鄭近德 蘇繆涎 潘海洋

摘要： 自適應噪聲輔助集成經(jīng)驗模態(tài)分解（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise， CEEMDAN）解決了集成經(jīng)驗模態(tài)分解在集成平均過程中的分解不完備問題，但噪聲殘留和虛假分量問題仍然存在。針對CEEMDAN的不足，提出了自適應噪聲加權優(yōu)選經(jīng)驗模態(tài)分解（Weighted Mean?optimized Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise， WMEMDAN）。該方法用改進的均值曲線構造方式提取內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（IMF），以正交性最小為依據(jù)，從不同權重的迭代篩分結(jié)果中選取出最優(yōu)IMF，改善了CEEMDAN的分解能力，同時通過對不同權重下的分解結(jié)果進行篩選，確保每一階的IMF分量都是整體最優(yōu)，減少虛假分量和殘留噪聲。仿真和實驗信號分析結(jié)果表明，WMEMDAN在減少虛假分量和提高分解精度等方面具有優(yōu)勢。將所提方法應用于滾動軸承和齒輪的故障診斷，分析結(jié)果表明了方法的有效性和優(yōu)越性。

關鍵詞： 故障診斷; 軸承; 齒輪; CEEMDAN; 均值優(yōu)選

引 言

Huang等[1]提出的經(jīng)驗模態(tài)分解（Empirical mode decomposition， EMD）是一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應分解方法，可以將信號從高頻到低頻自適應地分解為一系列內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)（Intrinsic mode function， IMF）和趨勢項之和[2?4]。EMD被廣泛應用于諸多領域，但也存在著模態(tài)混疊[5?7]、端點效應[8?9]、包絡過沖和不足[10?11]等缺陷。為了克服模態(tài)混疊，WU等[12]利用高斯白噪聲輔助分解，提出了集成經(jīng)驗模態(tài)分解（Ensemble empirical mode decomposition， EEMD）。EEMD通過添加高斯白噪聲能夠抑制模態(tài)混疊，但其也帶來了噪聲殘留的問題[13?15]。Yeh等[16]針對EEMD殘余噪聲問題提出了補充總體平均經(jīng)驗模態(tài)分解（Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition， CEEMD）。CEEMD通過添加符號為正負的高斯白噪聲后，對分解結(jié)果集成平均，可以達到減少噪聲殘余的目的。

然而，不論是EEMD還是CEEMD，在信號加入不同高斯白噪聲后，分解結(jié)果的數(shù)目都很難保持一致，致使在集成平均過程中不能保證分解的完備性。鑒于此，自適應噪聲完整集成經(jīng)驗模態(tài)分解[17?21]被提出，其解決了分解結(jié)果數(shù)量不一致的問題，并具有分解完備性。但是，CEEMDAN仍然存在一些問題有待解決：（1）端點效應和包絡過沖與不足問題;（2）易得到虛假分量;（3）殘余噪聲影響分解結(jié)果的精度。

CEEMDAN對極值點進行三次樣條曲線插值擬合來構造均值曲線，然后將均值曲線從信號中迭代篩分，且不斷更新，而每次篩分采用的均值曲線都是基于上一次迭代的剩余信號[22]，從而自適應地分解信號。鑒于均值曲線的構造和迭代篩分在CEEMDAN算法中起著決定性作用，考慮對這兩個核心部分加以改進，以解決CEEMDAN存在的問題。針對插值擬合導致的端點效應和包絡過沖與不足等問題，考慮對信號進行延拓，同時對相鄰三個極值點加權平均，均勻極值點的分布，來抑制包絡的過沖和不足問題。在迭代篩分過程中，考慮在均值曲線還未迭代更新之前，將均值曲線從當前剩余信號中盡可能完全篩分出[22]，在篩分過程中引入不同的權重，以正交性作為衡量篩分是否徹底的依據(jù)，從不同權重下的篩分結(jié)果中選取出最優(yōu)結(jié)果，最大程度地減少篩分結(jié)果中的噪聲殘留。對每次篩分過程都加以優(yōu)選，在經(jīng)過多次迭代更新后，可以確保IMF分量達到整體最優(yōu)，以減少虛假分量的存在，提高分解的精度。

1 自適應噪聲加權優(yōu)選經(jīng)驗模態(tài)分解

1.1 CEEMDAN方法

CEEMDAN在每一階段添加特定的白噪聲，對每一階段的分解結(jié)果進行集成平均，解決了EEMD集成平均過程中分解結(jié)果數(shù)量不一致的問題，在不增加計算量的前提下，降低了信號的重構誤差，具有更好的分解完備性。在CEEMDAN方法中，設原始信號為x（t），ωm （t）為第m次向信號添加的白噪聲序列，定義算子Ep（·）為EMD的第p個IMF分量，具體方法描述如下：

