華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631)曾培林 韓彥昌

1 引言

解題方法按照通用性可以大致劃分成“通性通法”和“特殊技巧”,其各自的支持者也形成了兩種對(duì)立的思想流派.“通派”傾向于解題為知識(shí)服務(wù),要求建立扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系,使學(xué)生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問(wèn)題的習(xí)慣[1],注重解題方法的推廣價(jià)值;而“巧派”認(rèn)為解題應(yīng)為考試服務(wù),強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的編碼和表征能力,通過(guò)引入創(chuàng)造性、高觀點(diǎn)、高效率的解題技巧以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間內(nèi)得分最大化.

“通派”和“巧派”的理念碰撞引發(fā)了長(zhǎng)期的學(xué)術(shù)爭(zhēng)鳴[2],近年來(lái)通派逐漸占據(jù)上風(fēng),以文[3]最具代表性,其主要觀點(diǎn)為“淡化特殊技巧,重視通性通法”,相反,鮮有學(xué)者為“特殊技巧”背書(shū).個(gè)中原因,首先在于當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)精神是科學(xué)化、體系化,“通解”自然而然被視為解題的首選;其次,“巧派”有不顧學(xué)生發(fā)展水平,生搬硬套解題技巧的傾向,逐漸背離了創(chuàng)造性的宗旨.“通派”的優(yōu)勢(shì)一定程度反映出數(shù)學(xué)教育者開(kāi)始對(duì)過(guò)往唯分?jǐn)?shù)論的功利學(xué)風(fēng)進(jìn)行反思與批判,是我國(guó)數(shù)學(xué)教育事業(yè)在進(jìn)步的體現(xiàn);但另一方面,解題教學(xué)中,“通性通法”與“特殊技巧”相比是否存在不足之處?二者互為補(bǔ)充是否更有助于學(xué)生能力的提升?本文援引一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題對(duì)它們進(jìn)行比較研究.

2 “卡當(dāng)旋輪問(wèn)題”的通解與巧解

2.1 問(wèn)題背景概述

文藝復(fù)興時(shí)期的意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家及醫(yī)生卡當(dāng)(Girolamo Cardano,1501-1576,亦譯作卡爾達(dá)諾)被譽(yù)為“百科全書(shū)式學(xué)者”.卡當(dāng)于1545年出版的《大術(shù)》(拉丁文Ars Magna,亦譯作《偉大的藝術(shù)》)是其最主要的數(shù)學(xué)論著,在數(shù)學(xué)史上具有重要地位,它開(kāi)創(chuàng)了代數(shù)方程的理論研究,首次系統(tǒng)地給出了三、四次多項(xiàng)式方程的一般解法,并且最早討論了虛數(shù)及其運(yùn)算[4].

除此之外,卡當(dāng)曾提出過(guò)著名的“卡當(dāng)旋輪問(wèn)題”[5].如圖1,一個(gè)可動(dòng)的小圓在一個(gè)固定的大圓的內(nèi)沿做無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng),且大圓的半徑為小圓的2 倍,試問(wèn)當(dāng)小圓回到最初位置時(shí),小圓自身轉(zhuǎn)過(guò)多少圈?

圖1

解決該問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何將“無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言.小圓的“無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)”可以分解成“自轉(zhuǎn)”和“公轉(zhuǎn)”兩個(gè)過(guò)程,運(yùn)動(dòng)狀態(tài)比較復(fù)雜.部分人想當(dāng)然地認(rèn)為小圓公轉(zhuǎn)一周時(shí),自轉(zhuǎn)圈數(shù)就等于大圓和小圓周長(zhǎng)的比值,即小圓自轉(zhuǎn)圈數(shù)為而事實(shí)上,小圓只自轉(zhuǎn)了1 圈.為此本文分別用“通性通法”和“特殊技巧”對(duì)“卡當(dāng)旋輪問(wèn)題”進(jìn)行解答,試圖比較二者在思路、效率和可推廣性上區(qū)別.

2.2 “卡當(dāng)旋輪問(wèn)題”的通解

“卡當(dāng)旋輪問(wèn)題”屬于動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題,解析幾何中的參數(shù)方程法是解決這類問(wèn)題的通用方法,解題思路概括為:問(wèn)題理解?建立坐標(biāo)系?選取參數(shù)?解決問(wèn)題.

王俊超在文[6]中使用參數(shù)方程的方法將“卡當(dāng)旋輪問(wèn)題”一般化,對(duì)大圓與小圓半徑之比為的情況進(jìn)行研究,證明了3 個(gè)結(jié)論,本文對(duì)其解法進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹.

如圖2,設(shè)⊙O1和⊙O2半徑分別為R和r(R >r),以⊙O1的圓心點(diǎn)O1為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)O2的初始位置在x軸正半軸上,標(biāo)定O2最右端的點(diǎn)為研究對(duì)象,記作點(diǎn)P.

圖2

當(dāng)⊙O2滾動(dòng)到位置,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′處,記令P′相對(duì)所在直線轉(zhuǎn)過(guò)的角度為η,則令P′相對(duì)水平方向(x軸)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為μ,由圖2 易知μ+θ=η.

其中“內(nèi)擺線”是指本問(wèn)題中,點(diǎn)P的軌跡,此處僅給出內(nèi)擺線閉合性的條件,詳情請(qǐng)參見(jiàn)[6].

