農(nóng)學(xué)寧

【摘要】本文以滬科版《二元一次方程組的應(yīng)用》為例，分析單元整體教學(xué)的原因及課時內(nèi)容，闡述教學(xué)過程，詮釋基于單元整體的教學(xué)思想，為教學(xué)提供參考。

【關(guān)鍵詞】二元一次方程組 單元整體思想 教學(xué)實(shí)踐

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）17-0146-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年修訂版）》指出：“教材內(nèi)容的呈現(xiàn)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的整體性，體現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)知識和方法的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過程?！苯處熢谡n堂教學(xué)中需充分考慮數(shù)學(xué)知識的整體性，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中形成系統(tǒng)性思維，充分理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵。從數(shù)學(xué)知識的整體性出發(fā)，一方面可以指引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求或生產(chǎn)、生活的需求出發(fā)，自己根據(jù)所教知識，提出教學(xué)中的研究對象與研究問題;另一方面，可以嘗試將研究框架一致（包括起源一致、研究內(nèi)容一致、研究方法一致、研究用途一致）的相近概念整合在一起進(jìn)行學(xué)習(xí)，這樣的學(xué)習(xí)方式有利于學(xué)生從本質(zhì)上把握一類數(shù)學(xué)概念的共同屬性。在課堂教學(xué)中，每一個課時內(nèi)容均不可能脫離于教材的整體而獨(dú)立存在。因此教師要把握好單元整體的教學(xué)思想，提升課堂教學(xué)設(shè)計的立意，以更好地完成教學(xué)任務(wù)。本文從單元整體立意入手，以滬科版《二元一次方程組的應(yīng)用》的教學(xué)實(shí)踐為例，探討單元整體思想在課堂教學(xué)中的應(yīng)用。

一、單元整體立意分析

《二元一次方程組的應(yīng)用》是滬科版教材七年級上冊《一次方程與方程組》一章中的一個內(nèi)容，這一章的主要知識點(diǎn)是一次方程（組）及其應(yīng)用，主要傳授模型思想、方程思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法。通過分析問題中的數(shù)量關(guān)系→發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系→列出方程（組）→解方程（組）→得到實(shí)際問題的答案。這一典型的數(shù)學(xué)建模過程，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法之一。

本節(jié)課之前的內(nèi)容是一元一次方程的解法和實(shí)際應(yīng)用，及二元一次方程組的解法;本節(jié)內(nèi)容之后，是三元一次方程組的解法和應(yīng)用。由此可知，本節(jié)課的內(nèi)容是對前面列方程解決實(shí)際問題的思想方法的鞏固，為列多元方程組解決實(shí)際問題做好鋪墊，是承上啟下的重要一節(jié)課。

二、課時內(nèi)容分析

本節(jié)課從實(shí)際生活中提煉出解決兩個未知量的典型模型，運(yùn)用二元一次方程組可以解決這類問題。在課時安排上要研究兩個例題。其中例1中的數(shù)量關(guān)系雖然所呈現(xiàn)的條件是兩個相等關(guān)系，但這兩個相等關(guān)系建立的意義不同，用一元一次方程或二元一次方程組均可以方便解決。一方面，在方程的解法上對應(yīng)解二元一次方程組的典型方法——代入消元法;另一方面，在解題思想上主要體現(xiàn)了由二元轉(zhuǎn)化為一元的基本思想。因此，在教材中特意分別給出列一元一次方程的方法和列二元一次方程組的方法進(jìn)行比較。例2中所呈現(xiàn)的模型是兩個相互并列的數(shù)量關(guān)系，通過本例讓學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握列二元一次方程組解決問題的典型模型，并懂得這種模型的特點(diǎn)和意義。

因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是，探究用二元一次方程組解決實(shí)際問題，并體驗(yàn)二元一次方程組的應(yīng)用模型。教學(xué)目標(biāo)是，（1）能用二元一次方程組解決某些實(shí)際問題，體驗(yàn)二元一次方程組的應(yīng)用模型;（2）通過列方程組解決實(shí)際問題，進(jìn)一步體會方程思想和模型思想，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，體會數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系。

三、教學(xué)過程

（一）情景引入

足球是當(dāng)今世界上深受歡迎的一項(xiàng)體育運(yùn)動，它牽動著億萬球迷的心，令無數(shù)球迷為之瘋狂。下面請大家欣賞一段精彩的進(jìn)球集錦。

〖師生活動〗觀看視頻。

【設(shè)計意圖】通過觀看進(jìn)球集錦，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）探究新知

【例1】某市舉辦中學(xué)生足球賽，規(guī)定勝一場得3分，平一場得1分。市第二中學(xué)足球隊(duì)比賽11場，沒輸過一場，一共得27分。問該隊(duì)勝幾場，平幾場？