1.2 WMEMDAN方法

WMEMDAN的關鍵在于均值曲線的構造和優(yōu)選。在均值曲線構造方面，不同于CEEMDAN直接對極值點進行包絡擬合，WMEMDAN先對相鄰極值點加權平均，再對加權平均后的極值點進行包絡擬合。在均值曲線優(yōu)選方面，為了盡可能從信號中分離出均值曲線，在不同權重下，以最小正交性為依據(jù)選取整體最優(yōu)的分解結(jié)果。正交性越小意味著分解結(jié)果的分解正交性越好，每一階分量之間的混淆程度越低，越能準確地反映真實的物理過程。此外，WMEMDAN還對原始信號進行端點延拓，在分解出結(jié)果后去除延拓部分，避免端點效應的影響。該方法具體步驟如下：

WMEMDAN引入了不同權重β，將不同權重的均值曲線從信號中分離，并計算分解結(jié)果的正交性指標。正交性指標越小，說明分解結(jié)果中每一階IMF分量彼此之間的混淆程度越低，越能反映信號中的故障沖擊特征，有利于提取故障特征，因此從不同的權重分解結(jié)果中優(yōu)選出正交性最小的分解結(jié)果作為WMEMDAN方法的最終IMF分量。引入權重的目的是為了從不同權重下獲得整體最優(yōu)的IMF分量，如果權重β過大，均值曲線被過度分離，導致信號X（t）中包含的有用信息被剔除，IMF分量呈現(xiàn)失真情況。如果權重β個數(shù)太少的話，難以確保所得IMF分量的整體最優(yōu)性。綜合考慮之下，令權重β在0到2之間以0.1為步長取值。在此范圍內(nèi)，權重β最大值為2，不容易出現(xiàn)過度分離的情況。以一定步長取值，權重值連續(xù)變化，不會因為權重值的缺少而導致分解結(jié)果的整體最優(yōu)性無法保證，當然步長越小，權重個數(shù)越多，理論上能夠獲得更好的整體最優(yōu)性，但增加的計算量和提高的整體最優(yōu)性的實際性價比不高，因此，論文以0.1為步長進行取值。

在WMEMDAN方法中，改進的均值曲線構造方式抑制了過沖和不足，利用端點延拓減少端點效應的影響，優(yōu)選均值曲線能使結(jié)果達到整體最優(yōu)的狀態(tài)，因此，理論上能夠提高分解能力，解決CEEMDAN在噪聲殘留和虛假分量方面的缺陷。

1.3 加權因子α

式（5）中引入了加權因子α，本節(jié)將分析α對分解結(jié)果的影響。在0.5?4的范圍內(nèi)以0.05為步長取值作為α的樣本，采用下式的疊加信號為例進行分析。

信號x（t）由幅值為2的隨機噪聲x1（t）、調(diào)幅信號x2（t）以及余弦信號x3（t）疊加而成。計算不同α下分解結(jié)果的正交性指標和前三個分量的誤差能量比，如圖1和2所示。

不同加權因子α下的正交性指標大致呈現(xiàn)先下降再上升的趨勢，大約在2范圍內(nèi)，正交性指標數(shù)值較小，分解正交性更好。對比不同分量的誤差能量比，當加權因子α<2.5時，各個分量的誤差能量比基本趨于平穩(wěn)，波動不大，而加權因子α>3時，各個分量的誤差能量比有了明顯地增長趨勢，和真實分量的吻合程度開始下降。綜合正交性指標和誤差能量比，可以認為加權因子α不適宜過小或者過大，在2附近是一個比較合適的選取范圍，既能夠?qū)崿F(xiàn)平緩極值點波動，其正交性指標和誤差能量比都能夠獲得較好的數(shù)值，確保分解結(jié)果的分解正交性和分解精度。

經(jīng)過多次試驗分析都驗證了該范圍是一個合適的選取區(qū)域，所以論文在2附近選取α，同時為了獲得最好的分解效果，從中以正交性最小依據(jù)進行選取。

