顧春華

【摘要】深度挖掘“溫水煮青蛙”效應(yīng)的數(shù)學內(nèi)涵，依托網(wǎng)絡(luò)教學平臺，利用手機APP和Excel等辦公軟件，在有效整合線上和線下教學的基礎(chǔ)上，提出了“函數(shù)連續(xù)性”混合式課堂教學設(shè)計和實踐框架，闡述了“線上線下”相結(jié)合對高職學生學習高等數(shù)學的意義。

【關(guān)鍵詞】? ? 高職數(shù)學? ? 函數(shù)連續(xù)性? ? 線上線下? ? 教學實踐? ? “溫水煮青蛙”

IT-enabled Mathematics Teaching Design and Practices Framework for Vocational Colleges and Universities

---A Case Study on Hybrid Teaching Model Focused on Function Continuity

GU Chunhua

Department of Basic Courses， Jiangyin Polytechnic College， Jiangyin City 214405， Jiangsu Province

Abstract： After delving into the frog-boiling effect and capitalizing on on-line teaching platforms， mobile applications and Excel， as well as other office tools， the paper offers an off/on-line course design and practices framework on the continuity of functions， in an effort to shed light on the role of this kind of hybrid teaching model in vocational students learning of higher mathematics.

Keywords： frog-boiling effect; higher mathematics for vocational colleges; function continuity; offline+offline; teaching practices

函數(shù)的連續(xù)性是高等數(shù)學中一個基本的知識點，是高職學生第一次用極限的思維來理解中學里一個“理所當然”的圖像。將一個“理所當然”的圖像轉(zhuǎn)化成一個抽象的極限來定義，對我們的高職學生來講，是有一定難度的。

一、高職學生學“困”原因分析

根據(jù)筆者多年的教學體會，高職學生在學習數(shù)學上是有一定困難的，究其原因，大概有這樣幾點：1.抽象概括的能力有待提高，這其實也是我們高職高等數(shù)學的教學目標之一。從客觀世界的生產(chǎn)、生活現(xiàn)象中抽象概括出一些數(shù)學概念，理解一些數(shù)學文化是高職學生所欠缺的，作為高數(shù)老師，經(jīng)常被告知高數(shù)在他們的生產(chǎn)生活中沒有用。2.邏輯思維的能力有待加強，邏輯思維是學習數(shù)學的基本能力，反之，學習數(shù)學也是為了培養(yǎng)和提高學生們的邏輯思維能力。但從高職學生以往的表現(xiàn)看，在思考問題的時候不少學生都沒有延續(xù)性，只停留在某個現(xiàn)象上，不會進一步多問自己一句“這是為什么呢？”3.概念的理解不夠重視。不論是高中上來的高職學生，還是對口單招、中高職銜接的學生，對數(shù)學的重視一貫是放在“解題”上的，覺得能把題目做出來，就是掌握了對應(yīng)的知識點，這個誤區(qū)也使得高職學生在學習高數(shù)的時候?qū)Ω拍畈患右灾匾?，進一步加大了對抽象概念理解的難度。

相對于這些思維誤區(qū)，高職學生的形象思維還是不錯的，且個性活潑，樂于參與各種討論。近幾年信息化教學的不斷發(fā)展，我院信息化教學的軟硬件設(shè)施都有了很大的提升，筆者和同事們一起嘗試了將“信息化”和日常教學融合。下面簡答介紹一下“函數(shù)連續(xù)性”的信息化課堂教學設(shè)計與實踐。

二、“函數(shù)連續(xù)性”的線上線下相結(jié)合課堂教學設(shè)計與實踐

以“溫水煮青蛙”為引例，利用手機APP數(shù)學作圖軟件GeoGebra和Excel辦公軟件等，在學院提供的網(wǎng)絡(luò)教學平臺的基礎(chǔ)上，通過“數(shù)形結(jié)合”的方法讓學生理解函數(shù)在一點上連續(xù)的極限定義。

結(jié)合網(wǎng)絡(luò)教學平臺，這一內(nèi)容的教學設(shè)計分為三塊：課前任務(wù)討論;課中知識內(nèi)化;課后習題鞏固。

2.1課前任務(wù)討論

課前，我們在教學平臺上給大家發(fā)布了一個討論題（見圖1）。請問：這兩種情況，哪種情況青蛙更快逃生？為什么？1.將青蛙放在水里，水的溫度在某個瞬間從0℃突然 跳躍到50℃;2.將青蛙放在水里，水的溫度從0℃緩慢上升到50℃。學生的回復（見圖2、圖3）基本是第一種情況更快逃生，因為溫差大;第二種情況就是“溫水煮青蛙”。因網(wǎng)絡(luò)教學平臺的即時性，教師可以及時督促學生進行回復并引導學生加深對討論題的思考。