〖問題1〗利用之前所學(xué)的知識你能解決這個問題嗎？

[生]利用表格梳理信息，找到本題的基本數(shù)量關(guān)系：

[解]（方法1）設(shè)該隊(duì)勝x場，則平（11-x）場。根據(jù)題意

得 ?3x+（11-x）=27

解得 x=8（場）

11-x=11-8=3（場）

[答]該隊(duì)勝8場，平3場。

【設(shè)計意圖】表格分析法已經(jīng)在之前的學(xué)習(xí)中運(yùn)用，學(xué)生對這個方法比較熟悉。這樣做，一則復(fù)習(xí)舊知，二則為學(xué)生搭建新知探索的平臺。顯然，這個問題可以運(yùn)用一元一次方程解決，但也為與后續(xù)方法2的對比作好鋪墊。

〖問題2〗如果把平場數(shù)設(shè)為y，那么同學(xué)們是否可以以此解決這個問題？如何解決？

[解]（方法2）設(shè)該隊(duì)勝x場，平y(tǒng)場。根據(jù)題意

得 ?[x+y=113x+y=27]

解得 [x=8y=3]

[答]該隊(duì)勝8場，平3場。

【設(shè)計意圖】通過對例1的審題分析，讓學(xué)生體會可以利用表格梳理信息整理數(shù)據(jù)，明確未知量，找尋等量關(guān)系式。通過巧妙設(shè)問，鼓勵學(xué)生思考、探究不同的方法。

〖問題3〗請同學(xué)們對比這兩種方法，說說它們的不同點(diǎn)及各自優(yōu)點(diǎn)是什么？

[生1]方法1只設(shè)一個未知數(shù)，列一個方程;方法2則設(shè)了兩個未知數(shù)，列兩個方程。方法1解方程時比較簡單，方法2是設(shè)元時思路比較清晰。

〖追問1〗這兩種方法有什么聯(lián)系呢？

[生2]實(shí)際上方法1中的平場數(shù)用（11-x）表示，方法2中平場數(shù)用y表示，兩者的實(shí)際意義相同。

〖追問2〗能否聯(lián)系之前解二元一次方程組的解法，談?wù)勀愕母邢耄?/p>

[生3]可以聯(lián)想到用代入消元法解二元一次方程組。

[師]說得很好，正是因?yàn)閥與11-x的實(shí)際意義相同，所以我們才可以用代入消元法把二元的問題轉(zhuǎn)化為一元問題解決。

【設(shè)計意圖】通過兩種解法的深入比較、探究，讓學(xué)生懂得二元一次方程組是解決應(yīng)用題的好方法。通過方法對比，讓學(xué)生懂得兩種方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)一步理解之前代入消元法的本質(zhì)意義。

（三）合作探究

【例2】甲、乙兩人相距4 km，以各自的速度同時出發(fā)。如果同向而行，那么甲2 h追上乙;如果相向而行，那么兩人0.5 h后相遇。試問兩人的速度各是多少？

〖師生活動〗教師提出問題后，組織學(xué)生分小組討論、交流。小組展示自己的解題過程，歸納解題步驟。教師注意跟蹤，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)不規(guī)范或錯誤的時候，要及時給予指導(dǎo)。

[解]設(shè)甲、乙的速度分別為x km/h，y km/h。根據(jù)題意

得 ?[2x-2y=40.5x+0.5y=4]

解得 [x=5y=3]

[答]甲的速度為5 km/h，乙的速度為3 km/h。

〖問題4〗請同學(xué)們嘗試解決這個問題，并思考例2與例1有什么相同之處？

[生1]兩個例子的問題均可用二元一次方程組解決。

〖追問1〗不同點(diǎn)？

[生]？

[師]我們不妨對比一下兩個例子中的相等關(guān)系。

1.列表對比如下：

[方向 人 時間 速度 路程 同向而行 甲 2 x 2x 乙 2 y 2y 相向而行 甲 0.5 x 0.5x 乙 0.5 y 0.5y ]

2.列方程組對比如下：

例1 [勝場數(shù)+平場數(shù)=總場數(shù)勝場得分+平場得分=總分]

例2 [甲的行程-乙的行程=4甲的行程+乙的行程=4]

[生]例1中的兩個相等關(guān)系意義不同，而例2中的兩個相等關(guān)系意義相同。

[師]不錯，例1的兩個相等關(guān)系中，第一個是比賽場數(shù)，而第二個是比賽積分;例2中的兩個相等關(guān)系均為行程。其中例2的問題也是二元一次方程組的一種十分典型的模型。顯然這時用列二元方程比列一元方程更能方便解決問題。

【設(shè)計意圖】在解決問題的過程中，讓學(xué)生懂得利用示意圖直觀地找到等量關(guān)系是解決行程問題的常用工具，并進(jìn)一步體會利用二元一次方程組求解具有兩個等量關(guān)系的兩個未知數(shù)的優(yōu)勢，使學(xué)生懂得求解含有兩個未知數(shù)的實(shí)際問題。通過學(xué)習(xí)小組合作探究，讓學(xué)生參與討論，給予學(xué)生更多的思考空間，使學(xué)生的解題思路更多。然而最主要的是，讓學(xué)生了解兩種不同的二元一次方程組模型的差異性。

