Dongping， Chen Hui. An equivalent mechanics model for the dynamic analysis of hoop truss structures[J]. Journal of Vibration Engineering， 2013， 26（4）： 516-521.

[2] 丁繼鋒， 高 ?峰， 鐘小平，等. 在軌建造中的關鍵力學問題[J]. 中國科學： 物理 力學 天文學， 2019， 49 （2）：024506.

Ding Jifeng， Gao Feng， Zhong Xiaoping， et al. The key mechanical problems of on-orbit construction[J]. SCIENTIA SINICA Physica， Mechanica & Astronomica， 2019， 49（2）： 024506.

[3] 張祎貝， 高冀峰， 陳務軍，等. 織物復合材料空間可展桁架模態(tài)試驗與分析[J]. 振動與沖擊，2018，37（17）：155-160.

Zhang Yibei， Gao Jifeng， Chen Wujun， et al. Modal tests and analysis of a weave composite space deployable truss[J]. Journal of Vibration and Shock， 2018， 37（17）：155-160.

[4] 姜 ?東， 徐 ?宇， 王桂倫，等. 鎖定狀態(tài)下球鉸連接桁架的剛度性能[J]. 東南大學學報， 2019， 49（5）：820- 825.

Jiang Dong， Xu Yu， Wang Guilun， et al. Stiffness property of locked truss with spherical hinge connection[J]. Journal of Southeast University， 2019， 49（5）： 820-825.

[5] Doggett W. Robotic assembly of truss structures for space systems and future research plans[C]. Proceedings of 2002 IEEE Aerospace Conference， Big Sky， MT， USA， 2002.

[6] Yoshida T. Dynamic characteristic formulations for jointed space structures[J]. Journal of Spacecraft and Rockets， 2006， 43（4）：771-779.

[7] 曹登慶， 初世明， 李鄭發(fā)， 等. 空間可展機構非光滑力學模型和動力學研究[J]. 力學學報， 2013， 45（1）：3-15.

Cao Dengqing， Chu Shiming， Li Zhengfa， et al. Study on the non-smooth mechanical models and dynamics for space deployable mechanisms[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2013， 45（1）：3-15.

[8] 胡海巖， 田 ?強， 張 ?偉， 等. 大型網架式可展開空間結構的非線性動力學與控制[J]. 力學進展， 2013， 43（4）：390-414.

Hu Haiyan， Tian Qiang， Zhang Wei， et al. Nonlinear dynamics and control of large deployable space structures composed of trusses and meshes[J]. Advances in Mechanics， 2013， 43（4）：390-414.

[9] Tan G E B， Pellegrino S. Nonlinear vibration of cable-stiffened pantographic deployable structures[J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 314：783-802.

[10] Gaul L， Nitsche R. The role of friction in mechanical joints[J]. Applied Mechanics Reviews， 2001， 54（2）：93-106.

[11] Gaul L， Lenz J. Nonlinear dynamics of structures assembled by bolted joints[J]. Acta Mechanica， 1997， 125：169-181.

[12] Jaumouillé V， Sinou J J， Petitjean B. An adaptive harmonic balance method for predicting the nonlinear dynamic responses of mechanical systems—Application to bolted structures[J]. Journal of Sound and Vibration， 2010， 329： 4048-4067.

[13] Hsu S T， Griffin J H， Bielak J. How gravity and joint scaling affect dynamics response[J]. AIAA Journal， 1989， 27（9）：1280-1287.

[14] Shi G， Atluri S N. Nonlinear dynamic response of frame-type structures with hysteretic damping at the joints[J]. AIAA Journal， 1992， 30（1）： 234-240.

[15] Wei J， Cao D Q， Huang H， et al. Dynamics of a multi-beam structure connected with nonlinear joints： Modelling and simulation[J]. Archive of Applied Mechanics， 2018， 88：1059-1074.

[16] 徐 ?彥， 王琿瑋， 孫祿君， 等. 含三維非線性鉸鏈的超大尺寸展開桁架天線動力學響應分析[J]. 空間結構， 2019， 25（2）： 46-54.