2 仿真分析

2.1 疊加仿真信號分析

為了驗證WMEMDAN的優(yōu)越性，不失一般性，仍考慮式（10）所示的疊加信號，其時域波形圖如圖3所示。用WMEMDAN對疊加信號進行分解，添加的噪聲幅值為0.25，集成次數(shù)為50，分解個數(shù)設置為5，加權因子取2，其結(jié)果如圖4所示。為了便于對比，圖5中給出相同參數(shù)條件下CEEMDAN的分解結(jié)果。從圖4和5可知，WMEMDAN和CEEMDAN都能夠分解疊加信號，WMEMDAN前三個IMF分量分別對應真實分量x1（t），x2（t），x3（t），而CEEMDAN中對應真實分量的是IMF1，IMF3和IMF5，中間存在著x1（t）和x2（t）的虛假分量IMF2與IMF4，兩者的幅值很大。對于疊加信號而言，相比于CEEMDAN，所提出的方法有效地減少了虛假分量。再考慮兩種方法的分解精度，表1中給出了IMF分量的正交性指標（IO）和相關系數(shù)（Cor）。在相同參數(shù)條件下，WMEMDAN具有更小的IO，這意味著分解結(jié)果的模態(tài)混疊程度更低，分解效果更優(yōu)。WMEMDAN前三個分量的相關系數(shù)Cor分別為0.8576，0.9511和0.9835，都大于CEEMDAN的相關系數(shù)0.8101，0.8617和0.9833，這意味著WMEMDAN的分解結(jié)果和真實分量相關性大，更與真實分量吻合。兩種方法分解結(jié)果和分解精度的對比，驗證了WMEMDAN在減少虛假分量的同時，能夠獲得更優(yōu)的分解精度。

2.2 滾動軸承故障仿真信號

再考慮構造滾動軸承內(nèi)圈故障模型來驗證WMEMDAN的優(yōu)勢。滾動軸承內(nèi)圈故障信號S（t）可以看做是實際故障特征信號Sfault（t）和噪聲信號Snoise（t）的疊加，即

在沖擊信號Sfault（t）中，δ為阻尼系數(shù)，fn為固有頻率，ff為故障特征頻率，F(xiàn)s為采樣頻率，frf為轉(zhuǎn)頻，Q為載荷，G為滾珠質(zhì)量系數(shù)，N為采樣點數(shù)，u為采樣頻率Fs和故障特征頻率ff的整數(shù)比。

設置采樣頻率Fs=12 kHz，固有頻率fn=1500 Hz，采樣點數(shù)N=4096，載荷Q=5 kN，滾珠質(zhì)量系數(shù)G=2，轉(zhuǎn)頻frf和內(nèi)圈故障特征頻率ff分別為5 Hz和27 Hz，如圖6所示。分別采用CEEMDAN和WMEMDAN兩種方法分解仿真信號，添加的噪聲幅值為0.25 dB，集成次數(shù)為200次，設置分解結(jié)果為10，加權因子為2，結(jié)果如圖7所示。在前4個IMF分量中，WMEMDAN峭度最大的分量是IMF3，而CEEMDAN是IMF4。分別對兩個分量進行幅值譜和功率譜分析，如圖8所示。CEEDMAN中幅值最大的譜線為202 Hz的干擾信號，而故障特征頻率淹沒在大量的干擾頻率中。WMEMDAN中故障特征頻率所在譜線最為明顯，干擾頻率被很好地抑制，故障特征頻率的識別效果更好。

通過上述分析，對于疊加信號和軸承故障仿真信號而言，WMEMDAN能夠有效地分解信號，同時減少虛假分量、提高分解精度，該方法的優(yōu)勢得到初步的驗證。

3 實測信號分析

為了進一步驗證所提出方法的優(yōu)越性，將WMEMDAN應用于軸承故障診斷和齒輪故障診斷中。所用軸承故障信號由圖9所示的ID?25/30型軸承全壽命試驗臺采集，測試軸承為6206?2RSJ/C3深溝球軸承。齒輪故障診斷信號由圖10所示裝置采集，采用模數(shù)為2.5，齒數(shù)為37的標準齒輪作為測試齒輪。

3.1 軸承故障診斷

3.1.1 軸承內(nèi)圈故障

軸承故障直徑為0.4 mm，主軸轉(zhuǎn)速為1500 r/min，轉(zhuǎn)頻?ri=25 Hz，負載7 kN，采樣頻率為8192 Hz，內(nèi)圈故障特征頻率為?i=135 Hz。內(nèi)圈故障信號的時域圖如圖11所示。先采用WMEMDAN方法對信號進行分解，添加的噪聲幅值為0.25，集成次數(shù)為50，分解個數(shù)設置為6，加權因子取1.98，其分解結(jié)果如圖12（a）所示，如無特殊說明，分解結(jié)果只取前4個分量（下同），對分量做包絡譜分析，如圖12（b）所示。圖13中是相同參數(shù)條件下CEEMDAN的分解結(jié)果和包絡譜分析。

從圖12（b）和13（b）中可以看出，WMEMDAN和CEEMDAN前兩個分量中都存在故障特征頻率和轉(zhuǎn)頻，能夠有效地識別，但是IMF3和IMF4分量卻有效地說明WMEMDAN方法的優(yōu)越性。WMEMDAN的IMF3中轉(zhuǎn)頻和故障特征頻率所在譜線非常明顯，干擾信號被很好地抑制，能夠準確地識別，而CEEMDAN的IMF3中故障特征頻率幅值小，無法識別，且存在39.3，59，83.6 Hz等明顯的干擾頻率。WMEMDAN和CEEMDAN的IMF4分量中都存在轉(zhuǎn)頻，但是前者低頻段的無關頻率少，轉(zhuǎn)頻譜線明顯，后者出現(xiàn)了14.7和34.4 Hz的兩個干擾頻率。上述結(jié)果表明，WMEMDAN能夠有效地分解內(nèi)圈故障信號，同時抑制干擾信號的效果優(yōu)于CEEMDAN方法。為了量化說明WMEMDAN方法在分解精度方面的優(yōu)越性，用下式所示的SNRd來衡量信噪比的大小。

