周榮偉

摘要：“一題一課”型復習課就是以某道題目（最好是中、高考試題）為背景，聚焦某個主題并細分為幾個話題展開教學的復習課?；陬}為“關于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2”的復習課實踐案例，闡述對初中數(shù)學“一題一課”型復習課的思考感悟：精選試題、分解話題是首要任務;精準主線、串聯(lián)話題是關鍵環(huán)節(jié);精當評價、延伸話題是價值追求。

關鍵詞：初中數(shù)學;“一題一課”;復習課;一元二次方程

在數(shù)學考試命題核心素養(yǎng)立意的背景下，“一題一課”型復習課受到了不少教師的青睞。顧名思義，“一題一課”型復習課就是以某道題目（最好是中、高考試題）為背景，聚焦某個主題并細分為幾個話題展開教學的復習課。從本質上看，這樣的復習教學也是一種利用“大概念”串聯(lián)“多內容”的單元或主題教學，其因能彰顯內容的整體性、聯(lián)系性以及學習的深度，克服當下數(shù)學教學中普遍存在的知識碎片化、方法單一化以及認識表層化問題而備受關注。最近，筆者在一次教研活動中，開設了一節(jié)題為“關于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2”的“一題一課”型復習課。教學流程及思考如下：

一、圍繞話題展開教學的實踐案例

（一）話題1：ρ表示什么？

交流得出：在初中物理中，單位體積某種物質的質量叫作這種物質的密度，通常用ρ表示。若用m表示質量，V表示體積，則密度的計算公式為ρ=mV。一般地，某種物質的密度是固定的，因此，質量和體積成正比例函數(shù)關系。在高中數(shù)學中，用方位角、距離描述物體的位置可以建立極坐標系。（出示圖1）通常用 ρ表示距離，θ表示角度，那么有序數(shù)對（ρ，θ）就叫作點的極坐標，而ρ2=x2+y2和tanθ=yx表示的就是極坐標與平面直角

坐標的轉換。但是，在本題中，ρ只是表示某個常數(shù)。

（二）話題2：方程是一元二次方程嗎？

交流得出：化簡得x2+x-2-ρ2=0，根據(jù)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），它是一元二次方程。

出示變式：

直線y=x+a不經過第二象限，則關于x的方程ax2+2x+1=0實數(shù)根的個數(shù)是（）

A. 0B. 1C. 2D. 1或2

交流得出：由直線y=x+a不經過第二象限，得a≤0。當a<0時，該方程是一元二次方程，由根的判別式Δ=4-4a>0，知有2個不相等的實數(shù)根;當a=0時，該方程是一元一次方程，有1個根。故選D。

（三）話題3：方程根的情況

交流得出：由根的判別式Δ=1-4（-2-ρ2）=9+4ρ2>0，故方程有兩個不相等的實數(shù)根。

出示試題：

（2020年江蘇省南京市中考數(shù)學卷第5題）關于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2根的情況，下列結論中正確的是（）

A. 兩個正根B. 兩個負根

C. 一正一負D. 無實數(shù)根

交流得出：本題大致有六種解法。（1）求根公式法。x1=-1+9+4ρ22>0，x2=-1-9+4ρ22<0，故選C。（2）根與系數(shù)關系法。x1x2=-2-ρ2<0，x1與x2異號，故選C。（3）構造函數(shù)法。令y=x2+x-2-ρ2，圖像對稱軸為直線x=-12，開口向上且與y軸交于負半軸，可得與x軸的交點位于原點兩側，因此方程兩根異號，故選C。（4）構造函數(shù)法。令y1=（x-1）（x+2），y2=ρ2，y1圖像開口向上且與x軸交于點（1，0）和（-2，0），y2圖像是在x軸上方且平行于x軸的一條直線（或者就是x軸），可得它們有兩個交點，分別在第一、第二象限（或者在x軸正、負半軸上），因此方程兩根異號，故選C。（5）解不等式法。由ρ2≥0，得（x-1）（x+2）≥0，可得x-1≥0，x+2≥0或x-1≤0，x+2≤0，即x≥1或x≤-2，故選C。（6）特殊值法。令ρ=0，則（x-1）（x+2）=0，解得x1=1，x2=-2，故選C。

（四）話題4：方程的解法

交流得出：前面用求根公式已求得方程的根。

出示變式：

已知關于x的方程（x-m）（x+n）=ρ2的兩根為2、-3，則方程12x-m12x+n=ρ2的兩根為。

交流得出：設12x=t，可得方程（t-m）（t+n）=ρ2的兩根為2、-3，因此12x=2、-3，即x=4、-6。這里運用了整體換元的方法。其實，各類方程的解法不盡相同，但是，它們有一個共同的數(shù)學基本思想——轉化（化歸），就是把未知轉化為已知。