評(píng)述從參數(shù)方程的視角出發(fā)研究圓的滾動(dòng)問(wèn)題,不僅能求出點(diǎn)P的軌跡方程和小圓自轉(zhuǎn)圈數(shù),而且給出了內(nèi)擺線閉合的充要條件,將原本“卡當(dāng)旋輪問(wèn)題”的研究范圍拓寬到新的領(lǐng)域.由此可見(jiàn),“通性通法”解題,除了解決問(wèn)題本身之外,還有助于知識(shí)遷移,拔高了問(wèn)題本身的價(jià)值,使其中涉及到的數(shù)學(xué)思想方法具有可推廣性.但另一方面,該方法變量繁多,對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力的要求較高.在筆者向?qū)W生講解的過(guò)程中發(fā)現(xiàn),他們?nèi)菀资芾в趯?duì)問(wèn)題直觀想象能力的不足,無(wú)法理解結(jié)論2——“為什么小圓自轉(zhuǎn)了圈,而不是圈?”.參數(shù)方程方法雖然可以證明結(jié)論2,但缺少對(duì)小圓滾動(dòng)過(guò)程的直觀解釋,導(dǎo)致學(xué)生只知其然而不知其所以然.

2.3 “卡當(dāng)旋輪問(wèn)題”的巧解

在“卡當(dāng)旋輪問(wèn)題”中,小圓“公轉(zhuǎn)”以大圓圓心O1為參考系,而其“自轉(zhuǎn)”則以O(shè)1和O2所在的整個(gè)平面為參考系,恰是因?yàn)閮煞N轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系不一樣,使未能認(rèn)清這一點(diǎn)的學(xué)生得出“大圓和小圓周長(zhǎng)之比就是小圓自轉(zhuǎn)圈數(shù)”的錯(cuò)誤結(jié)論.

小圓的滾動(dòng)同時(shí)包含了“自轉(zhuǎn)”與“公轉(zhuǎn)”兩種運(yùn)動(dòng),容易聯(lián)想到地球和太陽(yáng)之間也存在類似的關(guān)系.筆者發(fā)現(xiàn),將“卡當(dāng)旋輪問(wèn)題”類比成地日關(guān)系,恰好可以解釋小圓自轉(zhuǎn)圈數(shù)為什么是圈.

如圖3,簡(jiǎn)化模型,將大圓圓心O1視作太陽(yáng),將小圓視作地球,小圓圓心O2為地球球心,地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道視作一個(gè)圓周.

圖3

地球上除了南北兩極之外的地區(qū)都存在晝夜交替的現(xiàn)象,這是地球自轉(zhuǎn)的結(jié)果.如圖4,在地球上任取一地點(diǎn)Q,一天有24 小時(shí),令其處于當(dāng)?shù)貢r(shí)間正午12 點(diǎn)時(shí),則此時(shí)Q恰好距離太陽(yáng)最近,即地球上的“近日點(diǎn)”;與此相對(duì)的,Q關(guān)于O2的對(duì)稱點(diǎn)P恰好在當(dāng)?shù)貢r(shí)間午夜0 點(diǎn),即“遠(yuǎn)日點(diǎn)”.24 小時(shí)后,地球球心從O2運(yùn)動(dòng)到處,Q運(yùn)動(dòng)到Q′處,Q(Q′)再次成為“近日點(diǎn)”.

圖4

評(píng)述此處的特殊技巧可以描述成:問(wèn)題理解?聯(lián)想天體之間的關(guān)系?類比推理?解釋結(jié)論.和“通性通法”相比,計(jì)算難度更低,直觀性更強(qiáng),易于被學(xué)生接受.但另一方面,“巧解”并不能如“通解”那般得出結(jié)論1 和結(jié)論3,即對(duì)問(wèn)題的推廣性上不如通解,這也是巧解的局限性之所在.

3 “通性通法”與“特殊技巧”的哲學(xué)關(guān)系

數(shù)學(xué)解題中的“通性通法”與“特殊技巧”構(gòu)成一對(duì)矛盾體,矛盾雙方具有對(duì)立性與同一性.

“通解”和“巧解”的對(duì)立性始于對(duì)“解題究竟應(yīng)該為什么服務(wù)?”的大討論,從解題思路上看,通解偏向知識(shí)的體系性,巧解偏向解題的創(chuàng)造性;從解題效率上看,巧解有時(shí)候比通解更加迅捷;從可推廣性上看,通解對(duì)問(wèn)題具有更廣闊的拓展空間.

“通解”和“巧解”的同一性則在于,二者能聯(lián)袂產(chǎn)生“1+1>2”的效果.當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)精神是科學(xué)化、體系化,通解自然被視為解題的首選,但要求學(xué)生只學(xué)習(xí)通性通法,一定程度限制了他們的創(chuàng)造力和個(gè)人表達(dá)的空間;而寄希望于向?qū)W生灌輸解題技巧,鋌而走險(xiǎn)追求需要苛刻的天資才能支撐起來(lái)的創(chuàng)造性思維,則有?？煽啃缘脑瓌t.兼顧通解和巧解,學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以更好地發(fā)展.它們就像雕刻家的手中的兩中種工具,通解如同鑿子,用于揭示問(wèn)題的大致輪廓,巧解如同刻刀,在細(xì)節(jié)的刻畫(huà)上更加精確,缺少鑿子和刻刀中任何一個(gè),雕像終究是有缺憾的.總而言之,通解與特解雖然對(duì)立,但二者統(tǒng)一于數(shù)學(xué)的大體系中.