IMF3和IMF4的SNRd如表2所示。不論是IMF3還是IMF4中，WMEMDAN的SNRd都小于CEEMDAN的SNRd，這意味著干擾信號所占的比重少，抑制效果更佳。

3.1.2 軸承外圈故障

低速軸承故障信號因其振動頻率低，診斷故障的難度更大，以低速軸承外圈故障信號為例加以分析。軸承故障直徑為0.3 mm，主軸轉(zhuǎn)速為150 r/min，轉(zhuǎn)頻?ro=2.5 Hz，負載為5 kN，采樣頻率為8192 Hz，故障特征頻率為?o=8.92 Hz。低速外圈故障信號的時域圖如圖14所示。在與內(nèi)圈故障設置相同參數(shù)的條件下，仍采用WMEMDAN和CEEMDAN方法對低速故障信號加以分解，其結(jié)果和相應的包絡譜分析如圖15和16所示。在圖16（b）中只存在兩倍轉(zhuǎn)頻，故障特征頻率無法辨識，這意味著CEEMDAN對于低速故障信號的分解能力不夠，而WMEMDAN的IMF4中出現(xiàn)了故障特征頻率和兩倍轉(zhuǎn)頻，和干擾頻率的區(qū)分度高，能夠準確診斷出外圈故障。仍用式（15）的SNRd來量化地說明WMEMDAN在低速外圈軸承故障診斷中的優(yōu)勢。CEEMDAN的包絡譜中并未出現(xiàn)明顯的故障特征頻率，只是出現(xiàn)了兩倍轉(zhuǎn)頻，WMEMDAN中在IMF4分量中出現(xiàn)了故障特征頻率和兩倍的轉(zhuǎn)頻，為此，分別計算IMF4中故障頻率和轉(zhuǎn)頻的SNRd，如表3所示。不論是故障特征頻率還是轉(zhuǎn)頻，WMEMDAN的SNRd都小于CEEMDAN，因此，所提出方法的分解效果更好。

3.2 齒輪故障分析

為了驗證WMEMDAN方法的有效性，以齒輪斷齒故障為例進行分析。齒輪故障分析中主軸轉(zhuǎn)速為720 r/min，采樣頻率為2048 Hz，齒輪故障特征頻率fg= 12 Hz。故障信號如圖17所示。添加的噪聲幅值為0.3，集成次數(shù)為100，分解個數(shù)為7，加權因子取2，兩種方法的分解結(jié)果和包絡譜分析如圖18?19所示。對比圖18（b）和19（b）可知，CEEMDAN的故障特征頻率隱藏于干擾頻率中，準確地提取故障特征頻率比較困難。雖然IMF2中出現(xiàn)了2倍故障特征頻率，但是該倍頻和干擾頻率的區(qū)分度不高。在圖18（b）的IMF2中，出現(xiàn)了故障特征頻率，其譜線幅值明顯高于其余頻率，有利于判斷故障類型。如表4中所示，前三個IMF分量中，WMEMDAN的SNRd略低于CEEMDAN，尤其是IMF2分量中，兩者SNRd的差值最大，與包絡譜分析結(jié)果相吻合。雖然IMF4中，WMEMDAN的優(yōu)勢不夠明顯，但并不影響WMEMDAN方法識別齒輪故障特征頻率，因此，可以認為所提出的方法在有效地識別齒輪故障的同時，抑制了干擾信號，能夠獲得更好的分解精度。

綜上所述，軸承內(nèi)圈故障、低速軸承外圈故障以及齒輪故障實測分析都驗證了，相比于CEEMDAN，所提出的WMEMDAN方法在抑制虛假分量和干擾信號方面具有優(yōu)勢。

4 結(jié) ?論

（1） WMEMDAN在改善CEEMDAN分解能力的同時，減少分解過程中產(chǎn)生的虛假分量，抑制殘留噪聲對分解結(jié)果的影響，分解精度更高。

（2） 將所提出的方法應用于軸承內(nèi)圈故障、低速軸承外圈故障和齒輪故障診斷中，相比CEEMDAN，具有更好的故障診斷能力。不論是方法理論分析還是實驗數(shù)據(jù)分析，都驗證了所提出方法的優(yōu)越性，有效地改進了CEEMDAN的缺陷。

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