趙喆 胡華

摘 要：數(shù)學建模是指根據實際問題來建立數(shù)學模型，對數(shù)學模型進行求解，然后根據結果去解決實際問題。將之應用于中學數(shù)學教學中，可以有效地解決數(shù)學知識自身抽象性強、難于理解的問題。中學數(shù)學教學中構建數(shù)學模型的方法主要有理論分析法、模擬法、函數(shù)擬合法。在中學數(shù)學教學中利用建模方法，可以構建具有故事性的數(shù)學模型、從實際生活中尋找藍本來構建的數(shù)學模型、立足熱點事件來構建的數(shù)學模型、從實際應用出發(fā)來構建的數(shù)學模型。

關鍵詞：新課改;中學數(shù)學;數(shù)學建模

基金項目：2019年寧夏高校一流基層教學組織 “數(shù)學建模與數(shù)學實驗教研室”（項目編號：nxyljcjxz-1）。

與其他學科相比，數(shù)學這門學科存在抽象性很強的特點，這就為教師教學與學生學習帶來一定的難度，特別體現(xiàn)在中學數(shù)學教學中。為了更好地強化教學效果，在中學數(shù)學教學中引入建模的教學方法是一種很有意義的嘗試。以下我們對此進行了一些討論，希望能夠對相關的工作提供一些有益的參考。

一、數(shù)學模型與中學數(shù)學建模教學

關于數(shù)學模型，目前還沒有一個統(tǒng)一的定義。大致說來，數(shù)學模型就是運用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學語言建構的一種模型。具體來說，數(shù)學模型是為了實現(xiàn)某種特定的目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的等式及不等式、圖表、圖像等為外在表現(xiàn)形式的一種描述事物數(shù)理特征及其內在結構的較為簡化、抽象的數(shù)學表達方式。

數(shù)學模型一般來說應具有以下特點：能夠真實、系統(tǒng)、形象地反映特定對象的數(shù)學關系;具有代表性與典型性;具有外推性，在對數(shù)學模型進行研究時，能夠還原原型的數(shù)理結構與數(shù)學信息;能夠實現(xiàn)預定的任務。

作為對特定的數(shù)學關系的一種表達形式，數(shù)學模型具有便于理解的特點，它將數(shù)學關系以簡潔的數(shù)學語言或是直觀可見的圖像、圖表等進行表達，從而讓人更為容易地把握數(shù)學關系的實質。這一特點在中學數(shù)學教學中是非常重要的。

簡單地說，通過建模的方法進行中學數(shù)學教學，不僅可以將原本抽象的數(shù)學知識轉變?yōu)閷W生容易理解的簡單結構圖示，而且可以有效地避免數(shù)學知識距離學生的日常生活遙遠這一問題，通過現(xiàn)實生活中的事例類比，讓學生更好地理解相關的數(shù)學知識。

中學數(shù)學中的建模方法教學大致遵循“建模—解?！边@樣一個過程，即首先建立一個數(shù)學模型，然后引導學生解決這一模型中提出的問題。在這個過程中，學生能學習并掌握相關的數(shù)學知識。對此，可以用圖1來表示：

在圖1中，我們可以看出，在中學數(shù)學教學中應用建模的教學方法，其目的是對數(shù)學知識的高度抽象性進行化解，通過將之與學生熟悉的日常生活問題等領域相聯(lián)系，從而讓學生更好地理解、掌握這些知識。

二、中學數(shù)學教學中建模的常用方法

（一）理論分析法

這是非常常見的一種建模方法。它是運用學生所學習過的公理、定理、推論來建立合理的數(shù)學模型，并應用數(shù)學知識來對模型的問題進行解答。由于模型是對原型真實、系統(tǒng)的反映，因此可以外推到對原型問題的解答。這一建模方法的特點在于，在解決數(shù)學模型提出的問題時，應用的仍然是數(shù)學知識。在一定程度上來說，這是通過對原始問題進行簡化來構建一個新的數(shù)學模型，并從數(shù)學層面來對這個模型進行求解的過程。