（四）嘗試練習(xí)

〖練習(xí)1〗某班同學(xué)在植樹節(jié)植樟樹和白楊樹共45棵。已知樟樹苗每棵2元，白楊樹苗每棵1元，購買這些樹苗用了60 元。問樟樹苗、白楊樹苗各買了多少棵？

〖練習(xí)2〗已知5輛馬車和4輛卡車一次能運(yùn)貨24噸，10輛馬車和2輛卡車一次能運(yùn)貨21噸。試求每輛馬車和卡車平均各裝貨多少噸？

【設(shè)計意圖】從應(yīng)用的模型上看，這兩道練習(xí)題明顯對應(yīng)上面講到的兩道例題。一方面，突出二元一次方程組這種數(shù)學(xué)模型的廣泛性和有效性;另一方面，使學(xué)生能在更加貼近實(shí)際的問題情境中運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題，提升應(yīng)用意識和能力。

（五）思考辨析

〖問題5〗有人說：“凡可用二元一次方程組解決的問題，都可用一元一次方程來解決。因此，在學(xué)過一元一次方程后沒有必要再學(xué)二元一次方程組。”對此，談?wù)勀愕目捶ā?/p>

【設(shè)計意圖】通過這個問題讓學(xué)生分析二元一次方程組與一元一次方程在問題解決中的聯(lián)系和區(qū)別。以便使學(xué)生更充分地理解二元一次方程組的應(yīng)用模型，加深對一元一次方程與二元一次方程組之間關(guān)系的認(rèn)識，懂得二元一次方程組應(yīng)用模型的特點(diǎn)和必要性。

（六）興趣延伸

〖練習(xí)3〗下表為某次足球比賽積分榜的部分內(nèi)容。你能求出勝一場、平一場以及負(fù)一場分別積幾分嗎？

〖審題分析〗本題要求幾個未知量，要找?guī)讉€等量關(guān)系式？

〖師生活動〗教師提出問題，學(xué)生進(jìn)行審題分析，不需要解答。

【設(shè)計意圖】本題為學(xué)習(xí)三元一次方程組做鋪墊，讓學(xué)生體會運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際問題的這一典型的數(shù)學(xué)建模過程，逐步領(lǐng)略高元方程在解決問題中的模型和轉(zhuǎn)化思想。

（七）小結(jié)歸納

1.本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些知識與方法？

2.試從本章的學(xué)習(xí)角度思考，你在本節(jié)課中還有什么收獲？

【設(shè)計意圖】及時歸納和提升，以達(dá)成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

（八）作業(yè)布置

1.課本第109頁練習(xí)題共3題;

2.課本習(xí)題3.4第2題和第7題。

【設(shè)計意圖】以分層作業(yè)的方式了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，以便調(diào)整教學(xué)安排。使學(xué)生通過課后練習(xí)獨(dú)立思考、自我反思、發(fā)現(xiàn)問題。設(shè)置不同層次的作業(yè)，使不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。

四、導(dǎo)向與反思

（一）單元整體思想的意義

從單元整體入手可以更好地理解章節(jié)課時的知識點(diǎn)和思想方法。教材中單元知識的設(shè)置，蘊(yùn)含著學(xué)科的內(nèi)在規(guī)律。通過單元整體的眼光去理解教材，可以找到前后知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)作用、遷移和轉(zhuǎn)化規(guī)律，見木成林，以取得良好的教學(xué)效果。通過這種方式開展數(shù)學(xué)教學(xué)，能讓學(xué)生厘清單元目標(biāo)和課時目標(biāo)之間的關(guān)系，能夠有計劃地從單元整體上組織好教學(xué)規(guī)劃，更好地做到因材施教，強(qiáng)化單元內(nèi)知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，把握好整個單元的知識點(diǎn)。

（二）以單元整體思想進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的目標(biāo)

一是整體感悟數(shù)學(xué)知識。在數(shù)學(xué)課中，整體結(jié)構(gòu)化的思維能使教學(xué)效果更好。在這種思想指導(dǎo)下，不僅要對單元知識進(jìn)行回憶，而且要在新舊知識的融合過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，從而使學(xué)生主動進(jìn)行學(xué)習(xí)，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)。學(xué)生掌握單元整體知識和課時知識之間的關(guān)系，可以使自己更有興趣地深入探究，并在單元整體感悟的基礎(chǔ)上完善知識結(jié)構(gòu)。二是學(xué)會遷移。教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行自覺性遷移，從而使學(xué)生提高將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行遷移的能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

（責(zé)編 盧建龍）