由此，讓學生閱讀課本（蘇科版初中數(shù)學九年級上冊）第31頁的“各類方程的解法”。

拓展練習：

解方程x-1+x=7。

交流得出：本題有兩種解法。（1）設x-1=t，則x=t2+1，原方程化為t2+t-6=0，解得t=2或-3（舍去），求得x=5。（2）移項可得x-1=7-x，兩邊平方化為x-1=x2-14x+49，解得x=5或10，經檢驗，10不是方程的根，而是增根。

（五）話題5：方程的實際意義

出示任務：

一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的一個重要數(shù)學模型，請選定一個合適的常數(shù)ρ的值，編擬一個用方程（x-1）（x+2）= ρ2解決的問題，并解答。

交流得出：選定ρ的值為2，可以編出多類問題。（1）面積問題：將正方形的一邊長減少1，另一邊長增加2，所得矩形的面積等于4，求該正方形的邊長？（2）相似問題：在平面直角坐標系中，已知點P（0，2），點A從（1，0）出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向運動，同時，點B從（2，0）出發(fā)以相同的速度沿x軸正方向運動，經過多長時間以線段AB為直徑的圓恰好經過點P？（此題解法較多，設O為坐標原點，利用Rt△AOP∽Rt△POB，得到AO·BO=PO2，即可用到上述方程）等等。

（六）話題6：課堂學習小結

出示任務：

通過對關于x的方程（x-1）（x+2）=ρ2的深聊，談談你的收獲與困惑吧。

交流后展示圖2。

二、教學感悟

（一）精選試題、分解話題是首要任務

設計初中數(shù)學“一題一課”型復習課，應淡化一輪、二輪、三輪的限制，而以知識單元為主題，以核心素養(yǎng)為主旨，從茫茫題海中精選試題，并在深度解讀試題的基礎上，圍繞教學主題（目標）進行拆分和取舍，以取得較為精準的教學話題（內容）。 一般來說，分解話題應注意以下三點：一是心中有“森林”，凸顯數(shù)學知識的整體性;二是心中有“樹木”，凸顯重要知識的針對性;三是心中有“過程”，凸顯難點知識的層次性。

例如，上述課例的主題指向由九年級上冊的“一元二次方程”延伸到九年級下冊的“二次函數(shù)與一元二次方程”，甚至延伸到高一的“一元二次不等式”，從而建構較為完整的“方程、函數(shù)、不等式”知識體系。為此，所選取的背景試題（2020年江蘇省南京市中考數(shù)學卷第5題）可以通過變式發(fā)散，從一元二次方程模型出發(fā)，勾連這一知識體系中的諸多重要內容。而分解出的話題則充分體現(xiàn)了方程模型的研究過程與方法，以及方程與函數(shù)、不等式的關系。

（二）精準主線、串聯(lián)話題是關鍵環(huán)節(jié)

有了具體的話題，接下來就要用一條主線把它們串起來。通常情況下，新授課可以知識聯(lián)系為主線，而復習課應以思想方法為主線。 “一題一課”型復習課應充分挖掘知識發(fā)生、發(fā)展過程中的思想方法，把相對零散的話題串聯(lián)起來。

例如，上述課例在“方程、函數(shù)、不等式”知識體系的主題下有一條主線：模型思想。話題探究圍繞這條主線展開。話題1滲透正比例函數(shù)模型以及“極坐標”模型，激發(fā)學生對數(shù)學外部應用和內部知識的探究熱情;話題2體現(xiàn)方程、函數(shù)、不等式模型的初步聯(lián)合;話題3是本節(jié)課的核心，通過對背景試題的多解探究，促進對方程、函數(shù)、不等式模型的深度融合，讓學生對一元二次方程的周邊知識進行全面而系統(tǒng)的整合;話題4引導學生體會方程模型中的轉化思想，進而達到“授之以漁”的境界;話題5是對方程模型的現(xiàn)實解釋，由新授課的“從問題到方程”到復習課的“由方程到問題”，培養(yǎng)學生數(shù)學建模和提出問題的能力;話題6則是模型思想主線的明晰以及話題的延伸，讓學生對本節(jié)課內容真正做到“點全、線聯(lián)、面融”，并且形成“課已盡，意未盡”的意境。

（三）精當評價、延伸話題是價值追求

崔允漷教授認為，教師不僅要教學生學會讀書（知識），而且要教學生學會做事（能力），更加要教學生學會做人（素養(yǎng)）。為了將能力、素養(yǎng)落地的“最后一公里”做細、做實，教師尤其要通過教學評價，延伸教學話題，提升教學內涵。

例如，上述課例的教學評價特別注意引導學生體會“模型美”，從而積極追求更高的教學價值。第一層境界是感受模型美：設計的所有話題（包括問題的答案與求解）均具有開放性，可通過分層評價體現(xiàn)“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的新課標理念。第二層境界是感悟模型美：在每一個話題的交流中及時啟發(fā)、歸納、強化模型思想。第三層境界是創(chuàng)造模型美：話題5的聯(lián)想發(fā)散以及話題6的課堂小結，都是通過延伸話題引導學生由“學會”走向“會學”。