2.2課中知識內(nèi)化

課中知識內(nèi)化我們也劃分為：新課引入、新課講授、習題鞏固、歸納小結(jié)四部分。

2.2.1新課引入

我們可以根據(jù)學生在網(wǎng)絡(luò)教學平臺上的回復，進行新課引入，做一個簡單的總結(jié)。

第一種情況：溫度的變化在一瞬間是劇烈的、突然的，對青蛙而言，有一種“于無聲處聽驚雷”的感覺，嚇得立馬逃生了。第二種情況： “溫水煮青蛙”。溫度的變化在每個瞬間是緩慢的、連續(xù)的，屬于“潤物細無聲”的變化，青蛙舒服又自在，不容易感知到危險。

接著通過連續(xù)設(shè)問引導學生將其總結(jié)為數(shù)學語言，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。

一問青蛙的不同反應(yīng)都是什么量引起的？ 二問溫度的變化隨什么量在變？三問“瞬間”是否就是0？如果不是0，如何用數(shù)學語言或數(shù)學符號來表示？

根據(jù)課前討論，相信同學們就能很自然地回答上述三個問題。溫度的變化引起青蛙不同的反應(yīng)，時間的變化引起溫度的變化。瞬間再短都是有時間的，數(shù)學上可以理解為無限接近0。

分析到這里，我們就可以引入增量的概念，即變化的量為增量。

討論題中自變量為時間t，其改變量用Δt來表示;應(yīng)變量為溫度T，其改變量即增量為ΔT。第一種情況，一瞬間，溫度的變化是突然的，跳躍的，即Δt→0時，ΔT趨于一個具體的數(shù)字，這里是50度，即ΔT→50;第二種情況，某個瞬間，青蛙基本感知不到溫度的變化，溫度的變化是連續(xù)的，數(shù)學上就可以理解為Δt→0時，ΔT也趨于0。即，這種“潤物細無聲”的變化在數(shù)學上就可以稱為連續(xù)。通過這樣的分析培養(yǎng)高職學生概括問題能力的同時，也讓高職學生看到生活現(xiàn)象和高數(shù)之間的聯(lián)系。

2.2.2新課講授

給出函數(shù)在一點上連續(xù)的定義。

“設(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果當自變量x在x0處的增量Δx趨于零時，相應(yīng)的函數(shù)的增量Δy= f（x0+Δx）-f（x0）也趨于零，即，則稱函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)，稱x0為函數(shù)f（x）的連續(xù)點?！?/p>

連續(xù)極限定義的表述對于高職學生而言相對還是比較抽象的，為了讓學生更直觀地理解這一概念，我們利用Excel的數(shù)值計算和折線圖來驗證這一結(jié)論。（見圖4、圖5）

通過圖6學生們可以自行歸納得出函數(shù)在一點上連續(xù)的另一個定義?！霸O(shè)函數(shù)y=f（x）在x0的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，且 ，則稱函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)，稱x0為函數(shù)f（x）的連續(xù)點?！敝v到這里，相信學生們不僅將一個“理所當然”的圖像內(nèi)化為一個抽象的概念，也了解到判斷函數(shù)在一點的連續(xù)性，跟極限的計算密不可分，進而就可以通過“解題”來進一步鞏固連續(xù)的極限定義。

2.2.3習題鞏固

在極限計算中對單側(cè)極限是我們重點講解的，所以我們在習題鞏固環(huán)節(jié)給出了這樣幾個習題：

1.

2.

3.

學生分組討論做題，通過網(wǎng)絡(luò)教學平臺的隨堂練習（見圖7）進行上傳，并通過隨機選人上臺講解。通過網(wǎng)絡(luò)教學平臺上傳，可以做到人人參與且有時效性;通過隨機選人的方式可以讓學生都進行思考，避免了傳統(tǒng)教學模式中課堂參與人數(shù)少和個別學生渾水摸魚的情況。

同時，通過這幾個習題的練習鞏固，學生在進一步掌握函數(shù)一點上連續(xù)性極限定義的同時，也了解了第一類間斷點的情況。

由“溫水煮青蛙”進一步引導學生理解區(qū)間上函數(shù)的連續(xù)性，只有每個點的變化都是”潤物細無聲“的，青蛙才能從頭至尾安安靜靜地呆著不動。即只有區(qū)間上每個點都是連續(xù)的，函數(shù)才能在所給區(qū)間上連續(xù)不斷。在講授初等函數(shù)連續(xù)性的時候，我們利用手機APP數(shù)學作圖軟件GeoGebra，讓學生隨機畫一些他們了解到的初等函數(shù)（見圖8），通過圖形更直觀的讓學生理解，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。