（二）模擬法

這是在現(xiàn)實中對模擬的數(shù)學問題進行反復實驗，以此來求解的一種方法。其核心環(huán)節(jié)在于所構建的數(shù)學模型的結構與性質應該與原始數(shù)學問題的結構、性質一致，也就是我們在前文中所說的數(shù)學模型應真實、系統(tǒng)地反映原本的數(shù)學問題。只有這樣，才能在解決模型中的問題后將之外推到原始的數(shù)學問題上來。在中學數(shù)學教學的實踐中，報童賣報問題是應用模擬法的一個典型問題。在此，我們就是通過建立基本數(shù)學關系后進行反復實驗，從而確定最優(yōu)解的范圍的。

（三）函數(shù)擬合法

這種方法是通過在直角坐標系上確定各數(shù)值的位置來解決數(shù)學問題。首先，將已知的各項數(shù)據在坐標系上標出;然后通過繪制曲線，將這些代表已知數(shù)據的點連接起來;接下來再根據繪制出的曲線，求解出圖像的函數(shù)關系式。這類建模方法在解決人口增長等現(xiàn)實問題時經?？梢杂玫?。

關于數(shù)學建模的方法還有一些，不過由于其涉及中學以外的高等數(shù)學知識，因此很難在中學數(shù)學教學中進行應用，我們在這里也就不再介紹了。

三、中學數(shù)學建模教學的方式

（一）構建具有故事性的數(shù)學模型

由于數(shù)學知識具有很強的理論性、抽象性，且與現(xiàn)實生活之間相距較遠，因此很多學生對數(shù)學缺乏主動學習的興趣。要想強化數(shù)學教學的效果，讓學生更好地掌握數(shù)學知識，這種現(xiàn)狀必須改變。對此，可以采用將教材中涉及的純理論數(shù)學問題轉變成具有實際背景的數(shù)學模型問題的方法來解決。也就是說，通過構建具有實際背景的數(shù)學模型，來化解數(shù)學知識原本的高度抽象性特點。

如在關于等比數(shù)列求和公式的教學中，我們就可以利用古印度那個在國際象棋棋盤上以每一格的數(shù)量是前一格的二倍的規(guī)則擺放谷粒的故事。由于該故事具有真實的背景和很強的故事性，因此可以讓學生對如何計算等比數(shù)列的和這個數(shù)學知識點產生興趣。

與等比數(shù)列求和公式相比，在國際象棋棋盤上擺放谷粒只是應用這個公式的一個具體的實例。但由于這個實例可以有效地化解數(shù)學公式自身所具有的高度抽象性特點，因此這種教學方式可以很好地吸引學生的課堂注意力。

（二）從實際生活中尋找藍本構建數(shù)學模型

在建立基于日常生活的數(shù)學模型時，要注意保證數(shù)學模型能夠真實、完整地反映具體的數(shù)學知識點。模型問題與數(shù)學問題之間的差別主要在于二者的不同表述，而其實際性質與結構則是一致的。需要注意的是，這類數(shù)學模型的建構要盡可能地貼近學生的日常生活，選擇他們在日常生活中所能接觸到的事例來構建數(shù)學模型，這也是以日常生活為模本的數(shù)學建模教學與傳統(tǒng)的應用題解答之間的區(qū)別。我們的數(shù)學教學體系中一直有應用題這樣一類取材于實際生活的題目，但是很多應用題是以工業(yè)生產等距離學生日常生活較遠的事例為取材對象。雖然這類題目可以有效地化解數(shù)學知識的抽象性，但是很多應用題所涉及的生產、銷售過程等內容學生并不了解。因而當我們進行與實際生活相聯(lián)系的數(shù)學建模教學時，要有意識地選取那些學生在平時生活中可以見到或至少能夠接觸到的事例來建模。

四、結語

以上我們對中學數(shù)學建模教學的含義、方法、方式進行了一些討論。由于數(shù)學學科自身具有抽象性、理論性強的特點，因此采用建模的方法來進行教學對于學生更好地理解、掌握這些知識具有很重要的意義。這樣可以有效地將復雜的數(shù)學知識具體化，使之與學生所熟悉的內容相結合，從而避免了學生因數(shù)學知識枯燥、難以理解而不愿學習的狀況發(fā)生。同時，這樣也可以更好地將理論與實際結合起來，引導學生面向社會、面向未來。

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