Xu Yan， Wang Huiwei， Sun Lujun， et al. Dynamic response analysis of large deployable truss antennas with three dimensional nonlinear joints[J]. Spatial Structures， 2019， 25（2）： 46-54.

[17] Luo Y J， Xu M L， Zhang X N. Nonlinear self-defined truss element based on the plane truss structure with flexible connector[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation， 2010， 15（10）：3156-3169.

[18] 尉 ?飛. 局部非線性結構分析方法及其在航天器結構分析中的應用[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學， 2010.

Wei Fei. Analysis methods for structures with local nonlinearities and applications in space craft structure[D]. Harbin： Harbin Institute of Technology， 2010.

[19] 宋正華， 姜 ?東， 曹芝腑， 等. 含鉸可展桁架結構非線性模型修正方法研究[J]. 振動與沖擊， 2018，37（1）： 21-26.

Song Zhenghua， Jiang Dong， Cao Zhifu， et al. Nonlinear modal updating method for deployable trusses with joints[J]. Journal of Vibration and Shock， 2018，37（1）： 21-26.

[20] 張 ?靜， 劉榮強， 郭宏偉， 等. 基于增量諧波平衡法的含索鉸可折展桁架非線性動力學特性[J]. 振動與沖擊， 2014， 33（7）：4-10.

Zhang Jing， Liu Rongqiang， Guo Hongwei， et al. Nonlinear dynamic characteristics of deployable structures with joints and cables based on incremental harmonic balance method[J]. Journal of Vibration and Shock， 2014， 33（7）：4-10.

[21] Zhang J， Deng Z Q， Guo H W， et al. Equivalence and dynamic analysis for jointed trusses based on improved finite elements[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part K： Journal of Multi-body Dynamics， 2014， 228（1）：47-61.

[22] Barbosa R S， Machado J A T. Describing function analysis of systems with impacts and backlash[J]. Nonlinear Dynamics， 2002， 29：235-250.

[23] Liu F S， Wang L B， Jin D P， et al. Equivalent micropolar beam model for spatial vibration analysis of planar repetitive truss structure with flexible joints[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2020， 165：105202.

[24] Richards T H， Leung Y T. An accurate method in structural vibration analysis[J]. Journal of Sound and Vibration， 1977， 55（3）：363-376.

[25] 王勖成. 有限單元法[M]. 北京： 清華大學出版社， 2003.

Wang Xucheng. Finite Element Method[M]. Beijing： Tsinghua University Press， 2003.

Dynamic modeling and resonance analysis of space truss structures with frictional joints

LIU Fu-shou1， XU Wen-ting1， Jin Dong-ping2， LIU Xiang-dong3， LU Ping-li3

（1.College of Civil Engineering， Nanjing Forestry University， Nanjing 210037， China; 2.State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China; 3.School of Automation， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China）

Abstract： The joint nonlinearity has an important influence on the overall dynamic characteristics of large deployable space truss structures. By modeling the joint as a combination of six spring elements which can have nonlinearity in any direction， the nonlinear dynamic modeling and resonance analysis of truss structures are studied. The bilinear hysteresis model is used to simulate the friction in the joint， and the analytical expressions of its equivalent stiffness and equivalent damping coefficients are derived based on the describing function method. The dynamic condensation of the truss member with nonlinear joints at both ends is carried out to establish the overall condensed dynamic model of the truss structure in the frequency domain， and the dynamic response is solved by the Newton-Raphson iteration method. A numerical example is given to compare the results of the presented method and the finite element method， which verifies the accuracy and efficiency of the presented method.

Key words： structural vibration;space truss structures;nonlinear joint;friction and slip;bilinear hysteresis model

作者簡介： 劉福壽（1984-），男，講師。電話：（025）85427763;E-mail：liufs_nuaa@163.com

通訊作者： 金棟平（1964-），男，教授。E-mail：jindp@nuaa.edu.cn