2.2.4歸納小結(jié)

小結(jié)部分不僅是對所講概念的小結(jié)，也是對概念內(nèi)涵和外延的提升。

“連續(xù)”的可貴之處在于“潤物細無聲”，在于持續(xù)不斷，“華為”對研發(fā)持續(xù)不斷的投入有了今天5G的成就，你對自身持續(xù)不斷的投入必會為你形成自身的核心競爭力添磚加瓦。

2.3課后習題鞏固

課后習題鞏固發(fā)布了這樣三題，1.判斷一個分段函數(shù)在某個分界點上的連續(xù)性;2.整理一些生活中或?qū)I(yè)中有連續(xù)思想的現(xiàn)象和問題;3.在增量的基礎(chǔ)上請學生求一些常見函數(shù)在某點處增量的比值。題1和題2是對本次課知識點的考察;題3是為導數(shù)的定義做準備。作業(yè)的發(fā)布和批改都是通過網(wǎng)絡(luò)教學平臺完成的，學生通過網(wǎng)絡(luò)教學平臺和手機APP可以不受時間和地點的限制，隨時進行作業(yè)的提交，教師通過網(wǎng)絡(luò)教學平臺和手機APP隨時進行作業(yè)的批改，并及時進行有針對性的糾錯溝通。減少了傳統(tǒng)教學模式中因間隔時間長而產(chǎn)生的遺忘。

三、信息化教學模式對高職學生學習高等數(shù)學的意義

高職高數(shù)傳統(tǒng)的課堂教學基本是在“黑板+粉筆”的基礎(chǔ)上，以教師講授為主。在整個教學過程中，教師是主體，學生的課堂參與度較低，師生之間的交流課堂上不多，課后更少。學生的學習效果不是很理想且考核方式單一，基本只能以作業(yè)和期末考試作為核心依據(jù)，不夠客觀。信息化教學的課堂教學是“多媒體課件+黑板補充+網(wǎng)絡(luò)教學平臺+手機APP”，對高職學生學習高等數(shù)學具有以下幾點重要的意義：

1.有效地改變了學生的地位，學生由被動接受知識轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃荧@取知識。由上述教學實踐中大家可以看到，通過網(wǎng)絡(luò)教學平臺，學生的課前預(yù)習討論，課中知識點的歸納、課后作業(yè)的提交，都是在教師輔助引導下主動完成的。且由于網(wǎng)絡(luò)教學平臺的交互性和即時性，渾水摸魚的同學也會在同學和老師的關(guān)注和督促下主動完成。

2.有效地提高了學生的課堂參與度。傳統(tǒng)教學模式的課堂參與所輻射到的學生人數(shù)比較少，高職數(shù)學“大班”化教學也較普遍，一堂課能被老師關(guān)注到的也就幾個，一學期下來，也會有不少學生沒有被關(guān)注到。信息化教學可以有效地提高學生的課堂參與度，上述教學實踐大家可以看到，通網(wǎng)絡(luò)教學平臺和手機APP，基本所有學生都可以參與其中，教師能及時關(guān)注到每位同學的課堂表現(xiàn)，且由于網(wǎng)絡(luò)教學平臺有隨機選人的功能，促使學生們都必須認真對待。

3.有效地提升了學生的學習效果。信息化教學是學生主動獲取知識的教學方式，且無論是課前討論、課堂練習、還是課后作業(yè)，教師都是即時回復和答疑，有效地縮短了學生認知錯誤的時間，顯然能有效地提升學生的學習效果。

4.有效地改善了考核模式的單一性。前面也講到了，傳統(tǒng)的考核方式基本只能以作業(yè)和期末考試作為核心依據(jù)，不夠客觀。信息化教學模式通過網(wǎng)絡(luò)教學平臺，客觀地記錄了學生的一舉一動。他們課前參與的每一個討論，課中上傳的每一個練習，課后完成的每一個作業(yè)，討論區(qū)發(fā)布的每一個話題，包括簽到、調(diào)查問卷等等，都可以成為課程考核的一個點。多元且良性的考核方式也促進了學生更積極的學習方式，進一步提升了學生的學習效果。

參? 考? 文? 獻

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